Инженерный анализ методом конечных элементов (мкэ) Системы инженерного анализа

Инженерный анализ представляет собой комплекс испытаний, предназначенных для определения способности оборудования, конструкций, а также производимой продукции выдерживать проектные нагрузки и бесперебойно функционировать при расчетных условиях эксплуатации.

В современном проектировании широко используются различные программные пакеты автоматизированного конструирования (Computer-aided engineering-CAE), позволяющие проводить инженерный анализ компьютерных моделей не прибегая к реальным экспериментам.

CAE (Computer-aided engineering)  — общее название для программ и программных пакетов, предназначенных для решения различных инженерных задач: расчётов, анализа и симуляции физических процессов. Расчётная часть пакетов чаще всего основана на численных методах решения дифференциальных уравнений (метод конечных элементов, метод конечных объёмов, метод конечных разностей и др.).

Современные системы автоматизации инженерных расчётов (CAE) применяются совместно с CAD-системами (зачастую интегрируются в них, в этом случае получаются гибридные CAD/CAE-системы).

Наиболее распространенным и эффективным расчетным методом, применяемым в CAE-системах, является метод конечных элементов (МКЭ). Системы, использующие в качестве численного анализа технических конструкций МКЭ, называют FEA системами (Finite Element Analysis ).

• 
  T-FLEX Анализ — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  
• 
  APM WinMachine 2010 — отечественная универсальная система для проектирования и расчета в области машиностроения, включающая КЭ анализ с встроенным пре-/постпроцессором;
  
• 
  APM Civil Engineering 2010 — отечественная универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором для проектирования и расчета металлических, железобетонных, армокаменных и деревянных конструкций;
  
• 
  ABAQUS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  
• 
  ANSYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  
• 
  Autodesk Simulation — комплекс универсальных систем КЭ анализа со встроенными пре-/постпроцессорами (в комплекс входят Autodesk Simulation CFD — программа вычислительной гидрогазодинамики, Autodesk Simulation Mechanical — программа для механического и теплового анализа изделий и конструкций, Autodesk Simulation MoldFlow — программа моделирования процесса литья пластмассовых изделий под давлением);
  
• 
  ESAComp — программная система конечно-элементных расчетов тонкостенных многослойных пластин и оболочек;
  
• 
  MSC.Nastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;
  
• 
  CAE Fidesys — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
  
• 
  HyperWorks (HyperMesh, RADIOSS, OptiStruct, AcuSolve и др.) — универсальная программная платформа систем конечно-элементного анализа;
  
• 
  Moldex3D — программная система конечно-элементного моделирования литья армированных пластмасс под давлением;
  
• 
  NEiNastran — универсальная программная система конечно-элементного анализа;
  
• 
  NX Nastran — универсальная система МКЭ анализа;
  
• 
  SAMCEF — универсальная система КЭ анализа с пре-постпроцессором SAMCEF Field.
  
• 
  Femap — независимый от САПР пре- и постпроцессор для проведения инженерного анализа методом конечных элементов;
  
• 
  FEM-models — программный комплекс для моделирования и анализа методом конечных элементов. Специализация программы — геотехнические расчеты, совместные расчеты систем здание-основание.
  

• 
  Autodesk Inventor;
  
• 
  SolidWorks;
  
• 
  PRO/Engineer;
  
• 
  Solid Edge;
  
• 
  CATIA;
  
• 
  и др.
  

МКЭ в сравнении с другими методами используется в разных областях, для разных типов анализа. К примеру МКО чаще используется для узкой области - гидрогазодинамики. МКЭ реализуется как система, то МКО часто включается как модуль в систему Например ANSYS заявлен как КЭ система, но включает модуль Flow, использующий МКО, основанный на МКЭ (как заявлено в документации). МКЭ и МКО оба сетчатых метода и очень похожи, но МКО использует более специфические сетки(полиэдрическая сетка) и чаще используется в областях, где есть потоки жидкости или газа, например, обтекание потоками воздуха крыла самолета - авиакосмическая промышленность. МКО более популярен в гидрогазодинамике в сравнении с МКЭ, из-за трудностей при описании тонких пограничных условий.

