1(Ш). На стержень действуют две параллельные силы, равные F1 = 10 h и F2 = 25 н и направленные в противоположные стороны




Скачать 141.11 Kb.
Дата 28.08.2016
Размер 141.11 Kb.
1(Ш). На стержень действуют две параллельные силы, равные F1 = 10 H и F2 = 25 Н и направленные в противоположные стороны. Определите точку приложения и величину силы, уравновешивающей силы F1 и F2, если их точки приложения находятся на расстоянии l = 1,5 м друг от друга.
2(Ш). К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r = 0,5 см, радиус ее щечек R = 10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой μ = 0,1. При каком угле α между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?
3(Ш). В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массой m каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2m. Найдите положение центра масс этой системы
4(Ш). Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающегося края пластинки. Где находится ее центр тяжести?
5(Ш). На столе лежит однородный стержень массой 6 кг так, что две трети его длины находятся за краем стола. Какую силу необходимо приложить к концу стержня для удержания его в горизонтальном положении?
6(Ш). На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какую траекторию будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса обруча M, радиус R, масса жука m.
7(Ш). Невесомый жесткий стержень длиной l свободно лежит на двух опорах A и B. В точке C, отстоящей от A на расстоянии a, на стержень действует вертикальная нагрузка F. Найти реакцию опор.
8(Ш). Балка весом P1 свободно лежит на двух опорах A и B, расстояние между которыми равно l, и выступает за опору B на такую же длину l. На середине промежутка AB расположен груз P2, а на выступающем конце – груз P3. Найти реакции опор FA, FB.
9(Ш). Куб опирается одним ребром на пол, другим – на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла α возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен μ, ребро куба равно a.
10(Т). Глубина лунки в доске, в которую поставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски α к горизонту шар выкатится из лунки?

1) α > 12° 2) α > 15° 3) α > 30° 4) α > 45° 5) α > 60°


11(Т). Однородный брусок массой 720 г и длиной 120 см шарнирно закреплен на расстоянии 40 см от одного из его концов. Какую минимальную по модулю силу необходимо приложить к правому концу бруска (2), чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении?

1) 1,6 H 2) 2,4 H 3) 3,0 H 4) 1,8 H 5) 1,2 H


12(Т). Использование неподвижного блока при подъеме груза обеспечивает...

1) выигрыш в силе 2) выигрыш в работе 3) выигрыш в силе и работе 4) изменение направления силы, выигрыша в силе нет 5) выигрыш в силе в 2 раза


 13(К). Какой минимальной горизонтальной силой можно опрокинуть через ребро куб, лежащий на горизонтальной плоскости?
 14(К). К цилиндрическому стержню, закрепленному сверху, в его нижнем сечении приложена сила F, направленная вдоль оси стержня (рис. а). Найти внутренние силы, возникающие в поперечных сечениях стержня. Массой стержня пренебречь.
 15(К). Определить удлинение стального ступенчатого стержня (рис. а), к которому приложены осевые силы F1 и F2 (|F1| = 20 кН, |F2| = 30 кН). Длины участков стержня равны l1 = 1 м и l2 = 2 м, поперечные сечения равны, соответственно, S1 = 1 см2 и S2 = 2 см2, модуль Юнга Е = 2 × 105 МН/м2. Стержень считать невесомым.
 16(К). Груз массы m = 2 т поддерживают два одинаковых круглых стальных стержня, соединенных шарнирно в узле А и составляющих угол α =60° с вертикалью (рис.). Определить диаметр сечения каждого стержня, если допускаемое напряжение для стали σдоп = 160 МН/м2.
 17. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами (рис.). Оказалось, что центр масс C такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с плотностями ρ и 2ρ. Определите отношение масс цилиндров.
 18. Тело массой m = 200 кг перемещается равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы F, направленной под углом α = 30° к горизонту. Определить эту силу, если коэффициент трения тела о поверхность при движении μ = 0,30.
 19. Чтобы вытащить автомобиль, застрявший в грязи, шофер привязал один конец троса к автомобилю, а второй к стоящему впереди дереву, предварительно натянув трос. Затем он подошел к середине троса и стал оттягивать его в горизонтальном направлении с силой F = 500 Н, направленной перпендикулярно тросу. Расстояние между автомобилем и деревом l = 52 м. Найти силу натяжения троса в момент, когда шофер продвинулся вперед на s = 0,52 м.
 20. От легкого толчка тело начало равномерно скользить вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Найти коэффициент трения скольжения.

