Исследовательская работа по математике на простом уровне возможна и полезна




страница1/7
Дата29.09.2016
Размер1.34 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
Сгибнев А.И.

Исследовательские задачи

для начинающих

 

Введение

 

Аннотация: Исследовательские задачи в школах почти не используются. А между тем они очень полезны и их можно решать с обычными школьниками. В книге будет показано, как это делать. Она адресована учителю и руководителю кружка, который хочет заниматься исследовательскими задачами с учениками.
В последнее время выходит немало хороших материалов, посвящённых научно-исследовательской работе школьников на высоком уровне1. Между тем аналогичных материалов для начинающих почти нет. Однако такие материалы не менее важны, ведь:

Количество потенциальных участников исследовательских работ начального уровня в десятки раз больше, чем «продвинутого» (как в школьной олимпиаде в сравнении с региональной).

Когда сильный ученик решает сложную задачу (даже и не исследовательскую), ему волей-неволей приходится выдвигать гипотезы, ставить вспомогательные задачи и т.д. А вот обычный ученик, решающий задачи из учебника, может успешно пройти весь курс школьной математики («решать примеры») и нигде не столкнуться с математическим открытием. Его шанс – школьный кружок… и школьная исследовательская работа.

У пирамиды должно быть надёжное основание: ученик легче включается в решение сложных исследовательских задач, если имеет опыт решения простых.

Мы считаем, что содержательная исследовательская работа по математике на простом уровне возможна и полезна. Таким работам и посвящена эта книжка.
 

Что такое исследовательские задачи

 

Выделим два подхода к обучению. При одном – назовем его традиционным – ученик  изучает новую теорию, решает задачу, получает оценку и ждёт от учителя новой задачи. Предполагается, что у задачи есть единственный правильный ответ и учитель его знает. При другом подходе – назовём его исследовательским – ученик сам ставит вопросы и ищет на них ответы,  выдвигает гипотезы, доказывает и опровергает их. Всякий полученный ответ может стать основанием для новых вопросов. Результат может быть не известен учителю заранее. Можно сказать, что ученик попадает в новый математический мир и учится жить в нём.

 

Три мнения об исследовательских задачах:

«Они доступны только старшеклассникам».

«Они нужны только сильным школьникам».

«Учёба отдельно, исследования отдельно».



Мы считаем, что всё это не так. Чтобы начинать решать такие задачи, не надо ждать старших классов,  уже материал начальной школы позволяет вводить элементы исследования (см. [K5]). Полезно начинать с самого простого, с вещей, доступных несильным ученикам. Далее, хорошее обучение должно дать понятие о методах, характерных для изучаемой науки. При работе с исследовательскими задачами ученикам неизбежно приходится иметь дело с методами науки математики, поэтому исследовательские задачи могут стать органической частью обучения математике. 

Психология. При смене традиционного подхода на исследовательский сильно меняется не только роль ученика, но и роль учителя. Если при традиционном подходе учитель даёт образцы, тренирует, контролирует и оценивает, то при новом – консультирует ученика, делится своими соображениями и идеями (но не навязывает их), помогает ясно изложить результаты – в общем, из тренера превращается в старшего коллегу. Такую смену установки произвести довольно трудно, но это полезно и для учителя, и для ученика.

Профориентация. Школьный курс математики даёт слабое представление о методах исследования математики как науки. У обычного ребёнка складывается впечатление, что в математике всё открыто, и новые открытия (во всяком случае, на школьном уровне) невозможны. Работая над исследовательской задачей, ученик получает некоторое представление о реальной работе математика. Результаты бывают неожиданные. Часто девочка-отличница, которая прекрасно работает на уроке, не справляется с такой задачей и осознаёт, что математика – это «не её», и на мехмат идти не стоит. Небыстрый, но вдумчивый ученик удачно продвигается в исследовании и от этого становится успешнее на уроках. Сильный лентяй, считавший, что математика – это скучный набор рецептов, может понять, что это живая растущая область науки, и загореться интересом к ней.

Хорошие задачи для исследования. Итак, ученик попадает в новый незнакомый мир. Он привык, что раньше учитель знакомил его с основными законами этого мира, а здесь он должен открыть их сам. Но оставлять его совсем без ориентиров нельзя. Поэтому хорошая задача для начинающих – та, в которой есть естественный параметр, по которому можно двигаться в исследовании, т.е. легко выделяемая последовательность частных случаев, так что в каждый момент ученик сам понимает, что можно делать дальше. И совсем хороша та задача, где и к идее доказательства можно прийти, последовательно двигаясь по этому параметру.

Хорошая задача для опытных исследователей – та, в которой есть большой простор для продвижений, уточнений, вспомогательных задач, обобщений, а при доказательстве используются разнообразные методы. Здорово, если в этой задаче находятся нетрудные «подзадачи» – ребёнку тяжело долго не получать никакого результата. Отлично, если задача развивает научный вкус и имеет в перспективе выходы на идеи и методы «большой» математики.

Отметим, что всякую содержательную олимпиадную задачу можно рассматривать как «кусочек», вырезанный из какой-то исследовательской темы (часто для её решения достаточно восстановить контекст). И наоборот, многие из тем этой книжки «сделаны» из известных кружковых и олимпиадных задач. Новизна  здесь не в задаче, а в подходе к работе школьника: не «решил-не решил», а «какую часть нового математического мира освоил». По сути, задача здесь рассматривается как «зацепка» для введения в тему исследования.



О новизне работ. Мы считаем, что никакой объективной новизны от работы школьника не требуется. Результат должен быть субъективно новым – школьник открывает то, чего не знал. Конечно, сильный школьник при хорошем руководителе и удачно поставленной задаче иногда может получить объективно новый результат, и это здорово. Но это нисколько не умаляет работу тех, кто не достиг таких успехов. Цель исследовательской работы мы видим не в том, чтобы получить чемпионский результат, а в том, чтобы делать математические открытия на уровне, доступном ученику. Более-менее содержательные субъективные открытия доступны почти всем.

Время. Школьники привыкли, что над упражнением надо думать одну-две минуты, над задачей – пять-десять минут. Над сложной олимпиадной задачей – от силы час. Однако в математике есть вопросы, требующие долгого размышления, «вживания». Нужно исследовать «окрестности» своей задачи. Сначала найти длинный окольный путь к цели. Потом постепенно спрямлять его. Если ученику сразу покажут короткий путь, он сможет пройти им, но толку будет мало – важно узнать окрестности, найти новые интересные места, научиться ходить по бездорожью. Всё это требует значительного времени – вновь открытое должно отложиться в голове, встроиться в имеющийся опыт.  Гаусс писал, что над сложными задачами теории чисел он думал по 15 минут каждый день – и достигал замечательных результатов.