Например, программы использующие метод конечных объемов (МКО):

• 
  OpenFOAM — свободно-распространяемая универсальная система КО пространственного моделирования механики сплошных сред;
  
• 
  STAR-CD — универсальная система МКО анализа с пре-/постпроцессором;
  
• 
  STAR-CCM+ — универсальная система МКО анализа с пре-/постпроцессором;
  

Но диапазон его применения чрезвычайно широк: строительство   и машиностроение, гидро-  и аэродинамика, горное дело и новейшая техника, а также различные задачи математической физики – теплопроводности, фильтрации, распространения волн и т. д. 

Метод конечных элементов впервые был применен в инженерной практике в начале 50-х гг. XX в.   На раннем этапе формулировки МКЭ основывались на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его применения.  И только когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, стало возможным распространение его на многие другие задачи.  Быстрое развитие МКЭ шло параллельно с прогрессом современной компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики. 

Значительный вклад в разработку МКЭ был сделан Иоаннисом Аргирисом. Им впервые дана общая матричная формулировка расчета стержневых систем на базе фундаментальных энергетических принципов, определена матрица податливости, а также введено понятие матрицы жесткости (как обратной матрице податливости). Аргирис — один из основателей метода конечных элементов. В 1956 г. его теоретические разработки использовались при строительстве Боинга-747. Работы Аргириса и его сотрудников, опубликованные в период 1954–1960 гг., дали отправную точку для матричной формулировки известных численных методов и применения ЭВМ в расчетах конструкций. 

Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ,    относится к 1956 г.  Американские ученые М. Тэрнер, Р. Клафф, Г. Мартин и  Л. Топп, решая плоскую задачу теории упругости, ввели элемент треугольного вида, для которого сформировали матрицу жесткости и вектор узловых сил.  Название –  метод конечных элементов  ввел в 1960 г. Р. Клафф.

К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. 

Период последних десятилетий особенно характерен для развития и применения МКЭ в таких областях механики сплошных сред, как оптимальное проектирование, учет нелинейного поведения, динамика конструкций и т. п.

3. Введение в метод конечных элементов

В реальных конструкциях почти всегда присутствуют сложные формы, состоящие к тому же из различных материалов. Метод конечных элементов является наиболее популярным численным методом решения задач проектирования конструкций сложных форм.

Анализ методом конечных элементов начинается с дискретизации исследуемой области (области задачи) и делении ее на ячейки сетки. Такие ячейки называют конечными элементами.

Конечные элементы могут иметь различную форму. В отличие от реального сооружения в дискретной модели конечные    элементы связываются между собой только в отдельных точках (узлах) определенным конечным числом  узловых параметров.

Выбор подходящих элементов с нужным количеством узлов из библиотеки доступных элементов является одним из наиболее важных решений, которые приходится принимать пользователю пакета конечноэлементного анализа. Конструктору так же приходится задавать полное количество элементов (другими словами, их размер).

Основная проблема МКЭ – построение сетки, особенно для объекта сложной геометрии. Создание трехмерных сеток конечных элементов обычно представляет собой трудоемкий и кропотливый процесс.

Классическая форма метода конечных элементов называется h-версия. В качестве функции формы в данном методе применяются кусочные полиномы фиксированных степеней, а повышение точности достигается уменьшением размера ячейки. В p-версии используется фиксированная сетка, а точность повышается благодаря увеличению степени функции формы. Общее правило состоит в том, что чем больше количество узлов и элементов (в h-версии) или чем выше степень функции формы (p-версия), тем точнее оказывается решение, но тем дороже оно стоит с вычислительной точки зрения. Одной из САПР, в которой реализована p-версия МКЭ, является Pro/Engineer(CREO).

