Рабочая программа дисциплины Интегральные уравнения и вариационное исчисление Направление подготовки 011200 физика

физический факультет

УТВЕРЖДАЮ:

Декан физического факультета

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Профиль подготовки

фундаментальная физика
Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр
Форма обучения

очная

г. Томск − 2012 г.

Воспитание у студентов культуры четкого логического научного мышления включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке бакалавра, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений. Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра. Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

Важнейшей целью курса «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» (ИУВИ) является ознакомление студентов с методологией, общими принципами и методами решения интегральных уравнений и их применение к решению вариационных задач. Дисциплина «ИУВИ» вырабатывает у студентов навыки построения математических моделей простейших физических явлений и решения получающихся при этом математических задач. Она составляет математическую основу дисциплин общей и теоретической физики и специальных дисциплин, читаемых на кафедрах.

Данный курс базируется на знаниях, полученных студентами при изучении курсов, математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

В результате освоения данного курса студент получит базовые знания в тех разделах математики, которые используются в общих курсах теоретической физики и спецкурсах по отдельным физическим направлениям.
Актуальность и значимость курса.

Кроме того, что интегральные уравнения естественным образом появляются в различных разделах физики, и требуются навыки их решения, понимание теоретической физики микромира требует владением понятиями функционального анализа, которые появляются в математике при исследовании решений интегральных уравнений. К тому же, при построении физических теорий широко используется так называемый «Принцип наименьшего действия», математическим языком которого является вариационное исчисление. Поэтому, данный курс является основой для большинства курсов «Теоретический физики» и соответствующей курсов специальной подготовки.

Курс «ИУВИ» включает в себя следующие большие темы: интегральные уравнения, их классификация, способы решения; функционалы и вариационное исчисление.

• 
  воспитание достаточно высокой математической культуры;
  
• 
  привитие навыков современных видов математического мышления;
  
• 
  привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности;
  
• 
  обеспечить усвоение студентами данной дисциплины;
  
• 
  создать базу для изучения специальных дисциплин;
  
• 
  использовать эти знания как ступени формирования способностей будущих специалистов-физиков к ведению исследовательской работы и решению практических задач;
  
• 
  научить формулировать математически и решать аналитическими методами физические проблемы, описываемые указанным выше классом уравнений;
  
• 
  ознакомление студентов с основными принципами и законами физики, их математическими выражениями
  
• 
  развитие у студентов представления о роли фундаментальной физики в системе естественных наук и путях решения прикладных вопросов на основе физических законов и методов
  

Для изучения раздела курса ИУВИ необходимо знание линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, умение вычислять производные и интегралы от обычных функций. Студент должен обладать умениями в области математического анализа, уметь решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Курс «ИУВА» является одним из основных дисциплин в общей физико-математической и естественно – научной подготовки специалистов физиков. Дисциплина включена в Федеральную компоненту. Дисциплина относится к циклу общих теоретических и естественнонаучных дисциплин и циклу общепрофессиональных дисциплин (ЕН и ОПД ). К моменту изучения курса «ИУВА» студенты изучили курсы математического анализа, дифференциальных уравнений, линейной алгебры. В качестве входных знаний студенты должны владеть основными понятиями и методами математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений. Освоение этой дисциплины необходимо для дальнейшего освоения современных разделов теоретической физики и ее приложений.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Методы математической физики
В результате освоения дисциплины обучающийся должен владеть компетенциями:

А) общекультурными (ОК):

• 
  знать основные типы интегральных уравнений (ОК-1);
  
• 
  уметь оперировать с интегральными уравнениями (ОК-4);
  
• 
  уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);
  
• 
  владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК–1);
  
• 
  владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);
  

Б) Общепрофессиональными (ОПК):

• осознавать социальную значимость своей будущей профессии, обладать мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОПК- 1);

• обладать способностью к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-6);

• 
  иметь представление об основных интегральных уравнениях (ПК-7);
  
• 
  знать основные понятия и теоремы в области в области интегральных уравнений и вариационного исчисления (ПК-7);
  
• 
  уметь решать основные интегральные уравнения (уравнения Фредгольма первого и второго родов, уравнения Вольтерра,) и вариационные задачи (ПК-6);
  
• 
  владеть основными методами решения интегральных уравнений (ПК-2);
  
• 
  иметь целостное представление об основных математических методах решения задач в различных областях физики;
  
• 
  обладать практическими навыками в выборе математических способов решения типичных физических задач и проведении аналитических расчетов;
  
• 
  Уметь решать типичные задачи Штурма-Лиувиля,
  
• 
  ставить и решать основные вариационные задачи с закрепленными границами и с подвижной границей и давать физическую интерпретацию полученных решений.
  