 

Содержание книги

 

Книга написана в рамках работы автора на кафедре математики Московского института открытого образования. В книге систематизированы видение и  опыт решения исследовательских задач со школьниками:



       в московской школе-интернате «Интеллектуал» и Летней школе интенсивного обучения при ней под руководством Д.Э. Шноля, к.ф.-м.н. А.И. Сгибнева, к.ф.-м.н. А.С. Воронцова и Н.М. Нетрусовой,

       в Красноярской летней школе (так называемые проекты по математике, проводившиеся под руководством к.ф.-м.н. М.А. Ройтберга),

       в Клубе экспериментальной математики под руководством д.ф.-м.н. проф. Г.Б. Шабата.

Книга состоит из следующих частей:



1. Технологии проведения исследовательских работ. 

Эта часть, в свою очередь, разбита на три раздела.

Первый рассказывает о том, как можно вводить элементы исследования на уроке.

Второй – об индивидуальной работе в свободное время с консультациями учителя.

Третий – о коллективной работе над задачами в аудитории.

2. Истории. Чтобы передать дух и атмосферу работы над исследовательскими задачами, мы решили привести несколько ярких историй, рассказанных учителями.

3. Работы школьников. Примеры работ школьников разных возрастов, написанные в разных жанрах (краткий отчёт – подробное изложение, законченные работы – незаконченные, простая задача – сложная). Мы намеренно не стали сильно редактировать тексты, чтобы не нарушить живой детский стиль.

4. Подборка исследовательских задач  около 50 задач, разбитых на 5 разделов. Почти все эти задачи успешно исследовались учениками. Для решения большинства задач не требуются знания, выходящие за рамки школьной программы. Для удобства учителя задачи снабжены комментариями и рубрикатором.

5. Приложения. Две статьи, подробно излагающие опыт решения исследовательских задач в школе «Интеллектуал» и в Красноярской летней школе.

6. Источники. Аннотированный перечень журналов, книг, интернет-ресурсов, статей, которые содержат исследовательские задачи.
Предлагаемые материалы также обсуждались (и отчасти создавались) на Семинаре учебно-исследовательских работ школьников при Московском центре непрерывного математического образования [С1], на курсах повышения квалификации для учителей математики при Московском институте открытого образования и др. 

 

Благодарности

Автор благодарен своим учителям и соавторам Г.Б. Шабату, М.А. Ройтбергу и Д.Э. Шнолю, а также В.М. Бусеву, А.С. Воронцову, Н.М. Нетрусовой, Д.М. Новицкому, А.Д. Блинкову, И.С. Конрад, Е.А. Ермаковой и всем участникам семинара [C1]. Отдельная большая благодарность инициаторам написания книги А.В. Семёнову и И.В. Ященко.

Буду признателен за отзывы, замечания, новые задачи. Электронный адрес: sgibnev@mccme.ru.





ТЕХНОЛОГИИ
1. Исследовательские задачи на уроках: начало
Здесь мы расскажем, как можно решать несложную исследовательскую задачу с группой 5-7 класса на уроке или кружке. В заметке изложен опыт школы-интерната «Интеллектуал».

Поначалу главная цель такой работы – дать понятие о процессе исследования (см., например, схему на стр. 4). Поэтому в начале хорошо давать задачи, которые не содержат принципиально новых для школьников математических идей или объектов, но имеют естественное продолжение.

Вот пример – «задача о разрезании плоскости». Сначала решим задачу: на сколько частей можно разрезать круг тремя прямолинейными разрезами? Далее зададим вопрос: а если разрезов четыре, пять, n? Составьте таблицу: в первой колонке – число разрезов, во второй – наименьшее число частей, в третьей – наибольшее. Тут хорошо объединить детей в группы, скажем, по три человека: один рисует наименьшее число частей, другой наибольшее, третий (самый аккуратный) проверяет и заносит в таблицу. Найдите закономерности во второй и в третьей строчках. Про наименьшее количество частей дети догадываются довольно быстро, про наибольшее кто-то догадывается, кто-то нет. На дом можно задать додумать вопрос и оформить результаты: записать гипотезу, попробовать доказать. На следующем уроке посмотреть записанные решения и выслушать лучшее. Не обязательно требовать полного понимания технической стороны доказательства (математическая индукция и т.д.). Главное – чтобы школьники дошли до идеи: число частей при проведении новой прямой увеличивается на столько, на сколько частей делят эту прямую проведенные ранее прямые.

Через пару недель можно вернуться к этой теме, вспомнить полученные результаты и предложить новые направления работы, например:



  • Решить аналогичную задачу для (неограниченной) плоскости. Чем отличаются результаты?

  • Все ли промежуточные значения числа частей реализуются для плоскости и для круга?

  • А что будет, если разрезы – не прямые, а окружности или углы?

Совсем необязательно все эти задачи решать, главное – чтобы дети поняли, что каждый результат порождает новые вопросы, увидели, как эти вопросы можно ставить.

Понятно, что тут годится не всякая задача, а такая, у которой много возможностей продолжения, обобщения, связей с другими задачами. Вот ещё пример хорошей задачи.



На окружности отмечены 12 точек на равном расстоянии друг от друга (циферблат). Одна из точек  – стартовая. Её соединяют отрезком с точкой, отстоящей от неё на d дуг по часовой стрелке (например, если d = 1, то берём соседнюю точку). Эту новую точку также соединяем отрезком с точкой, отстоящей от неё на d дуг, где d<12. Так продолжают, пока последняя точка не совпадёт со стартовой. Получается замкнутая ломаная.

  1. При каких d может получиться квадрат, треугольник, отрезок?

  2. При каких d все 12 точек окажутся вершинами ломаной? (Например, при d = 1 окажутся, а при d = 2 нет.)

  3. Сколько оборотов делает ломаная до замыкания? (При d = 1 всего один оборот.)

  4. Как изменятся ответы 1-3 пунктов, если отметили: 11 точек, 10 точек, 9 точек? Сформулируйте утверждение, обобщающее эту задачу.

  5. Нет ли совпадающих ломаных? В каких случаях они совпадают? Как изменятся результаты пунктов 1-4 с учётом этого наблюдения?