Ансамблирование:

Ансамблирование или сборка представляет собой объединение отдельных элементов в конечно-элементную сетку. С математической точки зрения ансамблирование состоит в объединении матриц жесткости отдельных элементов в одну глобальную матрицу жесткости всей конструкции. При этом существенно используются две системы нумерации узлов элементов: локальная и глобальная. Локальная нумерация представляет собой фиксированную нумерацию узлов для каждого типа конечных элементов в соответствии с введенной локальной системой координат на элементе. Глобальная нумерация узлов всей конструкции может быть совершенно произвольной, также как и глобальная нумерация конечных элементов. Однако, между локальными номерами и глобальными номерами узлов существует взаимнооднозначное соответствие, на основе которого и формируется глобальная система конечно-элементных уравнений.

МКЭ относится к методам дискретного анализа.  Однако в отличие от численных методов, основывающихся на математической дискретизации дифференциальных уравнений, МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемого объекта.  Реальная конструкция как сплошная среда с бесконечно многим числом степеней свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой элементов с конечным числом степеней свободы.  Так как число возможных дискретных моделей для континуальной области неограниченно велико, то основная задача заключается в том, чтобы выбрать такую модель, которая лучше всего аппроксимирует данную область.   

Сущность аппроксимации сплошной среды по МКЭ состоит в следующем:

1. рассматриваемая область разбивается на определенное число КЭ,  семейство элементов по всей области называется  системой  или  сеткой конечных элементов;      

2. предполагается, что КЭ соединяются между собой в конечном числе точек –  узлов, расположенных по контуру каждого из элементов;    

3. Для каждого КЭ задается аппроксимирующий полином.

 

Аппроксимирующие функции :

Аппроксимирующий полином для одномерного КЭ: u(x)=

Пример для одномерного КЭ:

Пример для двумерного КЭ:

Аппроксимирующий полином второго порядка:

Искомые функции в пределах каждого КЭ (например, распределение перемещений, деформаций, напряжений и т. д.) с помощью  аппроксимирующих функций  выражаются через узловые значения, представляющие собой основные неизвестные МКЭ.  

Искомая аппроксимирующая функция:

u()=

h(x)-координатные/базисные функции, т.н. функция формы;

q - неизвестные коэффициенты(значения в узлах).

В матричном виде:

Аппроксимация, как правило, дает приближенное, а не точное, описание действительного распределения искомых величин в элементе.  Поэтому результаты расчета конструкции в общем случае также являются приближенными.  Закономерно может быть поставлен вопрос о точности, устойчивости и сходимости решений, полученных МКЭ. 

Под  точностью  понимается отклонение приближенного решения от  точного  или  истинного решения.  Устойчивость, прежде всего, определяется ростом  ошибок  при выполнении отдельных вычислительных операций.  Неустойчивое решение является результатом неудачного выбора аппроксимирующих функций, «плохой» разбивки области на КЭ, некорректного представления граничных условий и т. п.  Под  сходимостью  подразумевается постепенное приближение последовательных решений к  предельному,  по мере того как уточняются параметры дискретной модели, такие как размеры элементов, степень аппроксимирующих функций и т. п.  В этом смысле понятие сходимости аналогично тому значению, которое оно имеет в обычных итерационных процессах. Таким образом, в сходящейся процедуре различие между последующими решениями уменьшается, стремясь в пределе к нулю. 

Перечисленные выше понятия иллюстрируются рис. 3.1. Здесь абсцисса обозначает степень уточнения параметров дискретной модели, а ордината определяет полученное при этом уточнении приближенное решение.  На графике показан монотонный тип сходимости, при котором точность решения повышается плавно.   

Рис.3.1. Зависимость решения от параметров

Аппроксимировав область задачи набором дискретных конечных элементов, мы должны задать характеристики материала и граничные условия для каждого элемента. Указав различные характеристики для различных элементов, мы можем анализировать поведение объекта, состоящего из различных материалов.

 Согласно терминологии математической физики, рассматривающей различные дифференциальные уравнения, описывающие физические поля, с единой математической точки зрения, граничные или краевые условия для данных дифференциальных уравнений делятся на два основных типа: существенные и естественные. Обычно, существенные условия накладываются на искомую функцию, а естественные на ее производные по пространственным координатам.

