Магия больших чисел

Человека окружает громадное количество фактов и явлений, которые в силу своей огромности кажутся далекими и недоступными пониманию, но при правильной интертрепации становятся близкими, почти родственными…

Вот, кстати о родственниках. У каждого человека на Земле имеются двое родителей, две бабушки и два дедушки, четыре прабабушки и четыре прадедушки… Продолжая этот ряд, зададимся вопросом – сколько предков (называемых уже пращурами) должен был иметь человек 100 лет назад? а 200 лет назад? А 300 лет назад? Пусть среднее время смены поколений – 20 лет. Тогда за сто лет проходит пять поколений, и число предков – 32 (по 16 бабушек и дедушек). За двести лет число поколений составит 10, а предков – 1024. За четыреста лет число предполагаемых предков составит 1 миллион, а за 600 – миллиард. Такого количества людей в 1400 году на Земле не было, не говоря уже о территории Европы. Простой вывод из этого – все мы являемся родственниками.

Современные компьютеры достигли потрясающих скоростей быстродействия. Настольный персональный компьютер уже может работать на тактовой частоте 1 мегагерц, что означает миллион элементарных операций в секунду. Поэтому некоторым кажется, что в этом мире все можно просчитать, достаточно только взять компьютер помощнее. Однако вот вам простая (по условиям) задача о развозке грузов, называемая задачей коммивояжера. Пусть у хозяев виртуального интернетовского магазина есть несколько адресов, по которым надо отвести заказанные товары. Как сделать это с наименьшими затратами на бензин, то есть – кратчайшим путем? Сначала надо рассчитать кратчайшие расстояния между каждой парой адресов, причем в двух направлениях (ведь существуют улицы с односторонним движением). Эта задача сама по себе интересная и требует применения методов теории графов ( не баронов, не герцогов, а именно графов). Но самое сложное наступает именно на этапе выяснения, в каком порядке надо объезжать эти адреса. Можно было бы, понадеявшись на мощь современной вычислительной техники, просто составить все возможные порядки объезда, вычислить для каждого общую длину маршрута и выбрать минимальную. Однако число таких перестановок определяется специальной функцией. Она называется факториалом и для числа N равна произведению первых N целых чисел. Так вот, для 20 адресов количество вариантов равно 2432902008176640000, и обсчитывание этих вариантов заняло бы 77146 лет даже на самом крутом персональнике. Поэтому ученые давно придумали специальные алгоритмы для уменьшения количества вычислений и ускорения их. Так что высказывание «сила есть – ума не надо» в вычислительной математике не применимо.

Большие числа возникают при обработке и хранении изображений. Почему цифровые фотокамеры еще не стали массовым продуктом? Они не обеспечивают качества изображения, равного фотопленке и фотобумаге. Элементарной частичкой изображения на пленке или фотобумаге являются мельчайшие частицы серебра (в черно-белых) или другого вещества. Именно они имеют соответствующий цвет, а наши глаза собирают эти точки в изображение с плавными переходами оттенков. Размер этих частиц такой, что на одном сантиметре их укладывается примерно 1000. А матрицы лучших современных цифровых фотокамер обеспечивают разрешение примерно в два раза хуже ( при этом стоимость их составляет пока сотни долларов). Размер стандартной фотографии 9х13, выраженной в этих точках, равен 9000х13000. То есть, для того, чтобы сохранить в электронном виде информацию об этой фотографии без потери качества, надо сохранить информацию о цвете 117000000 точек. И тут возникает другая проблема – как эту информацию хранить. В компьютере цвет каждого элемента изображения описывается тремя числами – степенями интенсивности трех основных цветов (красного, зеленого, синего). На каждое число нужна одна элементарная ячейка памяти – байт. Стандартный размер кадра фотокамеры – 25х36 мм., или 2500х3600 (=9000000) точек. Следовательно, для хранения одного кадра фотопленки нужно 27 мегабайт памяти. Емкость CD-ROM составляет 650 мегабайт, и на него можно записать 24 кадра. Сравнивая размеры CD-ROM и кассеты с пленкой, мы можем увидеть, что выигрыша не получается. Поэтому было придумано множество форматов хранения графической информации в сжатом виде. Сжатие графической информации возможно потому, что достаточно большие части изображения имеют одинаковый цвет. Вместо того, чтобы записывать Nx3 байта для описания N точек одинакового цвета, можно записать 3 байта описания цвета и поставить множитель, говорящий , что эти точки одинакового цвета. Это позволяет сжать информацию во много раз. В среднем на стандартный CD-ROM можно записать содержание 10 фотопленок.

А какие числа крутятся в сфере финансов! Совсем недавно на деньгах России стояли шестизначные числа – 100000 рублей, 500000 рублей. После поездки в Турцию я выучил таблицу умножения на 618000 – таков тогда был курс доллара в турецких лирах. Интересно было бы выразить валовой национальный продукт США в лирах итальянских – какой был бы порядок этого числа?

Однако вот что интересно – в мире нет признанной всеми системы наименований больших и сверхбольших чисел. В словарях нет названий для чисел, имеющих порядок больше 63 (такое число называется вигинтиллион), кроме центиллиона (2³⁰³). Свою систему именований предлагал Архимед. С ее помощью он мог именовать числа вплоть до 10^{80000000000000000}, которое он называл «последним числом». Одним из путей упорядочения и систематизации названий чисел могло стать предложение Д.Кнута давать названия числам вида 10**2^N по числу N, а промежуточные числа выражать через степени меньшего порядка. Такая система реализуема, хотя и не абсолютна удобна. И не надо думать, что она является математической абстракцией. Существует тесная связь между ней и криптографией - теорией кодирования, шифрования и передачи информации.

Самая близкая к науке и точным числам область искусства – научная фантастика. У замечательного французского фантаста Фрэнсиса Карсака есть роман о том, как нашим потомкам пришлось переместить родную планету в другую солнечную систему, потому что Солнце должно было стать Новой, то есть взорваться. Прелестный и грандиозный замысел -вполне в духе научно-технической революции! Однако на пути реализации этого свершения встала проблема недостатка времени. Ученые использовали для первоначальных расчетов значение одной константы, взятое с ошибкой в 18-ом знаке после запятой. Поэтому они ошиблись в сроке взрыва на несколько месяцев, и последние дни путешествия Земли в Солнечной системе проходили уже в непосредственно перед взрывом, что поддерживало интригу романа на должном уровне. Конечно, это фантастика, но маленькие ошибки могут приводить к большим последствиям. Последние две советские экспедиции на Марс закончились потерей космических аппаратов. Может быть, из-за неисправности приборов внутри них, но может просто из-за того, что на таком расстоянии маленькая ошибка привела к неисправимому отклонению от курса?