В другой раз можно применить схему, предложенную в американском образовательном проекте Making Mathematics [Сайт 1]. Даётся описание ситуации, школьники осознают её. Затем школьники сами ставят вопросы, которые было бы интересно исследовать в рамках этой ситуации. Учитель помогает сформулировать эти вопросы, классифицирует их, при необходимости добавляет свои. Таким образом на доске появляется список направлений исследования. Затем ученики разбиваются на группы, каждая из которых работает над определённым направлением. Учитель помогает распределить роли в группе, организует общение групп между собой, если это полезно. В конце занятия представители групп делают короткие доклады о своих результатах. После этого можно обновить список вопросов, попросить подумать над ними дома или повторить цикл в классе.

Рассмотрим подробнее работу по этой схеме на примере «задачи о новобранцах».



Ситуация. Шеренга из шести новобранцев стоит перед старшиной. Старшина командует: нале-ВО! Но по неопытности часть солдат поворачивается налево, а часть – направо. После этого каждую секунду происходит вот что: солдаты, оказавшиеся друг к другу лицом, понимают, что произошла ошибка, и оба поворачиваются кругом.

Первое занятие. Опишите задачу классу. Полезно разыграть ситуацию, выстроив 6 ребят и сыграв роль старшины самому. Добейтесь выполнения правил. Затем разбейте весь класс на группы, назначьте каждой старшину, и пусть поупражняются. Пусть ищут расстановки, которые останавливаются дольше всего. Когда все поймут задачу, предложите продолжить работу в тетради. В этот момент полезно разбить класс на группы по два-три человека. Через некоторое время стоит обсудить, кто как записывает расстановки солдат и выбрать наиболее удобную запись. На дом задайте одну-две из задач для разминки.

Второе занятие. Обсудите домашнюю работу. Пусть каждая группа расскажет, какие у неё есть идеи и вопросы. Спросите, проходят ли их наблюдения для другого количества солдат. Если ни одна команда не нашла инвариант, расскажите, что это такое и обсудите, как инвариант помогает решать задачи. После того, как инвариант (количество солдат, глядящих в одну сторону) всё-таки найдут, попробуйте с его помощью доказать обнаруженные командами закономерности.

Если позволяет время, спросите школьников, какие интересные обобщения задачи о новобранцах они видят.



Сообщение по проекту. Хорошо завершить работу сообщениями, в которые могут входить следующие пункты:

• Постановка задачи своими словами

• Обозначения

• Экспериментальные данные – например, все начальные расстановки четырёх новобранцев и их переходы в конечное состояние

• Выводы (гипотезы, обобщающие приведённые данные, или доказанные теоремы – кто как смог)

• Возможные задачи для дальнейшего решения.

После сообщений детей можно рассказать им простое и наглядное решение задачи2, изложенное в [К2, с. 143-144]. После самостоятельного поиска дети смогут лучше оценить его красоту.
В некоторых сильных классах мы выделяем один урок в неделю специально на решение исследовательских задач. Задачи попроще делаются на одном уроке и тут же (или дома) записываются. Задачи посложнее обсуждаются в классе один раз в неделю, а через полмесяца-месяц подытоживаются. Дети, которые думают медленно и от этого на уроках обычно страдают, тут оказываются в выигрышной ситуации. Важно требовать запись решения: ребёнок ещё раз всё продумывает, выстраивает логически, обосновывает. Обычно мы не получаем полного решения от всех, каждый обобщает до своего уровня. Но здесь это не страшно (в отличие от работы с программным материалом).

После того как два-три цикла пройдено и ученики поняли логику исследования, можно дать им несколько более сложных задач (вроде тех, что приведены в этой книжке3). Каждый пусть выберет и решает свою (в одиночку или в добровольной группе из двух-трёх человек). На решение такой задачи может уйти около месяца, т.е. четыре-шесть уроков работы в классе и несколько часов работы дома. Такую работу полезно заканчивать конференцией на урок-два с приглашением других учеников и учителей. По нашему опыту, на этапе решения задачи одному учителю удаётся работать с шестью-восемью заинтересованными школьниками разом. Когда же дело доходит до оформления результатов и подготовки доклада, стоит каждому ребёнку или группе назначить своего консультанта, который посмотрит свежим взглядом на его решение, выловит ошибки, “дожмёт” с подготовкой доклада к нужному сроку. Тут ресурса одного человека на всех не хватает, тем более что обычно дети больше любят решать, чем оформлять.

Другие примеры исследовательских задач, которые можно решать на уроке, и подходы к организации решения см. в [Ст 1, 2, 3].

Дети, успешно прошедшие в своё время такие мероприятия, затем при желании легко включатся в решение более сложных исследовательских задач — уже в индивидуальном порядке, размышляя дома и консультируясь у учителя (см. с. 9).


2. Интенсивная работа над исследовательскими задачами в аудиторное время
Данный формат хорош для быстрого знакомства учеников с жанром исследовательских работ. Это можно делать, например, в рамках сезонной школы или специальной проектной недели в школе. Мы изложим опыт Летней школы интенсивного обучения «Интеллектуал». (В Летнюю школу приезжают дети после 7-8 класса, в основном из регионов, см. sch-int.ru/summer. Аналогичный опыт Красноярской летней школы подробно изложен на сс. 59-69.)

На выполнение работы отводится 5 пар (по одной паре через день) и две пары на подготовку в день конференции.

Надо заранее подготовить список тем и распределить их по руководителям.

Темы вывешиваются заранее, чтобы школьники смогли прийти на первое занятие с минимальной готовностью (пример списка тем см. с. 69-71). В начале первого занятия руководители работ рассказывают постановки задач и вместе с аудиторией проделывают первые шаги исследования. Полезно отмечать более простые темы, являющиеся по сути цепочками учебных задач, и более сложные – исследовательские, в которых вопросы надо задавать самому ученику (соответственно, высокий и низкий уровень пошаговости в разделе Задачи). Это нужно, чтобы каждый ученик сразу выбрал тему по своему вкусу и способностям, ведь времени на смену темы почти нет. (Допускается смена темы после первого занятия, после второго это уже практически невозможно.)

Когда школьники распределятся по темам и руководителям, окажется, что некоторые выбрали одну и ту же тему. Таких полезно попытаться объединить в группу (оптимальный состав – 2-3 человека). Если это не получается, то хорошо их повести разными путями (например, дать разных руководителей), чтобы они не дублировали работу друг друга.

