|
МБОУ Калманская средняя общеобразовательная школа
Калманского района Алтайского края
«Экзаменационные задачи на движение»
Материалы для проведения консультаций при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.
Cоставитель: Грекова Л.А.,
учитель математики высшей категории
2014
Задача 1.
Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,2 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,3 км/ч, а другой – со скоростью 2,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от места отправления произойдёт их встреча?
Решение:
Пусть х км – расстояние от точки отправления до места встречи. Заполним таблицу:
|
v
|
t
|
S
|
|
1 человек
|
2,3 км/ч
|
? ч
|
? х км
|
|
2 человек
|
2,9 км/ч
|
?
|
? 5,2 + (5,2 – х)
|
Так как время, которое прошёл первый человек до встречи, равно времени, пройденному вторым человеком, составляем уравнение:
=
2,9х = 2,3(10,4 – х)
2,9х = 23,92 – 2,3х
5,2 х = 23,92
Х = 4,6
Ответ: встреча произойдёт на расстоянии 4,6 км от места отправления.
Задача 2.
Расстояние между городами А и В равно 540 км. Из А в В выехал автомобиль, через 3 часа за ним выехал мотоциклист со скоростью 120 км/ч, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найти расстояние от А до С.
Решение:
Пусть х км – расстояние от А до С, а у км/ч - скорость автомобиля. Получаем систему уравнений с двумя переменными:
Откуда – = 3.
Выразим из второго уравнения у через х:ух = (540 – х)·120, у = .
- + = 3
Умножаем обе части уравнения на у:
х – 540 + х =3у
х – 540 + х =
х2 – 540х + х2 = 194400 – 360х
2х2 – 180х – 194400 = 0
х2 - 90х – 97200 = 0
D = 8100 – 4 ·(- 97200) = 396900 = 6302
х1 = = 360 х2 = = - 270 ( не удовлетворяет условию задачи)
у1 = == 60
Ответ: расстояние от А до С равно 360 км.
Задача 3.
Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль.
Решение:
Пусть х км/ч – скорость грузовика, а t–время, за которое мотоциклист догонит грузовик.
|
v
|
t
|
S
|
Г.
|
? х км/ч
|
? t ч
|
? хt км
|
Л.
|
? х км/ч
|
? (t + 1) ч
|
? х(t + 1) км
|
М.
|
90 км/ч
|
? t ч
? (t +1) ч
|
? 90t км
?90( t + 1)
|
-
90· = 45(км) – на столько больше должен проехать мотоциклист, чтобы догнать машины.
2)Получаем систему двух уравнений с двумя переменными:
x
t через х
.
Подставляем вместо t выражение во второе уравнение системы.
Получаем:
90( + 1) - х( + 1) = 45.
Домножаем на общий знаменатель и приводим подобные слагаемые. Получаем:
6х2 - 1035х + 40500 = 0,
2х2 – 345х +13500 = 0.
D = 119025 – 108000 = 11025 =1052.
х1 = 112,5 (не может быть скорость больше 90 км/ч)
х2 = 60
3 )· 60 = 72 ( км/ч) – скорость легкового автомобиля.
Ответ: скорость легкового автомобиля 72 км/ч.
Задача 4.
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали грузовой и легковой автомобили. Через 4 ч после начала движения они встретились. После встречи легковой автомобиль, едущий из А в В, увеличил свою скорость на 15 км/ч, а грузовик увеличил свою скорость на 30 км/ч. Определите первоначальную скорость легкового автомобиля, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем грузовик прибыл в пункт А.
Решение:
Пусть х км/ч – первоначальная скорость легкового автомобиля, а у км/ч – первоначальная скорость грузового автомобиля.
-
До встречи
|
V
|
t
|
S
|
Л. (из А в В)
|
? х
|
4 ч
|
? 4х
|
Г. (из А в В)
|
? у
|
4 ч
|
? 4у
|
После встречи
|
|
|
|
Л.
|
? ( х + 15) км/ч
|
? ч
|
? 4у
|
Г.
|
? ( у + 30) км/ч
|
? ч
|
? 4х
|
Так как расстояние между пунктами 300 км, то первое уравнение будет:
( х + у)· 4 = 300 .
Используя то условие, что легковой автомобиль прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем грузовик прибыл в пункт А, составляем второе уравнение:
= + 1.
у через х, получим у = 75 – х.
:
= + 1.
Решение данного уравнения сводится к решению квадратного уравнения:
Х2 + 690х – 33075 = 0, корни которого
х1 = 45, х2 = -735 ( не удовлетворяет условию задачи).
Ответ: первоначальная скорость легкового автомобиля 45 км/ч.
Задача 5.
Автобус и велосипедист выехали одновременно из городов А и В навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Автобус прибыл в В на 8 ч раньше, чем велосипедист - в А. Если бы велосипедист выехал из города В на 2 ч раньше, чем автобус из А, то через 3 ч езды велосипедиста от него до автобуса было бы 120 км. Определить расстояние от А до В. (Автобус и велосипедист движутся каждый со своей постоянной скоростью, без остановок).
Решение:
Пусть uкм/ч – скорость автобуса, а vкм/ч скорость велосипедиста, s– искомое расстояние.
Используя условия, сформулированные в задаче, составляем систему 3 уравнений с 3 переменными:
Приравниваем левые части первого и третьего уравнений, получаем:
3( u + v) = u + 3v + 120 , откуда находим u = 60.
Тогда из первого уравнения получаем, что s = 180 + 3v.
Подставляем вместо sэто выражение во второе уравнение, получаем:
+ 8 = ,
откуда v2 + 160v – 3600 = 0,
D = 40000 = 2002.
v1= 20, v2 = - 180 (не удовлетворяет условию задачи).
Находим s = 180 + 3· 20 = 240.
Ответ: расстояние между пунктами А и В 240 км.
|