С позиции метода конечных элементов существенные граничные условия – это такие, которые непосредственно влияют на степени свободы модели и накладываются на компоненты глобального вектора неизвестных U (перемещения). Наоборот, естественные граничные условия – это такие, которые опосредованно влияют на степени свободы через глобальную систему конечно-элементных уравнений и накладываются на правую часть системы – вектор F(действующие силы).

В задачах механики, как правило, к существенным граничным условиям относят те, которые включают в себя перемещения (но не деформации, представляющие собой производные перемещений по пространственным координатам). Согласно терминологии теории упругости такие граничные условия называются кинематическими. Например, заделка и шарнирное опирание в стержневых задачах представляют собой существенные, или кинематические, граничные условия, наложенные на прогиб или продольные перемещения точек стержня. Заметим, что в задаче изгиба стержня к существенным условиям относится также условия, наложенные на первую производную по продольной координате от прогиба стержня, которая имеет механический смысл угла поворота сечения стержня. Тоже можно сказать об углах поворота сечений в теории изгиба пластин.

К естественным граничным условиям в механических приложениях МКЭ относят условия, наложенные на различные внешние силовые факторы, действующие на точки поверхности тела – сосредоточенные силы и моменты в стержневых задачах; распределенные силы в двумерных и трехмерных задачах. Такие ограничения носят название силовых граничных условий.

В постановках задач механики сплошной среды, и в частности теории упругости, широко используются смешанные граничные условия. Это означает, что в данной точке поверхности тела одновременно заданы некоторые компоненты перемещений и поверхностных сил.

Перечисленные три варианта граничных условий наиболее распространены в чисто механических приложениях МКЭ.

Кроме граничных условий, для разрешения уравнений необходимо задать характеристики материала для каждого КЭ, из которого изготавливается объект исследования. К примеру, в исследовании напряженно деформированного состояния параметры определяют связь напряжения и деформации.

3.4 Формирование системы уравнений

После задания граничных условий и материала программа конечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую граничные условия с неизвестными, после чего решает эту систему относительно неизвестных.

После нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность рассчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемента по той же искомой функции, которая использовалась при построении системы уравнений. Выходные данные программы анализа методом конечных элементов обычно представляются в числовой форме. В задачах механики твердых тел выходными данными являются смещения и напряжения. В задачах на теплоперенос выходными данными является температура и тепловые потоки через конкретные элементы. Однако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о поведении соответствующих параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи.

По способу получения основных, т. е. разрешающих, уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса. Из приведенных видов МКЭ в строительной механике особенно актуальны вариационный метод и метод взвешенных невязок Галеркина.  

Рассмотрим Вариационный метод. Данный метод основан на принципах стационарности некоторой переменной, зависящей от одной или нескольких функций (такая переменная носит название  функционала). Применительно к механике деформируемого твердого тела эта переменная представляет собой потенциальную (функционал Лагранжа) или дополнительную (функционал Кастилиано) энергию системы или формируется на основе этих двух энергий (функционалы Хеллингера-Рейсснера, Ху-Вашицу).  Если в функционал подставить аппроксимирующие выражения искомых функций и применить к нему экстремальные принципы (соответственно принцип Лагранжа, принцип Кастилиано и т. д.), получим систему алгебраических уравнений, решением которой будут значения узловых неизвестных.  

Вариационный принцип Лагранжа: Потенциальная энергия приобретает стационарные значения на тех кинематическе возможных перемещениях, которые удовлетворяют заданным граничным условиям и условиям равновесия сил.

В отличие от прямого вариационный метод может одинаково   успешно применяться как к простым, так и сложным задачам.