Поскольку к заданному близкому сроку надо получить хоть какой-то результат, учеников приходится более-менее жёстко направлять, не давая полностью отработать бесплодные версии. Оптимальное распределение времени работы над темой выглядит примерно так (ср. схему на с. 4):

1-е занятие - понял постановку задачи, начал сбор данных (решил первые вспомогательные задачи)

2-е и 3-е занятия – накопил данные, сформулировал гипотезу

4-е занятие – нашёл контрпримеры, уточнил гипотезу, доказал её

5-е занятие – подытожил всё сделанное, записал формулировки, сделал эскиз плаката

Подготовка к конференции – оформил плакат, отрепетировал доклад.

При более быстром продвижении школьник может уже на 3-м занятии доказать гипотезу, а на 4-м задать новые вопросы (обобщить задачу) и получить новые результаты.

При медленном продвижении обзор сделанного «съезжает» на подготовку к конференции, однако тут есть риск доделывать свой доклад уже во время конференции. А этого допускать нельзя!

Около 3-4-го занятия полезно пригласить внешнего консультанта, который послушает ученика и руководителя и даст новые идеи и советы. А ученик впервые потренируется изложить всё сделанное.

Руководитель должен найти оптимальную частоту консультирования школьника.

Притирка к темпу ученика обычно происходит на первой паре совместной работы. С

одной стороны, над школьником не нужно «нависать», нужно дать ему время подумать

самому и спокойно в своем темпе поэкспериментировать в выбранной теме. С другой

стороны, у ученика не должно быть чувства, что его бросили на произвол судьбы, что он

уже час бьётся над малопонятной задачей, а продвижений нет. Самый простой способ

для руководителя при работе с малознакомым школьником – спрашивать его каждые 10-

15 минут: «Не нужна ли тебе помощь?». Так удается выстроить индивидуальный ритм

работы пары руководитель-ученик.

Конференция проводится в постерном формате. Рекомендации по оформлению постеров (плакатов) см. на с. 72.

Плакаты удобно развешать в одном общем пространстве (зал, или коридор и кабинеты одного этажа). Одновременно реально вывесить 10-15 плакатов. Слушания хорошо делать в две «ленты» по 60 минут с перерывом в 20-30 минут и сменой плакатов. Надо настроить детей максимально слушать друг друга. Обычно это нетрудно сделать словами: «Мы все вместе жили и учились две недели, работали над своими темами, а вот теперь имеем возможность поделиться друг с другом своими открытиями».

На конференцию хорошо пригласить внешних авторитетных людей (учёных или учителей), представить их детям в начале конференции – это повышает торжественность и ответственность момента. Работы надо слушать благожелательно, в том числе и слабые. Важно не отбить охоту к исследованиям, даже если начало оказалось не очень удачно. Надо, чтобы ученик в ходе беседы не только понял ошибки, допущенные в работе, но увидел способы их исправления, возможности продолжения работы.

Оценивать в баллах работы обычно не удаётся. Можно ограничиться отзывом жюри, и вручением призов лучшим работам по версии жюри и по версии зрителей.

Плакаты после конференции стоит сфотографировать и выложить в интернет (например, http://www.sch-int.ru/summer/index.php/foto2012, папка «Постеры») и на диск детям – на память.

Написать связный текст работы за такое время обычно не удаётся (разве что тезисы на полстраницы, см. сс. 18-22). Можно дать задание для желающих «на лето» – написать дома отчёт о работе, а в награду тех, кто хорошо сделает, пригласить в летний лагерь на следующий год без вступительных заданий.
3. Индивидуальная работа в свободное время с консультациями учителя
Сильные и просто интересующиеся математикой школьники могут работать над исследовательскими задачами в своей школе в течение учебного года. Длительность работы позволяет глубоко погрузиться в задачу, пройти несколько исследовательских циклов (см. схему на с. 4). Учитель не так связан временем и может менее жёстко направлять ученика, позволяя ему выдвигать и долго проверять свои гипотезы.

В сентябре (желательно в начале) вывешивается список задач с комментариями, можно сделать и специальное представление задач для интересующихся (как в летней школе, п. 2). Важно быстро вовлечь детей в процесс исследования, пока они «свежие» после лета. Желающие распределяются по темам и руководителям (обычно этот процесс длится месяц, его не стоит затягивать). Ученикам надо завести специальные тетради, в которые они будут записывать всё, что получают по теме исследования. Со своими домашними результатами они приходят к руководителю. Разумная частота таких консультаций – раз в неделю или раз в две недели.

Опыт показывает, что чем регулярнее дети обсуждают свою работу, тем ответственнее её делают и лучше понимают. Поэтому полезно организовать постоянно действующий семинар исследовательских работ, на который раз в две-три недели приходят все ученики соседних параллелей, работающие над задачами, и рассказывают друг другу и учителям текущие результаты (каждый рассказывает примерно раз в полтора месяца). Ученики 8-9 класса с соответствующим опытом уже способны хорошо понимать задачи и задавать дельные вопросы.

В ноябре и в апреле происходят предзащиты: собираются руководители и другие учителя кафедры и подробно слушают работы детей, вникают в доказательства, указывают на ошибки, дают советы по доработке и по построению доклада. А также ставят оценку тем, кому исследовательская работа обязательна для выполнения (в «Интеллектуале» это 8 и 10 класс, остальные выполняют по желанию).

На предзащите же решается, какие доклады стоит выпускать на общую защиту. Не допускают халтурные и едва начатые работы. За добросовестные «серенькие» работы ставят «3» или «4-» и тоже обычно не выпускают. Таким образом, на предзащите лежит функция контроля. На защиту выпускают не для того, чтобы отчитаться, а чтобы дети и взрослые послушали хорошие работы.

Предзащиты как текущая работа проходят после уроков, а защиты как праздничное мероприятие – во время уроков.

Работа над докладом – серьёзное большое действие, на которое надо выделить отдельное время. Сначала руководитель проговаривает с докладчиком, что и в каком порядке надо рассказывать, на чём делать акцент, что из работы следует опустить (например, длинные технические выкладки), где делать паузы, что записывать на доске - как правило, всё это неочевидно для школьника. Дома школьник тренируется, затем происходит «генеральная репетиция». См. памятку докладчику на с. 71-72.

Обычно работа рассчитана на год, т.е. в конце первого полугодия докладываются промежуточные результаты, а в конце второго – «итоговые». Деление условное, поскольку невозможно поставить задачу, которую решат ровно за год. В процессе решения исходной задачи обычно возникают новые, и исследование можно продолжать непрерывно. Важно остановится в тот момент, когда ученик устанет от темы.

Примеры работ, выполненных в таком формате, см. на сс. 15-18, 23. Подробное описание организации исследовательских работ в школе «Интеллектуал» см. на с. 54-59.