1(Ш). На стержень действуют две параллельные силы, равные F1 = 10 H и F2 = 25 Н и направленные в противоположные стороны. Определите точку приложения и величину силы, уравновешивающей силы F1 и F2, если их точки приложения находятся на расстоянии l = 1,5 м друг от друга.
1. Решение:

Очевидно, что модуль уравновешивающей силы F равен разности модулей действующих на стержень сил:

F = F2 ? F1 = 15 H.
Ясно также, что точка приложения уравновешивающей силы лежит на прямой, соединяющей точки приложения сил F1 и F, справа от большей силы. Обозначим искомое расстояние через x. Тогда по правилу моментов имеем:

F1(l + x) ? F2x = 0 и x = F1l/(F2 ? F1) = 1 м.


Заметим, что в случае F1 = F2, т. е. когда на тело действует так называемая пара сил, уравновешивающей силы, в обычном смысле этого слава, нет. Под действием пары сил тело приходит во вращательное движение вокруг его центра тяжести.

Ответ: F = 15 H, x = 1 м.
2(Ш). К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r = 0,5 см, радиус ее щечек R = 10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой μ = 0,1. При каком угле α между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?
Решение:

Силы, действующие на катушку, изображены на рисунке.



Запишем условия равновесия катушки в виде:

N – Tsinα = 0
и

Tr ? FmpR = 0.


Учитывая, что Fmp = μN, получаем

sinα = r/(μR) = 1/2, и α = 30°.



Ответ: α = 30°.
3(Ш). В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массой m каждый. В третьей вершине находится шарик массой 2m. Найдите положение центра масс этой системы.
Решение:

Заменим два маленьких шарика одним, находящимся посередине между ними и обладающим массой 2m. Тогда центр масс системы трех шариков лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шарик массой 2m.


Ответ: центр масс системы трех шариков лежит на середине биссектрисы угла.
4(Ш). Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающегося края пластинки. Где находится ее центр тяжести?
Решение:

Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести пластинки лежит на ее оси на некотором расстоянии x от центра круга. Если вложить обратно вырезанную часть пластинки, то центр тяжести пластинки сместится в ее центр. Запишем соответствующее правило моментов:



m1gx ? m2gR/2 = 0,


но

m1/m2 = S1/S2 = (R2 ? R2/4)/(R2/4) = 3,

поэтому получаем

3x = R/2, и x = R/6.


Ответ: x = R/6.
5(Ш). На столе лежит однородный стержень массой 6 кг так, что две трети его длины находятся за краем стола. Какую силу необходимо приложить к концу стержня для удержания его в горизонтальном положении?
Решение:

На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, удерживающая сила F и сила реакции опоры N, которая приложена в точке O, так как вначале вращения эта точка является опорой стержня.



Применим правило моментов относительно оси вращения в точке O:

ΣM = 0,
Mmg + MF = 0,
mgl3 ? Fl1 = 0, (1)
где Mmg и MF – момент силы тяжести и приложенной силы F, а l3 и l1 – соответствующие плечи сил.

Момент силы N равен нулю, так как эта сила проходит через точку O, относительно которой рассматривается вращение, следовательно, плечо силы N равно нулю.

Из (1) находим, что

F = mgl3/l1.


Поскольку

l3 = l2 ? l4,


где l4 = l/2, получаем

l3 = 2l/3 – l/2 = l/6, F = mg/2.


Проводим расчет F = 6•10/2 = 30 H.

Ответ: F = 6•10/2 = 30 H.
6(Ш). На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какую траекторию будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса обруча M, радиус R, масса жука m.
Решение:

На систему обруч-жук в горизонтальном направлении внешние силы не действуют. Поэтому центр тяжести системы (точка C на рис.) не будет перемещаться в горизонтальной плоскости.



Расстояние от центра тяжести системы до центра обруча равно

CO = mR/(m + M).
Так как оно постоянно, центр обруча O будет описывать относительно неподвижной точки C окружность радиуса CO. Легко видеть, что траектория движения жука представляет собой окружность радиуса

AC = MR/(m + M).


Взаимное расположение, а также движение жука указаны на рисунке.

Ответ: CO = mR/(m + M); AC = MR/(m + M).

7(Ш). Невесомый жесткий стержень длиной l свободно лежит на двух опорах A и B. В точке C, отстоящей от A на расстоянии a, на стержень действует вертикальная нагрузка F. Найти реакцию опор.
Решение:

Поместим начало координат X и Y в точке A и направим их, как показано на рисунке.