И так, рассмотрим трехмерный объект произвольной формы, находящийся в равновесном состоянии под воздействием некоторой нагрузки (рис. 4.1). Силы трения, действующие на поверхность (Поверхностные силы), обозначим - p, массовые силы (объемные силы) – G. В общем случае эти силы раскладываются на компоненты, параллельные осям координат:

G=, p=. (1)

Рис. 4.1. Трехмерный объект с внешними силами

Обозначим смещение произвольной точки объекта (X,Y,Z) по сравнению с конфигурацией в отсутствие нагрузки символом U. Тогда

U^T=[U(X,Y,Z) V(X,Y,Z) W(X,Y,Z)]. (2)

Смещения U приведут к возникновению деформации

ε^T=[ ε_XX ε_YY ε_ZZ ε_XY ε_YZ ε_ZX ] (3)

и соответствующих напряжений

σ^T=[ σ_X σ_Y σ_Z τ_XY τ _YZ τ _ZX ]. (4)

Необходимо рассчитать U, ε, σ в точке (X,Y,Z) по заданным внешним силам. Выражение для полной потенциальной энергии упругого тела описывается выражением:

Э - энергия деформации;

А - работа приложенных массовых и поверхностных сил.

Три последних слагаемых уравнения (5) описывают внешнюю работу, выполняемую реальными силами G,p на виртуальных перемещениях .

Верхний индекс S у вектора означает виртуальное смещение на поверхности. Напряжения вычисляются через деформации по соответствующим материальным уравнениям.

Получим из уравнения (5) уравнения метода конечных элементов. Начнем с аппроксимации объекта, изображенного на рис. 4.1, сеткой конечных элементов. Элементы соединяются друг с другом в узловых точках, которые находятся на их границах. Смещение в любой точке с координатами (x, y, z) в локальной системе координат элемента считается функцией смещений в узловых точках.

То есть для элемента т высказывается предположение, что

где H — интерполяционная матрица смещений (функций формы), а — вектор смещений на всех узлах. Если общее количество узлов равно N вектор запишется следующим образом:

Это выражение можно переписать так:

Хотя в уравнении (8) перечисляются смещения всех узлов, а, следовательно, эти смещения входят и в выражение (6), для каждого конкретного элемента смещения внутри него определяются только смещениями в его собственных узлах. В уравнение же (6) все узлы вошли потому, что это облегчает процесс объединения матриц отдельных элементов в матрицу структуры в целом, как будет показано ниже.

Уравнение (6) позволяет вычислить деформации:

Строки матрицы деформаций-смещений из уравнения (9) получаются дифференцированием и объединением строк матрицы H^(m).

Теперь мы можем записать и выражения для напряжений внутри каждого элемента:

где C — матрица упругости элемента т (матрица Гука), а — начальное напряжение внутри элемента. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости.

Перепишем уравнение (5) в виде суммы интегралов по объемам и поверхностям отдельных элементов:

где т изменяется от 1 до полного количества элементов в системе.

Подстановка (6), (9) и (10) в (11) даст следующее выражение:

где поверхностные интерполяционные матрицы смещений получаются из объемных интерполяционных матриц смещений подстановкой координат поверхности элемента.

которое с учетов введенных обозначений запишется так:

Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных элементов в формуле (14) выражает тот факт, что матрица жесткости набора элементов как целого получается сложением матриц жесткости элементов K^(m). Аналогичным образом, вектор R_в объемной силы, действующей на все тело, получается суммированием векторов объемных сил, действующих на отдельные элементы. Тем же путем вычисляются и векторы прочих сил.

Выражение (19) описывает статическое равновесие. Если приложенные силы изменяются во времени, это выражение применимо к любому конкретному моменту. Однако при быстром приложении нагрузки необходимо учитывать силы инерции. По принципу Даламбера силы инерции отдельных элементов могут быть добавлены к массовым силам. Если предположить, что ускорение в любой точке элемента связано с ускорениями в узловых точках матрицей H^(m) подобно смещениям, вклад массовых сил в вектор нагрузки К будет выражаться так:

где — ускорения узловых точек, а — массовая плотность элемента т.

Подстановка (20) вместо (15) в (19) дает новое уравнение равновесия:

M+KU=R, (21)

где М — матрица масс.

Обратите внимание, что U и R в уравнении (21) являются функциями времени.