ИСТОРИИ
Шноль Д.Э.

Задача про «пифагоров кирпич»

В томе «Математика» энциклопедии издательства «Аванта+» я прочел, что до сих пор неизвестно, существует ли «пифагоров кирпич»: прямоугольный параллелепипед с целыми ребрами, диагональю и диагоналями граней. Пример параллелепипеда, у которого нецелые только две диагонали боковых граней, легко найти (ребра 3; 4; 12): 13² = 3² + 4² +12², при этом 3² + 4² = 5². Мне показалось, что было бы интересно поработать с такими параллелепипедами, а также попытаться найти те параллелепипеды, у которых диагональ только одной грани нецелая (мы их назвали «слабыми по одной грани»). В таком виде и была вывешена тема для исследовательской работы в начале года. Сам я в ней не разбирался, так что мог работать наравне с учеником, который ее выберет. К моему удивлению, ее выбрал пятиклассник Алеша Рухович и сумел за год существенно продвинуться. Во-первых, используя формулы для пифагоровых троек, Алеша вывел общую формулу для «пифагорова кирпича, слабого по двум граням». О пифагоровых тройках он сам прочитал в одной из популярных книг, а потом применил их на деле. Сделать это не сложно, но очень важна самостоятельность. Во-вторых, он написал программу, которая нашла несколько примеров «пифагорова кирпича, слабого по одной грани». Мы вместе всматривались в эти примеры, но особых закономерностей не обнаружили. Тогда Алеша снова использовал формулы для пифагоровых троек, получил некоторое уравнение 4-й степени в целых числах, решение которого и дают ответ. Как решить такое уравнение, мы не знали, и, казалось, это был тупик. Тогда Алеша сам предложил попробовать поработать с делимостью. Известно, что во взаимно простых пифагоровых тройках одно число четное, а два других - нечетные. Алеша исследовал, какими могут быть взаимно простые целые числа, задающие ребра «пифагорова кирпича», с точки зрения делимости на степени двойки. Результат оказался довольно интересным: одно число должно быть нечетным, второе - делиться на 4, но не делиться на 8, третье - делиться на 8. На этом закончился первый год исследований, при этом бывали длительные периоды (до месяца), когда исследование «буксовало». Во время работы над темой инициатива того или иного хода решения почти всегда исходила от ученика, я, как правило, выступал только как квалифицированный слушатель. Времени и сил, чтобы самому подробно разбираться в задаче, у меня не было, и это было только к лучшему: Алеша смог получить полное удовольствие от собственных открытий. Работа Алеши была принята к докладу на Колмогоровских чтениях, и он был отмечен как самый молодой участник.


Сгибнев А.И.

Две исследовательские работы

Я расскажу о двух работах (или одной, как считать), показательных во многих отношениях. Всё началось с того, что шестиклассник Володя Иванов взял задачу об аликвотах – обыкновенных дробях с числителем 1. Древние египтяне использовали почему-то только такие дроби. Другие дроби представляли в виде сумм аликвот. Сохранился папирус Ахмеса, в котором дроби вида 2/(2n+1) представлялась в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот. Володя задался вопросом: любую ли дробь такого вида («папирусную») можно представить в виде суммы двух аликвот? Оказалось, что любую, да ещё несколькими способами. Всегда присутствует, во-первых, тривиальное разложение(которое мы договорились даже не учитывать), во-вторых, ещё такое: = + (можно проверить тождество непосредственно). Володя искал разложения численно на компьютере, и открыл, что для многих n есть и другие разложения. Этим закончилось первое полугодие, но тут наш коллега Андрей Олегович Белинский подкинул идею посмотреть частоты распределения количеств разложений. Володя обсчитал все дроби с n от 1 до 500. Оказалось, что вполне можно говорить о статистической закономерности: 1, 4, 7, 13 вариантов встречались стабильно больше остальных. Примерно в этот момент я понял, что нашу задачу можно сформулировать так: дано натуральное число h; сколько есть пар натуральных чисел a и b, для которых h является средним гармоническим? Новая формулировка задачи привела, во-первых, к тому, что мы стали исследовать и чётные знаменатели (для них закономерности оказались такие же). Во-вторых, была поставлена серия аналогичных задач: Дано натуральное число r. Сколько существует пар натуральных чисел a, b, для которых r является 1) средним арифметическим? 2) средним геометрическим? 3) средним квадратичным? За эти задачи взялся Миша Пядёркин (6 класс). Но вернёмся к Володе. За следующие полгода (третьи!) мы поняли, что количество вариантов разложения папирусной дроби в сумму двух аликвот однозначно определяется видом разложения её знаменателя на простые множители. Наконец, в четвёртом полугодии я смог по Володиным таблицам и классификациям угадать общую формулу для количества вариантов. Мне хотелось, чтобы Володя на майской школьной конференции доложил этот результат, но сам он никак до формулы не догадывался, а лишать его открытия было нечестно… Он придумал формулу осенью, а чуть раньше, в августе, корейский учитель Kim Young Won, которому я рассказал нашу гипотезу как пример того, на что способна неполная индукция в школьной математике, дал строгий и простой вывод формулы.

Тем временем Миша легко решил задачу о среднем арифметическом. Решение задачи о среднем геометрическом я знал, поэтому подсказал нужную комбинаторную идею. После этого мы на вторые полгода завязли в задаче о среднем арифметическом трёх чисел. Сложность была в том, что при подсчёте троек чисел мы вводили «ограничения» (как называл их Миша), то есть отождествляли все варианты, получаемые друг из друга перестановкой (например, 1+2+3 и 3+2+1 считали за 1 вариант). Поэтому надо было отдельно считать случаи, в которых все три числа различны, в которых два числа совпадают и в которых все три совпадают. Миша проделал всю работу сам с большим энтузиазмом (я только вылавливал ошибки и давал советы). Получились разные ответы для чётных и нечётных r.