Третий семестр. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачётные единицы, 80 час.

Темы практических занятий

1. 
   Функционал и его вариации.
   
2. 
   Нахождение экстремумов функционалов.
   
3. 
   Правила работы с - функцией.
   
4. 
   Интегральные преобразования.
   
5. 
   Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
   
6. 
   Интегральные уравнения с разностным ядром.
   
7. 
   Задача Штурма – Лиувилля.
   
8. 
   Резольвента уравнения Фредгольма второго рода.
   

В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки «Физика» реализуется компетентностный подход, который предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения лекций в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе составляют не менее 20% аудиторных занятий. Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов составляют не более 50% аудиторных занятий.

1. 
   Найти возможную экстремаль , ,
   

2. 
   Решить изопериметрическую задачу , , , .
   
3. 
   Исследовать на слабый экстремум , , .
   

1. 
   Найти возможную экстремаль , ,
   
2. 
   Решить изопериметрическую задачу , , , .
   
3. 
   Исследовать на слабый экстремум , , .
   

1. 
   Найти возможную экстремаль , ,
   
2. 
   Решить изопериметрическую задачу , .
   
3. 
   Исследовать на слабый экстремум , , .
   

1. 
   Найти возможную экстремаль , ,
   
2. 
   Решить изопериметрическую задачу , .
   
3. 
   Исследовать на слабый экстремум , , .
   
4. 
   Найти общий вид экстремалей .
   

5. 
   Найти возможную экстремаль , ,
   
6. 
   Решить изопериметрическую задачу , , .
   
7. 
   Исследовать на слабый экстремум , , .
   

1. 
   ^*Что такое интегральное преобразование и какие преобразования вам известны
   
2. 
   ^*Что такое интегральное уравнение (ИУ)
   
3. 
   ^*Какие ИУ называются однородными
   
4. 
   ^*Записать общий вид линейного ИУ
   
5. 
   ^*Что такое ядро интегрального преобразования
   
6. 
   ^*Каковы основные типы линейных ИУ
   
7. 
   ^*В чем различие между ИУ Вольтерра и Фредгольма
   
8. 
   ИУ Вольтерра как частный случай ИУ Фредгольма
   
9. 
   Записать выражение для интегрального оператора через ядро
   
10. 
    ^*Какие векторы называются ортогональными
    
11. 
    Как ортогонализовать неортогональную систему функций
    
12. 
    Какие ортогональные системы называются полными
    
13. 
    ^*Что такое ортонормированный базис
    
14. 
    ^*Дать определения линейного оператора
    
15. 
    ^*Что такое собственный вектор и собственное значение некоторого оператора
    
16. 
    ^*Какие операторы называются симметричными (эрмитовыми)
    
17. 
    ^*Что характерно для собственных функций и собственных чисел эрмитового оператора
    
18. 
    ^*Что такое кратность вырождения собственного значения
    
19. 
    ^*Сформулировать задачу Штурма-Лиувилля
    
20. 
    ^*Что такое собственная функция оператора Штурма-Лиувилля
    
21. 
    ^*Является ли оператор Штурма-Лиувилля симметричным
    
22. 
    ^*Что характерно для собственных функций оператора Штурма-Лиувилля
    
23. 
    Какой оператор Штурма-Лиувилля называется неособенным (особенным)
    
24. 
    ^*Какой оператор является обратным оператору Штурма-Лиувилля и что под этим понимается
    
25. 
    ^*Какой оператор является обратным оператору Фредгольма с симметричным и непрерывным ядром и что под этим понимается
    