Демпфирующие силы могут быть учтены как дополнительный вклад в массовые силы, что позволяет описать эффект демпфирования (затухания). Уравнение (20) при этом принимает новый вид:

где — вектор скоростей узловых точек, а — демпфирующий коэффициент для элемента т.

Уравнение равновесия приобретает вид

M+C+KU=R, (23)

где С — матрица демпфирования.

На практике матрицу С обычно конструируют из массовой матрицы и матрицы жесткости на основании экспериментальных данных по демпфированию в материале, потому что определить параметры демпфирования отдельных элементов достаточно сложно.
5. Предпроцессорная подготовка

5.1. Основные характеристики конечных элементов

Основные типы КЭ:

Рис.5.1. Типы КЭ

Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента. В динамическом анализе время рассматривается как дополнительная размерность.

Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную.

Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму.

Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения .

 

5.2. Типы конечных элементов

 При решении задач МКЭ используются элементы различных типов. Наиболее общие из них:

Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элемент более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на рис. 5.2б и 5.2в. Одномерный элемент может быть криволинейным (рис. 5.2в).

Рис.5.2. Одномерные КЭ

Рис.5.3. Двумерные КЭ

На рис 5.4в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику и позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третей координаты.

Рис.5.4. Трехмерные КЭ

Рис.5.4. Осесимметричный КЭ

Действия, относящиеся к подготовке данных, обобщенно называют моделированием конечных элементов. Выполняются эти действия чаще всего препроцессором, рассчитанным на работу с какой-либо конкретной программой анализа методом конечных элементов (FEA).

• 
  геометрическая;
  
• 
  расчетная;
  
• 
  сеточная.
  

В различных программах анализа имеются специальные средства генерации произвольной сетки, с помощью которых она может наносится непосредственно на модель достаточно сложной геометрии. Генераторы произвольной сетки обладают широким набором функций управления качеством сетки. Например, в программе ANSYS реализован алгоритм выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии.

Когда каждой ячейке сопоставляются узлы, она становится конечным элементом. От сложности сетки зависит размер глобальной матрицы жесткости, численная сложность задачи и объем требуемых вычислительных ресурсов. Точность решения можно повысить увеличением количества ячеек или использованием функций формы более высоких порядков. Размерность элементов должна совпадать с размерностью области задачи. Для одномерных задач используются одномерные элементы, для двумерных — двумерные, и т. д. Наконец, в зонах, где ожидаются резкие изменения неизвестных (напряжения, например, сосредоточиваются в окрестностях отверстий), плотность узлов и ячеек должна быть выше, чем в областях с плавным изменением параметров.

Толщина оболочек и пластин рассматривается скорее как свойство материала, чем как геометрический параметр, что позволяет избежать перехода к трем измерениям. Разные элементы могут иметь разные свойства, благодаря чему пользователь может анализировать составной объект, о чем уже говорилось выше.

Критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов. Разбиение области на КЭ не является единственным. Зависимость расчета от выполняемого пользователем выбора (построения) сетки КЭ и трудность оценки точности получаемых результатов является основными недостатками метода.

Погрешности метода конечных элементов связаны с:

– ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;

– ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.  

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю.  Эти ошибки уменьшаются    и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах    области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить  к расходимости.  

Однако общий метод оценки(универсальный и теоретически обоснованный) погрешности МКЭ на сегодня отсутствует, а точное решение в реальных задачах обычно не известно. Поэтому наиболее часто для оценки погрешности используют следующий прием: выполняют несколько расчетов при различных разбиениях области КЭ, по результатам этих расчетов строится зависимость рассчитанных напряжений (перемещений, деформаций) от размера элемента, затем выполняется экстраполяция на случай размера элемента, стремящегося к нулю.