В задаче о среднем квадратичном даже двух чисел просветов не было видно. Миша сделал для неё компьютерную таблицу разложений (как Володя когда-то), и на этом мы расстались на лето. В начале осени я посмотрел на таблицу и стал догадываться, что к чему. К сожалению, дальнейшее происходило при весьма слабом участии Миши. Постепенно я опять угадал общую формулу – она оказалась очень похожа по структуре на Володину, но сложнее (так что без подготовки открыть её было бы очень трудно). Потом я научился доказывать, что количество вариантов не меньше, чем утверждает формула. Для этого хватало чисто алгебраической техники: равенство

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac bd)2 + (ad bc)2

порождает два числовых разложения. Однако эта техника принципиально не могла доказать отсутствия других вариантов разложений! Требовался выход задачи в какую-то другую область математики… Задача пролежала три года, но вспомнилась, когда проф. Г.Б. Шабат, консультировавший другого моего ученика, рассказал ему о гауссовых числах – это комплексные числа с целыми действительной и мнимой частями. Эти числа однозначно раскладываются на простые гауссовы числа, исследовав которые, не так уж трудно оказалось доказать угаданные мною формулы. Заодно задача свелась к классической задаче Ферма-Эйлера о сумме квадратов.

Удивительно, что дети могут плодотворно заниматься одной темой по два года и больше! Очевидно, это возможно не с любой задачей, а с задачей, допускающей постепенные продвижения, «вживание» (которого почти никогда не бывает на уроках). А в результате этого «вживания» со временем решаются задачи, к которым вначале совсем не видно подхода. Правда, иногда уже другими детьми…

Стоит отметить и большую роль обсуждения задач с коллегами по ходу решения.


А. В. Иванищук
Из опыта учебно-исследовательской деятельности учащихся

в лицее 1511 при МИФИ
Исследовательской деятельностью в нашем лицее занимаются уже давно. Толчком к ней послужила проходящая на базе МИФИ конференция школьников «Юниор-Интел», которая проходит в январе-феврале, и на которой представлены кроме математики и другие естественно-научные секции. В сентябре школьникам предлагается к исследованию некоторый набор тем. Деятельность не носит обязательного массового характера. Некоторые исследования не доходят до конца, некоторые не выходят на уровень городских и российских конференций и остаются для лицейской конференции, которая проходит в апреле, иногда исследования продолжаются и на следующий год.

У каждой темы есть свой руководитель из числа учителей лицея, преподавателей МИФИ и других ВУЗов, выпускников-студентов и аспирантов. Задачи, в основном, ставят руководители, так как школьники еще не обладают достаточными знаниями. Это наиболее трудная часть – выбрать тему не только достаточно интересную, но и доступную для продвижения школьников. Сами задачи могут быть не новыми, но и не самыми известными.

Одна из задач пришла мне в голову, когда мы изучали композицию функций. А не может ли «вырождаться» в тождественный ноль (или другую константу) композиции f(g(x)) и g(f(x)) не тождественно нулевых функций, заданных на R? Вопрос был задан на уроке для домашнего обдумывания и принес некоторые плоды в виде примеров. Например,

(целая и дробная части). Или



.

Стало понятно, что образовалась неплохая задача для исследования. Не для каждой функции f(x) можно подобрать функцию g(x) с требуемым условием (например, для f(x) = х2). Возникает вопрос об условиях для f(x). Были получены необходимые и достаточные условия. Они такие: 1) f(0) = 0; 2) Ef ≠ R; 3) x0 ≠ 0 : f(x0) = 0. Дальнейшие вопросы поставили сами школьники: существуют ли функции f(x), для которых «вырождается» в тождественный ноль n-кратная композиция этой функции с собой, в то время как (n – 1)-кратная композиция не тождественно нулевая; существуют ли функции, для которых предельная композиция с собой дает тождественный ноль.

Задача для другого исследования пришла совершенно неожиданно. В то время моя дочь Галина изучала в школе отрицательные числа. Я решил для проверки ее знаний дать простую (как мне тогда казалось) задачу. «Представь число 1 в виде произведения нескольких множителей, сумма которых была бы равна нулю». Дочь быстро назвала мне множители : 1, 1, -1, -1. «Хорошо! - похвалил я. - А число 2?». Ответ последовал быстро: «2, -1, -1». «А число 3?». Дочь задумалась надолго. Потом сказала: «Я знаю ответ для числа 4 – это 2, -2, 1, -1 и для числа 6 – это 3, -2 и -1. И вообще, мне пора делать уроки!» Тут уже надолго задумался я сам. Разложение числа 3 пришло через часок и содержало 8 множителей! Я понимал, что это уж слишком много, и действительно более короткое представление содержало 5 множителей: 3 = (-0,5) ∙(-1,5) ∙ 4 ∙ (-1)∙ (-1). Меньше множителей получить не удавалось. Конечно, речь идет о рациональных множителях. Если не требовать рациональности, то для любого натурального числа n существуют три числа, произведение которых равно n, а сумма равна нулю. Итак, задача была окончательно сформулирована: «Представить натуральное число n в виде произведения наименьшего количества рациональных множителей, сумма которых равна нулю».

Некоторое время эта задача не давала мне покоя. Я находил разложения для отдельных натуральных чисел, но никакой общей закономерности не проступало. Другие дела постепенно оттеснили задачу. Но однажды я рассказал об этой задаче на кружке, и один из учеников, Неваленный Александр (ныне студент МИФИ), загорелся ею. Мы вместе продолжили исследование. Прежде всего хотелось бы выяснить, какие числа представимы в виде произведения трех множителей и если есть одно представление, то сколько существует еще. Число 1 представимо в виде четырех множителей, но нет ли представления в виде трех? Доказательство непредставимости в виде трех множителей было получено и оно опиралось на большую теорему Ферма для третьей степени! Это означало и непредставимость всех кубов натуральных чисел в виде трех множителей. Большую помощь нам оказала популярная книга Острик В., Цфасман М. «Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые». Москва, МЦНМО, 2001. Для случая трех множителей получалась кривая третьего порядка на плоскости – неособая кубика, про которые было много известно. Мы доказали, что разложение для числа 2 = 1∙ (-2) ∙1 единственно, а для всех других чисел, допускающих разложение на три множителя, существует бесконечное количество разложений (помогла теорема Морделла). Нами был получено условие на вид чисел, допускающих разложение на три множителя.