Так как все силы вертикальны, то достаточно составить одно уравнение проекций сил и одно уравнение моментов.

Уравнение проекций на ось Y

FA + FB ? F = 0.


Уравнение моментов относительно точки A (направление момента, вызывающего вращение по часовой стрелке, принимаем за положительное)

Fa ? FBl = 0.

Из двух уравнений находим

FB = Fa/l; FA = F(l ? )/l.


Ответ: FB = Fa/l; FA = F(l ? )/l.
8(Ш). Балка весом P1 свободно лежит на двух опорах A и B, расстояние между которыми равно l, и выступает за опору B на такую же длину l. На середине промежутка AB расположен груз P2, а на выступающем конце – груз P3. Найти реакции опор FA, FB.
Решение:

Уравнение равновесия сил



FA + FB ? P1 ? P2 ? P3 = 0.

Уравнение равновесия моментов относительно точки B

FAl ? P2l/2 + P3l = 0;


Реакции опор:

FA = P2/2 ? P3;


FB = P1 + P2/2 + 2P3.
Ответ: FA = P2/2 ? P3; FB = P1 + P2/2 + 2P3.
9(Ш). Куб опирается одним ребром на пол, другим – на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла α возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен μ, ребро куба равно a.
Решение:

Уравнение проекций на вертикаль

–P + F2 = 0.
Уравнение проекций на горизонталь

F1 – F = 0


F1 – реакция стенки.

Уравнение моментов относительно точки O

F1asinα = Pa(√/2)•cos(π/4 + α);
Кроме того,

F ≤ μF2.


Отсюда находим

1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1).


Если μ > 0, то α всегда меньше π/4, так как при α > π/4 куб опрокинется.
Ответ: 1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1); если μ > 0, то α всегда меньше π/4, так как при α > π/4 куб опрокинется.
10(Т). Глубина лунки в доске, в которую поставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски α к горизонту шар выкатится из лунки?

1) α > 12° 2) α > 15° 3) α > 30° 4) α > 45° 5) α > 60°
Решение.

Шар начнет выкатываться из лунки при условии, что линия силы тяжести будет проходить через точку вращения O. Начиная с этого момента момент силы тяжести, будет больше момента силы реакции лунки.



Тогда искомый угол наклона доски найдем из геометрии (смотри рисунок):

Rcosα = h = R/2,
или cosα = 1/2.

Искомый угол равен arccos(1/2) = 60°.



Ответ: при угле наклона доски α = 60° к горизонту шар выкатится из лунки, выбираем правильный ответ 5).
11(Т). Однородный брусок массой 720 г и длиной 120 см шарнирно закреплен на расстоянии 40 см от одного из его концов. Какую минимальную по модулю силу необходимо приложить к правому концу бруска (2), чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении?

1) 1,6 H 2) 2,4 H 3) 3,0 H 4) 1,8 H 5) 1,2 H
Решение:

Момент силы тяжести компенсируется моментом приложенной силы. Плечо силы тяжести равно l/2 ? l1, плечо силы F равно l ? l1.

Правило моментов относительно точки вращения O

mg(l/2 ? l1) = F(l ? l1).
Сила, приложенная к правому концу

F = mg(l/2 ? l1)/(l ? l1).


Подставим численные значения

F = 0,72•10(1,2/2 – 0,40)/(1,2 – 0,4) = 1,8 Н.



Ответ: F = 1,8 Н, выбираем правильный ответ 4).
12(Т). Использование неподвижного блока при подъеме груза обеспечивает...

1) выигрыш в силе 2) выигрыш в работе 3) выигрыш в силе и работе 4) изменение направления силы, выигрыша в силе нет 5) выигрыш в силе в 2 раза
Неподвижным называется блок, ось которого закреплена и неподвижна.

Так как точка вращения блока (рычага) находится посередине, то момент сил

TR = FR и T = F.
Блок выигрыша в силе не дает. Применяется для смены направления действия силы. Выбираем правильный ответ 4).

Ответ: использование неподвижного блока при подъеме груза обеспечивает изменение направления силы, выигрыша в силе нет.
13(К). Какой минимальной горизонтальной силой можно опрокинуть через ребро куб, лежащий на горизонтальной плоскости?
Решение.

 Обычно при решении такой задачи исходят из того, что при опрокидывании момент приложенной силы F относительно оси вращения O (рис.)



уравновешивает момент силы тяжести. Это правильно, но почему при этом не учитывается момент силы давления со стороны пола N?