Однако эти ошибки аппроксимации можно свести к минимуму,   если при построении аппроксимирующих функций обеспечить:  

1) непрерывность искомой функции и ее производных при переходе через границу КЭ до степени  m–1 включительно (m – наибольший порядок производных искомой функции содержащихся в функционале);

2) выполнение условий полноты, т. е. при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;

3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;

4) приближенное удовлетворение условий совместности не основных переменных (например, напряжений, если основные неизвестные – перемещения) на границах КЭ, а также граничных условий в рассматриваемой области;  

5) исключение концентрации напряжений в КЭ, если в рассматриваемой области такие концентрации заведомо отсутствуют; 

6) при перемещениях КЭ как жесткого целого в нем не должны возникать     деформации. 

Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. В сложных эрмитовых элементах выполнение условий совместности достигается сложнее.  Между тем имеются случаи, когда несовместные элементы дают очень хорошие результаты при быстрой сходимости решения к точному.

Отметим еще одну важную с точки зрения практики расчетов особенность метода. МКЭ (в рассмотренной постановке) подбирает поле перемещений так, чтобы минимизировать некоторый функционал, имеющий энергетический смысл. Поэтому точность определения упругой энергии, запасенной в конструкции при заданных нагрузках, оказывается выше, чем точность определения перемещений. Точность определения напряжений оказывается ниже, чем точность определения перемещений, поскольку напряжения определяются по деформациям, получаемым дифференцированием перемещений, и ошибки численного дифференцирования могут играть заметную роль.

С учетом ошибок округления ситуация оказывается более сложной: при большом числе элементов N решение может расходится из-за накапливающихся ошибок округления, даже если условия сходимости выполняются.

Эти ошибки наиболее существенны, если конечные элементы сильно вытянуты или имеют углы, величина которых близки к 0º или 180º. В этом случае расчет напряженно-деформированного состояния элемента становится плохо обусловленным(часть вблизи очень острого угла "не чувствует", что происходит в остальном элементе). С целью не допустить здесь больших ошибок разработчики пакетов КЭ обычно ограничивают отношение сторон элемента и величины углов; в пакеты вводятся специальные средства проверки элементов, рекомендующие пользователю - если необходимо - перестроить сетку или делающие это автоматически. Наилучшим в этом смысле являются КЭ в виде правильных многоугольников (квадрат, равносторонний треугольник, куб, правильный тетраэдр); приемлемыми являются элементы с отношением сторон до - примерно 1:4 и углами от 25º до 155º.

В настоящее время, при отсутствии общей теории оценки погрешности МКЭ, в реальных задачах практически единственным методом оценки точности является построение зависимостей типа показанной на рис 14 (зависимость результатов - напряжений, перемещений - от разбиения) и их экстраполяция с учетом опыта.

7. Преимущества и недостатки

В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются следующие:

1. 
   Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких материалов.
   
2. 
   Криволинейная область аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, метод можно использовать не только для областей с "хорошей" формой границы.
   
3. 
   Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.
   
4. 
   Указанные выше преимущества метода могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для решения частных задач определенного класса.
   

Изначально МКЭ разрабатывался как метод строительной механики, но получил широкое применение и в других областях.

Система Autodesk Robot Structural Analysis является специализированной системой анализа строительных конструкций с применением МКЭ на этапах монтажа и эксплуатации.

Многие современные проекты проходят подготовительные этапы анализа в данной системе, к примеру, производился анализ деловой центр "Москва - Сити".

В последнее время математические методы прогнозирования поведения автомобиля в различных видах ДТП занимают всё больше времени в объёме, отведённом на разработку автомобиля. Мировые автогиганты имеют в своём арсенале мощнейшие компьютерные средства для дополнения натурных экспериментов виртуальными испытаниями. Использование такого рода программ позволяет снизить затраты на проведение огромного количества испытаний как отдельных узлов автомобиля, так и краш-тестов автомобиля в целом. Стоимость одного краш-теста автомобиля составляет от 150 до 200 тысяч долларов, экспериментальной модели автомобиля до 2 млн. долларов, в то же время виртуальный краш-тест стоит 5-7 тысяч долларов

При разработке новой модели автомобиля производители проводят 150-200 виртуальных краш-тестов и 5-6 реальных.