И все-таки вопрос о минимальном количестве множителей, достаточном для разложения произвольного натурального числа, оставался открытым. Мы написали письмо одному из авторов упомянутой книги Михаилу Анатольевичу Цфасману о задаче и наших результатах. Задача ему показалась интересной, ранее о ней он не слышал. Завязалась оживленная переписка. Для всех чисел первой сотни была сделана классификация: либо было дано представление в виде трех множителей, либо была доказана невозможность такого представления. Александру Неваленному удалось найти «каноническое» представление любого натурального числа n в виде произведения пяти множителей n = (-n) ∙ (2/n) ∙ (-2/n) ∙ (n/2) ∙ (n/2). Оставался вопрос: а существуют ли числа, для которых четырех множителей недостаточно. Долгое время мы пытались доказать это для числа 3, пока Михаил Анатольевич не нашел разложения. Привожу его электронное послание полностью: «3 = (363/70) ∙ (20/77) ∙ (-49/110) ∙ (-5) Уф... Ваш М.А.» Разложение действительно потрясает! Родилась гипотеза, что для любого натурального числа n достаточно четырех множителей. К данному моменту эта гипотеза не доказана и не опровергнута и ждет своих исследователей. На семинаре учителей математики в Коблево в 2008 году, услышав это сообщение, В. М. Гуровиц применил возможности «железного друга» и получил разложение в виде четырех множителей для чисел первой сотни. Привожу их для первых 50 в надежде, что это может натолкнуть на какое-либо доказательство.
1=(1/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-1/1);

2=(1/6)∙(9/2)∙(-4/1)∙(-2/3);

3=(13/45)∙(45/11)∙(-11/16)∙(-48/13);

4=(2/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-2/1);

5=(1/3)∙(9/2)∙(-4/1)∙(-5/6);

6=(8/1)∙(1/12)∙(-4/3)∙(-27/4);

7=(1/2)∙(4/1)∙(-1/1)∙(-7/2);

8=(2/15)∙(20/3)∙(-9/5)∙(-5/1);

9=(3/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-3/1);

10=(4/1)∙(1/2)∙(-2/1)∙(-5/2);

11=(9/2)∙(1/2)∙(-4/3)∙(-11/3);

12=(2/1)∙(2/1)∙(-1/1)∙(-3/1);

13=(1/5)∙(25/4)∙(-16/5)∙(-13/4);

14=(1/12)∙(32/3)∙(-9/1)∙(-7/4);

15=(3/2)∙(4/1)∙(-1/2)∙(-5/1);

16=(4/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-4/1);

17=(1/12)∙(32/3) ∙(-9/4)∙(-17/2);

18=(46/55)∙(55/4)∙(-4/37)∙(-333/23);

19=(1/10)∙(10/1)∙(-5/2)∙(-38/5);

20=(6/1)∙(1/3)∙(-3/1)∙(-10/3);

21=(4/1)∙(1/1)∙(-3/2)∙(-7/2);

22=(4/1)∙(2/1)∙(-1/2)∙(-11/2);

23=(15/2)∙(3/10)∙(-5/3)∙(-92/15);

24=(3/1)∙(2/1)∙(-1/1)∙(-4/1);

25=(1/3)∙(9/1)∙(-1/1)∙(-25/3);

26=(1/6)∙(9/1)∙(-8/3)∙(-13/2);

27=(6/1)∙(1/2)∙(-2/1)∙(-9/2);

28=(5/1)∙(7/10)∙(-5/2)∙(-16/5);

29=(9/1)∙(1/1) ∙(-1/3)∙(-29/3);

30=(1/2)∙(8/1)∙(-1/1)∙(-15/2);

31=(1/6)∙ (9/1)∙(-4/1)∙(-31/6);

32=(1/6)∙(12/1)∙(-3/2)∙(-32/3);

33=(5/1)∙(4/5)∙(-5/2)∙(-33/10);

34=(8/1)∙(1/1)∙(-1/2)∙(-17/2);

35=(1/6)∙(18/1)∙(-2/3)∙(-35/2);

36=(6/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-6/1);

37=(1/14)∙(14/1)∙(-7/2)∙(-74/7);

38=(45/2)∙(1/30)∙(-20/1)∙(-38/15);

39=(4/1)∙(3/1)∙(-1/2)∙(-13/2);

40=(4/1)∙(2/1)∙(-1/1)∙(-5/1);

41=(6/1)∙(3/2)∙(-2/3)∙(-41/6);

42=(4/1)∙(3/2)∙(-2/1)∙(-7/2);

43=(1/10)∙(25/2)∙(-4/1)∙(-43/5);

44=(1/3)∙(9/1)∙(-2/1)∙(-22/3);

45=(3/1)∙(3/1)∙(-1/1)∙(-5/1);

46=(1/10)∙(25/2)∙(-8/1)∙(-23/5);

47=(9/1)∙(1/4)∙(-16/3)∙(-47/12);

48=(45/2)∙(1/30)∙(-10/3)∙(-96/5);

49=(7/1)∙(1/1)∙(-1/1)∙(-7/1);

50=(15/2)∙(2/3)∙(-3/2)∙(-20/3).


Мне кажется, что учебно-исследовательская деятельность должна быть продолжением учебной работы, не выходящей далеко за рамки школьной программы. Элементарная геометрия, несложная теория чисел дают возможность это сделать. Заинтересовать школьника можно только передав ему часть своей заинтересованности. В какой-то степени я являюсь «любителем», а не «профессионалом» в этом деле.
РАБОТЫ
Квадраты на клетчатой бумаге
Выполнила: Иглина Александра, 5 класс

Школа-интернат «Интеллектуал»
Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.
1. «Прямые» квадраты:

Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.
2. «Косые» квадраты

Как найти площадь «косого» квадрата?


Впишем наш «косой» квадрат в «прямой» (рис. 1).

Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.

А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.

Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади «косого» квадрата, потому что это площадь большого «прямого» квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.

Значит,
S=a2+b2.
Если сторону «косого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2. Так мы пришли к теореме Пифагора для закрашенных прямоугольных треугольников.
Какими же числами может выражаться площадь «косого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,

26=1+25


13=4+9

50=25+25.


А, например, квадрата с вершинами в узлах сетки и площадью, равной 31, не существует, потому что

31=1+30=4+27=16+15=25+6,

т.е. 31 не разбивается на сумму двух квадратов целых чисел.
Комментарий учителя.

Работа выполнена в 2007 году.

Задача выросла из упражнения из замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаги квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Пятиклассники с удовольствием решали её на уроке. Потом я сказал им, что интересно исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Через несколько месяцев Саша принесла готовое решение (делала дома, помогали родственники, понимающие в математике). Получилась симпатичная работа.

Работа имеет естественное продолжение:



  1. Какие именно целые числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел (назовём их двуквадратными)? Оказывается, нечётные простые двуквадратные числа при делении на 4 имеют остаток 1 и наоборот, все простые числа вида 4n+1 являются двуквадратными. Этот результат легко пронаблюдать экспериментально. Первую его часть нетрудно доказать. (См. следующую работу.)