 Дело в том, что сила N не всегда проходит через центр кубика. Когда мы прикладываем к кубику силу F, линия действия силы N (равнодействующая сил давления) смещается в сторону точки O, а в момент опрокидывания сила N проходит через эту точку, и ее момент равен нулю.

 Выбором точки O для уравнения моментов мы исключаем из рассмотрения силу реакции пола и упрощаем решение задачи. Ясно, что сила F будет минимальной, когда она прикладывается к верхней грани куба и равна mg/2.

 При любом ли коэффициенте трения между кубиком и полом возможно такое опрокидывание? Очевидно, нет.

 Для опрокидывания необходимо, чтобы при F = mg/2 кубик еще не начал скользить по плоскости. Следовательно,

mg/2 ≤ Fmpmax = μmg,
или

μ ≥ 1/2.
 Интересно, что кубик можно опрокинуть и при меньшем коэффициенте трения силой, меньшей mg/2.


14(К). К цилиндрическому стержню, закрепленному сверху, в его нижнем сечении приложена сила F, направленная вдоль оси стержня (рис. а). Найти внутренние силы, возникающие в поперечных сечениях стержня. Массой стержня пренебречь.

Решение.

 Воспользуемся так называемым методом сечений. Мысленно рассечем стержень плоскостью I и рассмотрим условие равновесия нижней отсеченной части стержня. Действие верхней части заменим силами реакции, которые и являются внутренними силами.

 Обозначим через N равнодействующую всех сил упругости, распределенных по выбранному сечению (рис. б).



Отсеченная часть стержня находится в равновесии под действием внешней силы F и внутренней силы N (на самом деле для нижней части стержня она является внешней силой):

F + N = 0 (векторно).
 Проектируя силы F и N на ось, направленную вертикально вверх, получим

N + F = 0,


или

N = −F.
Если N > 0, имеет место растяжение, если N

 В данном случае N > 0 (поскольку F

 Примечание:

 При изучении деформаций растяжения под действием осевых сил (как в рассмотренной задаче) обычно предполагается, что плоские поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации. Это позволяет считать, что внутренние силы распределены по всей площади S поперечного сечения тела равномерно. Отношение σ = N/S называют напряжением. Напряжение характеризует внутреннее состояние деформированного тела.
15(К). Определить удлинение стального ступенчатого стержня (рис. а), к которому приложены осевые силы F1 и F2 (|F1| = 20 кН, |F2| = 30 кН). Длины участков стержня равны l1 = 1 м и l2 = 2 м, поперечные сечения равны, соответственно, S1 = 1 см2 и S2 = 2 см2, модуль Юнга Е = 2 × 105 МН/м2. Стержень считать невесомым.

Решение.

 Очевидно, что общее удлинение ступенчатого стержня равно сумме удлинений его участков:

Δl = Δl1 + Δl2.


 Для определения Δl1 и Δl2 найдем продольные силы упругости N1 и N2, возникающие, соответственно, в нижнем и верхнем участках стержня. Рассечем стержень плоскостью I и запишем условие равновесия отсеченной части стержня в проекциях на ось X (рис. б):

N1 + F1 = 0.




Отсюда

N1 = −F1 = |F1| = 20 кН.


 Аналогично найдем N2. Проведем плоскость сечения II и запишем соответствующее условие равновесия для отсеченной части (рис. в):

N2 + F1 + F2 = 0,


или

N2 = −F1 − F2 = |F1| − |F1| = −10 кН.


Отрицательный знак у N2 показывает, что продольная сила N2 направлена вниз; следовательно, в верхнем участке стержень сжат.

 В соответствии с законом Гука,

Δl1 = N1l1/(ES1), Δl2 = N2l2/(ES2),
и

Δl = Δl1 + Δl2 = (1/E)(N1l1/S1 + N2l2/S2) = 0,5мм.


16(К). Груз массы m = 2 т поддерживают два одинаковых круглых стальных стержня, соединенных шарнирно в узле А и составляющих угол α =60° с вертикалью (рис.). Определить диаметр сечения каждого стержня, если допускаемое напряжение для стали σдоп = 160 МН/м2.

Решение.

 Рассмотрим узел А. На него действуют три силы: вес груза P(|P| = m|g|) и силы реакции стержней R1 и R2.

 Запишем условия равновесия узла А в проекциях на оси координат X и Y:

−|R1|sinα + |R2|sinα = 0,
|R1|cosα + |R2|cosα − m|g| = 0.
Отсюда

|R1| = |R2| = |R| = m|g|/(2cosα).