26. 
    Сформулировать теорему Фредгольма для неоднородного интегрального уравнения
    
27. 
    Что такое резольвента ядра
    

28. 
    *Какие задачи решает вариационное исчисление
    
29. 
    *Дать определение линейного пространства
    
30. 
    *Привести примеры линейных пространств
    
31. 
    *Дать определение функционала в линейном пространстве
    
32. 
    Привести примеры функционалов в линейном пространстве
    
33. 
    Дать определение линейного функционала и привести примеры
    
34. 
    *Дать определение относительного минимума (максимума) функционала
    
35. 
    *Дать определение вариации функционала и вариации функции
    
36. 
    *Сформулировать необходимое условие экстремума функционала
    
37. 
    *Дать определение стационарной точки функционала
    
38. 
    Сформулировать основную лемму вариационного исчисления
    
39. 
    Записать уравнения Эйлера-Лагранжа для простейшего функционала
    

Вопросы, помеченные *, необходимо знать для получения положительной оценки на экзамене

1. 
   Основные типы интегральных уравнений
   
2. 
   Уравнения Вольтерра
   
3. 
   Основные понятия, связанные с пространством квадратично интегрируемых функций
   
4. 
   Ортогональные системы векторов
   
5. 
   Линейные операторы и действия с ними
   
6. 
   Действия с линейными операторами, собственные векторы, собственные и характеристические числа
   
7. 
   Симметричные и вполне непрерывные операторы
   
8. 
   Оператор Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром
   
9. 
   Вычисление собственных функций и собственных значений
   
10. 
    Постановка задачи Штурма-Лиувилля
    
11. 
    Доказательство полноты системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля в неособом случае
    
12. 
    Доказательство полноты системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля в особом случае
    
13. 
    Неоднородные интегральные уравнения с симметричным ядром
    
14. 
    Неоднородные интегральные уравнения с произвольным ядром Доказательство теоремы Фредгольма для системы линейных уравнения
    
15. 
    Неоднородные интегральные уравнения с произвольным ядром. Вторая часть доказательства теоремы Фредгольма. Альтернатива Фредгольма
    
16. 
    Метод последовательных приближений
    
17. 
    Повторные (итерированные) ядра, определение резольвенты
    
18. 
    Теорема о связи резольвенты с оператором Фредгольма. Уравнение для резольвенты
    
19. 
    Ряд Фурье для резольвенты оператора Фредгольма с симметричным ядром
    

Вариационное исчисление

20. 
    Какие задачи решает вариационное исчисление. Дать определение линейного пространства и привести примеры
    
21. 
    Дать определение линейного нормированного пространства и привести примеры
    
22. 
    Дать определение линейного функционала в линейном пространстве, привести примеры функционалов
    
23. 
    Дать определение относительного минимума (максимума) функционала, вариации функционала и функции, стационарной точки
    
24. 
    Доказать теорему о необходимом условии экстремума функционала
    
25. 
    Доказать основную лемму вариационного исчисления
    
26. 
    П
    олучить уравнения Эйлера-Лагранжа для функционалов
    
27. 
    Получить уравнения Эйлера-Лагранжа для функционалов
    

1. 
   Шилов Г.Е., Математический анализ. Специальный курс.
   
2. 
   Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н, Курс современного анализа, т.1.
   
3. 
   Владимиров В.С., Уравнения математической физики.
   
4. 
   Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008.
   
5. 
   Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Эдиториал УРСС, 2002
   
6. 
   Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.
   
7. 
   Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Элементы современной математической физики. Изд. ТПУ, Томск, 2004.
   
8. 
   Багров В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. Т. 1, 2, 3. Томск. Издательство научно-технической литературы, 2002.
   

1. 
   Краснов М.П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1981.
   
2. 
   Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.
   
3. 
   Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматлит., 1961
   

8. 
   Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
   

Все виды материально-информационной базы Научной библиотеки ТГУ. Мультимедийное оборудование физического факультета ТГУ. Сеть Интернет. Специализированные программные пакеты.

Рецензент (ы) _________________________

от ___________ года, протокол № ________.