При проведение виртуальных краш-тестов производители используют в основном расчётные системы такие, как ANSYS, LS-DYNA, Abaqus, РАМ-Crash (ESI Group), основанные на применении методов конечных элементов (МКЭ). Эти программы представляют собой удобную среду для проведения численных расчётов, дополняя эксперименты, проводимые в краш-лабораториях.

В системе LS-DYNA была создана модель прямого удара автомобиля Plymouth Neon 1996 года выпуска на скорости 51 км/ч в недеформируемый барьер.


8.3. Пример исследования в монолитном строительстве

Теперь рассмотрим поведение крупнощитовой опалубки серии ГАММА (3м x 1.2м) отечественной фирмы Техноком-БМ при различных видах нагрузки, смоделированной в системе SolidWorks Simulation.

Модель представляют собой сборку из двух деталей:

• 
  Металлическая конструкция, состоящая из рамы и ребер жесткости (в дальнейшем – Каркас щита)
  
• 
  Палуба из ламинированной фанеры
  

-В соответствии с номенклатурой, в приведенной таблице указаны материалы и номера их ГОСТов, используемые для изготовления опалубки данной серии.

Палуба - Фанера общего назначения;

Профиль - Сталь 10.

В следующей таблице приведены параметры(необходимые для задания материальных уравнений связи напряжения и деформации), запрашиваемые системой для проведения данного вида анализа.

-При исследовании потребовалось изучение физических условий эксплуатации опалубочных элементов в монолитном строительстве. В зависимости от различных условий нагрузка может видоизменяться. Нагрузка была задана трех видов:

• 
  равномерное нагрузка. В качестве значения используется предельно допустимое давление согласно номенклатуре 90кН/м²;
  
• 
  треугольная нагрузка (левый нижний угол слайда);
  
• 
  Усеченная треугольная нагрузка (правый нижний угол слайда).
  

-Кроме того, важно знать как в реальных условиях устанавливается и закрепляется модель или определить граничные условия с точки зрения МКЭ. Для имитации реальных видов креплений в модели было установлено 2 типа креплений в 4 местах установки тяжей:

• 
  Имитирующий стяжку и позволяющий поворот только вокруг своей оси.
  
• 
  Имитирующий опору гайки и позволяющий перемещение только по плоскости прилегания.
  

В системе SolidWorks Simulation сетка создается автоматическим построителем, поэтому пользователь может управлять только стартовыми параметрами для создания сетки и не может работать с каждым элементом, поэтому в данной системе есть высокая вероятность создания не качественных элементов (слишком вытянутых). В данной системе этот недостаток постарались компенсировать использованием элементов высокого порядка. В SolidWorks Simulation для оболочек используются элементы - плоские треугольники или параболический треугольный элемент (элемент второго порядка), а для твердых тел - тетраэдры чернового качества или параболические тетраэдры высокого качества. Использования такого рода элементов позволяет повысить точность, но усложняет дальнейший расчет.

Средствами системы Simulation, для запуска анализа МКЭ, была создана трехмерная расчетная сетка, представленная на слайде и ее укрупненный вариант. Сетка в данном примере комбинированная. Так как каркас достаточно тонкий и не позволяет создать сетку достаточной точности в несколько рядов элементов, то каркас задается как оболочка которая дискретезируется плоскими треугольными элементами второго порядка, а палуба, как твердое тело, тетраэдрами высокого качества.

На следующем слайде представлены эпюры перемещения опалубки при воздействия на нее разного вида нагрузок. Как видно в зависимости от формы давления видоизменялась и форма деформации опалубки.

В результате выполнения анализа в системе Simulation было выявлено, что, вероятней всего, ни один из данных видов нагрузок опалубка с данными характеристиками материалов и конструкцией не выдерживает в местах установки тяжей.

Заключение

Метод конечных элементов является одним из наиболее распространенных методов проведения инженерных анализов разрабатываемых деталей. С помощью данного метода можно исследовать детали любой сложности и неоднородными материалами. В большинстве современных САПР есть возможность проведение инженерного анализа, с применением МКЭ. Популярность МКЭ обусловлена его результативностью и возможностью решения широкого спектра задач.