  2. Произведение двуквадратных чисел также является двуквадратным числом. Это следует из формулы (a2 + b2)(c2+d2) = (ac+bd)2 + (ad-bc)2.

  3. Сколькими способами выражается данное число в виде суммы двух квадратов? Ср. историю на сс. 10-12.

Интересно исследовать аналогичные вопросы на треугольной и на шестиугольной решётках. Например, будем рассматривать правильные треугольники с вершинами в узлах правильной треугольной сетки. Каким целым числам могут быть равны их площади (выражаемые через площадь единичного треугольника на сетке)? Является ли произведение «двутреугольных» чисел также «двутреугольным»? Можно проследить красивую аналогию с двуквадратными числами.

Простые числа и представимость в виде суммы двух квадратов.

Сорокин Антон

5 класс

Научный руководитель Сгибнев А. И.

Определения:

1. Простое число – число, у которого ровно два натуральных делителя: само число и 1.

2. a, b, c, d, e, n- натуральные числа.

3. => – следовательно.



Теорема: Все простые числа кроме 2, представимые в виде a²+b², представимы в виде 4n+1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4n+1, представимы в виде a²+b².

Лемма:

Зная c, d и e , при условии что c2+4de = простое число, но не 2,

можно подобрать a и b такие, что c2+4de= a²+b² = простое число, но не 2.

Доказательство леммы:

Если число можно представить в виде c2+4de, то его представление в этом виде можно представить геометрически. Начнём так делать:



5

=


e=dd






13

=


C2

d


e



=


C2

e

d


=


C2

e=d


d





17

=



=



=



=



=



29

=



=



=



=







=



=





Вариантов разложения простых чисел на c2+4de, если они есть, нечётное количество, так как среди них есть одна фигура, которая не совпадает ни с одной другой по контуру, а все остальные образуют пары с одинаковым внешним контуром (обведены в рамку).

Замечание. Для составных чисел возможны два варианта фигур, которые не совпадают ни с одной по контуру. Например:

21=



=



= др.

У нас нечётное количество вариантов представления простого числа в виде c2+4de,=> всегда найдётся вариант, в котором d=e, т.к. в остальных случаях можно менять d и e местами, и варианты разобьются по парам.

Так как у нас будет вариант, когда d=e , 4de можно представить в виде а2, а c в виде b.



Доказательство теоремы: В первую сторону она будет работать, так как:


Остаток от деления на 4

х или у

0

1

2

3

х2 или у2

0

12=1

22=4, =>0

32=9, =>1

поэтому сумма х²+у² может давать остаток от деления на 4 только 0, 1 или 2, а так как мы выписывали только нечётные числа, то только 1
Т.к. остаток от деления на 4 равен 1, число можно представить в виде 4n+1.

В обратном случае: Если простое число можно представить в виде 4n+1, то его можно представить в виде c2+4de (например, n=de, 1=c2). Тогда его можно представить в виде 4n+1 (лемма).

Вывод: Теорема верна. Выпишем простые числа (за исключением 2) в два ряда. В первый ряд те, которые можно представить в виде суммы двух квадратов, а во второй – те, которые нельзя так представить. Если мы возьмём два любых числа из одного ряда, то их разность будет делиться на 4. Действительно, в первый ряд попадут числа, которые можно представить в виде 4n+1, и все они будут иметь остаток 1 от деления на 4, а во втором ряду окажутся все остальные простые числа, имеющие остаток 3 от деления на 4.

Дальнейшее направление работы: доказать, почему лемма не работает для составных чисел.
Комментарий. Работа выполнена в 2011-12 учебном году пятиклассником школы-интерната «Интеллектуал» Сорокиным Антоном. Значительная часть работы допускает накопление эмпирического материала и его обобщение. Основным нетривиальным местом является расширение задачи – вместо выражения a2 + b2 удобнее оказывается рассматривать выражение с2 + 4de. Трудно догадаться также до графического представления решения в виде «крылатых квадратов».

В работе не продуман вопрос о том, почему любой «правильный» контур крылатого квадрата разбивается на квадрат и четыре прямоугольника ровно двумя способами.



Задача о размене монет

Выполнили: Жорникова Полина,

Черемухина Алёна

9 класс

Руководители:

Нетрусова Наталья Михайловна,

Коровин Василий Михайлович

Летняя школа «Интеллектуал»
Цель нашей работы – установить, какие суммы можно получить из неограниченного количества монет достоинства x руб и y руб.

Этапы работы:



  1. Сначала мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет взаимно просты. Мы сформулировали и доказали лемму:

Если можно получить интервал от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(x,y) – 1, то можно получить все числа, большие (х-1)(у-1).

Мы выдвинули гипотезу 1:



Если числа х и у взаимно просты, то можно получить все числа, начиная с (х-1)(у-1).

Эту гипотезу мы попытались доказать по этапам:

а) Можно получить все числа от (х-1)(у-1) до (х-1)(у-1) + min(х,у) – 1.

б) Ни при каких значениях х и у не получается числа (х-1)(у-1) – 1.

Подпункт а) мы доказали, а подпункт б) не смогли.


  1. Потом мы рассмотрели случай, когда достоинства наших монет не взаимно просты и выдвинули гипотезу 2:

Пусть х и у - числа вида х = dn и у = dm, где m и n – взаимно простые числа, тогда мы сможем получать только числа, делящиеся на d, начиная с d(n-1)(m-1).

Мы доказали эту гипотезу (свели её к гипотезе 1).

В дальнейшем мы надеемся доказать те части гипотезы 1, которые ещё не доказали.
Комментарий.

Работа выполнена на Летней школе «Интеллектуал» в 2009 году. Дети работали 5 полуторачасовых занятий аудиторного времени. Видимо, этого всё же маловато для подобных задач – многие не успели закончить работу или написать подробный отчёт.



«Не больше половины»
Выполнили:

Дедов Дмитрий

Прохоров Владимир

Орлова Мария

Хорец Александра

Красноярская летняя школа

Руководитель: Антон Борисюк
Постановка задачи. Дана кучка камней. Играющие (их двое) по очереди берут камни, причём игрок не может пропускать ход (не брать камни), и может взять не больше половины камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Требуется понять, какие числа выигрышные, а какие – проигрышные.

Комментарий. Позиция называется выигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, при правильной игре победит (как бы ни играл соперник). Позиция называется проигрышной, если игрок, попавший на эту позицию, проиграет при правильной игре соперника (как бы он сам ни играл).
  1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©infoeto.ru 2016
обратиться к администрации
Как написать курсовую работу | Как написать хороший реферат
    Главная страница