 Силы упругости N, возникающие в каждом стержне, равны по модулю силам реакции:

|N| = |R| = m|g|/(2cosα).


 Из условия прочности стержней следует, что

σ = |N|/S ≤ σдоп,


или

S = πd2/4 ≥ |N|/σдоп, = m|g|/(2σдопcosα).


 Тогда диаметр каждого стержня

d = √{4S/π} ≥ √{2mg/(πσдопcosα)} = 1,25 см.

17. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами (рис.). Оказалось, что центр масс C такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с плотностями ρ и 2ρ. Определите отношение масс цилиндров.

Решение.

 Из того, что центр масс стержни находится в стыковочном сечении, а составляющие стержень цилиндры имеют одинаковые сечения (S), но изготовлены из различных материалов, следует, что длины цилиндров различны. Обозначим их через l1 и l2. Тогда массы цилиндров равны соответственно

m1 = ρl1S и m2 = 2ρl2S.



Запишем условие равенства моментов сил тяжести относительно центра масс системы:

m1gl1/2 = m2gl2/2.


Отсюда получаем

m2/m1 = √2.


18. Тело массой m = 200 кг перемещается равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы F, направленной под углом α = 30° к горизонту. Определить эту силу, если коэффициент трения тела о поверхность при движении μ = 0,30.
Решение.

 На тело действуют сила F, сила нормальной реакции опоры N, сила тяжести mg и сила трения Fmp.

 За положительное направление оси ОХ примем направление движения тела, ось OY направим вертикально вверх (рис.).

 По условию задачи тело движется равномерно, т. е. находится в равновесии, следовательно, выполняется условие

F + N + Fmp + mg = 0 (векторно).
Поэтому суммы проекций этих сил на координатные оси ОХ и OY равны нулю:

Fcosα − Fmp = 0, (1)


N + Fsinα − mg = 0. (2)
Из уравнения (2) находим

N = mg − Fsinα


и, учитывая, что

Fmp = μN,


подставляем в уравнение (1):

Fcosα − μ(mg − Fsinα) = 0.


Отсюда

F = μmg/(cosα + μsinα) = 0,3•200•10/(cos30° + 0,3•si30°) = 5,9•102 H.


19. Чтобы вытащить автомобиль, застрявший в грязи, шофер привязал один конец троса к автомобилю, а второй к стоящему впереди дереву, предварительно натянув трос. Затем он подошел к середине троса и стал оттягивать его в горизонтальном направлении с силой F = 500 Н, направленной перпендикулярно тросу. Расстояние между автомобилем и деревом l = 52 м. Найти силу натяжения троса в момент, когда шофер продвинулся вперед на s = 0,52 м.
Решение.

 При оттягивании троса в нем возникают силы натяжения Т1 и Т2, направленные вдоль троса от точки О (рис.).



Так как сила F приложена в середине троса и направлена перпендикулярно АВ, то модули сил T1 и T2 можно считать одинаковыми:

Т1 = T2 = Т.
 Точка О находится в равновесии, поэтому сумма проекций сил F, T1 и T2 на любую координатную ось равна нулю. Спроектировав эти силы на ось OY, запишем условие равновесия:

2Tsinα − F = 0.


Отсюда

T = F/(2sinα).


Как видно из рисунка,

sinα = OC/OA.


Но

ОС = s, ОА = l/2,


Поэтому

sinα = 2s/l.


Следовательно,

T = Fl/(4s), T = 13•103 Н.


 По последней формуле можно определить, во сколько раз сила натяжения троса превосходит усилие шофера:

n = l/(4s).


В рассматриваемом случае n = 25.
20. От легкого толчка тело начало равномерно скользить вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Найти коэффициент трения скольжения.
Решение.

 На тело действуют три силы: сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N и сила трения Fmp.

 Координатную ось ОХ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY − перпендикулярно плоскости вверх (рисунок).

По условию тело движется равномерно, поэтому суммы проекций на оси ОХ и OY всех сил, действующих на тело, равны нулю:

mgsinα − Fmp = 0, (1)


N − mgcosα = 0. (2)
Сила трения скольжения

Fmp = μN,


где μ − коэффициент трения.

 Из равенства (2) найдем

N = mgcosα
и, подставив значение Fmp в формулу (1), получим

mgsinα − μmgcosα = 0.


 Отсюда найдем искомое значение коэффициента трения:

μ = tgα.


База данных защищена авторским правом ©infoeto.ru 2022
обратиться к администрации
Как написать курсовую работу | Как написать хороший реферат
    Главная страница