Решение. Доказать, что касательные плоскости поверхности в произвольной точке параллельны некоторому направлению




Скачать 88.38 Kb.
Дата10.10.2016
Размер88.38 Kb.


ТЕТРАДЬ



Чешкова М.А.
Поверхности.


  1. Доказать, что если нормали к поверхности проходят через одну точку, то это окружность.

Решение.


  1. Доказать, что касательные плоскости поверхности в произвольной точке параллельны некоторому направлению .

Решение.


  1. Вывести уравнение поверхности вращения.

Решение.


  1. Вывести уравнение тора.

Решение..

  1. Вывести уравнение катеноида.

Решение. .

  1. Вывести уравнение псевдосферы с осью .

Решение. .

  1. Написать параметрическое уравнение гиперболического параболоида .

Решение.

  1. Доказать, что нормали поверхности вращения пересекают ось вращения.

Решение..

Нормаль принадлежит плоскости меридиана. Следовательно, они пересекают ось, либо параллельны в точках, где .



  1. Докажите, что уравнение цилиндрической поверхности, направление которой параллельны вектору имеет вид .

Решение.. Исключаем



  1. Написать уравнение цилиндрической поверхности, с направляющей и образующей .

Решение.

  1. Задать геликоид в цилиндрических координатах.

Решение..

  1. Доказать, что линейчатая поверхность является развертывающейся тогда и только тогда, когда .

Решение.

Нормали постоянны вдоль луча, поверхность развертывающаяся.



  1. Составить уравнение конуса, имеющего вершину в точке и описываемого около параболоида .

Решение. Нормаль к параболоиду и образующая конуса в точках касания ортогональны..Уравнение конуса Исключаем .



  1. Задать катеноид в цилиндрических координатах.

Решение.

  1. Покажите, что касательная плоскость, проведенная в любой точке линии на поверхности , проходит через фиксированную прямую.

Решение. постоянный вектор вдоль линии, т.е. линия есть прямая.


  1. Покажите, что параметрические уравнения однополостного гиперболоида можно представить в виде . Определить вид координатных линий.

Решение. постоянный вдоль линии линия есть прямая. Аналогично проверяется линия .


  1. Доказать, что прямолинейные образуюшие однополостного гиперболоида вращения образуют постоянный угол с осью вращения.

Решение. .

  1. Записать уравнение однополого гиперболоида вращения, гак линейчатой поверхности.

Решение. За направлящую линию примем горловую .Ось , образующая и касательная компланарны, следовательно,



-координата горловой точки.

  1. Покажите, что касательные плоскости поверхности проходят через начало координат.

Решение. удовлетворяет уравнению

  1. Предельное положение точки пересечения общего перпендикуляра двух близких лучей линейчатой поверхности с лучом называется горловой, а кривая, описываемая этими точками – называется горловой, или стрикционной, или линией сжатия. Покажите, что уравнение горловой линии линейчатой поверхности

имеет вид

Решение.

Берем линейную часть





  1. Определить горловую линию прямого геликоида.


Решение.

  1. Покажите, что нормаль в произвольной точке поверхности, образованной касательными к винтовой линии, образует постоянный угол с осью линии.


Решение.



Сеть координатных линий называется чебышевской, если отрезки линий одного семейства,заключенных между линиями другого семейства имеют равные длины. Доказать, что, если координатная сеть чебышевская,то
Решение.


Аналогично, получим




  1. Определить изотермические координаты катеноида.

Решение. Зададим катеноид в цилиндрических координатах

Следует, что геликоид изометричен катеноиду.


  1. Найти угол, под которым пересекаются прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Решение.


  1. Доказать, что первую квадратичную форму поверхности вращения можно привести к виду

Решение.


  1. Найти уравнения линий, пересекающих меридианы поверхности вращения под постоянным углом (локсодромы).

Решение.





  1. Найти площадь четырехугольника на прямом геликоиде ограниченного линиями

Решение.





  1. Определить ортогональные траектории семейства

Решение.




  1. Записать уравнение косого геликоида приняв линии и их ортогональные траектории за координатные.

Решение.

  1. Доказать, что инверсия есть конформное отображение.

Решение.


  1. Доказать, что полусумма кривизн двух взаимно ортогональных нормальных сечений постоянна и равна

Решение.

  1. Доказать, что если поверхность минимальная, то асимптотические линии ортогональны.

Решение.


  1. Д
    оказать, что если поверхность минимальная, то асимптотические делят пополам углы между линиями кривизны.

Решение. Следует из


  1. Доказать, что линия и ее сферическое отображение ортогональны тогда и только тогда, когда - асимптотическая.

Решение.


  1. Доказать, что квадрат кручения асимптотической линии, отличной от прямой, поверхности равен полной кривизне поверхности, взятой с обратным знаком (теорема Бельтрами-Эннепера) в точках этой линии.

Решение.


  1. Доказать, что касательные к линиям одного семейства сопряженной сети вдоль линий другого семейства, образуют развертывающуюся поверхность.


Решение. Примем сопряженную сеть за координатную. Тогда




  1. Доказать, что если касательные плоскости вдоль луча линейчатой поверхности постоянны, то поверхность развертывающаяся.

Решение.


  1. Поверхности трех семейств взаимно ортогональных поверхностей пересекаются по линиям кривизны (теорема Дюпена). Доказать.

Решение. Выберем в криволинейные координаты так, чтобы данные поверхности были координатными. Тогда

нормаль к поверхности


  1. Доказать, что в области гиперболических точек поверхности линии кривизны в каждой точке делят пополам углы между асимптотическими линиями.

Решение.


  1. Доказать, что линии кривизны поверхности соответствуют линиям кривизны параллельной поверхности.


Решение.


  1. Доказать, что если на параллельных поверхностях асимптотические соответствуют, то это развертывающиеся поверхности.


Решение.




  1. Определить полную и среднюю кривизну параллельной поверхности.

Решение. Из (25) имеем




  1. Дана поверхность постоянной средней кривизны: На всех нормалях отложены отрезки . Доказать, что полная кривизна построенной параллельной поверхности постоянная (теорема Бонне).

Решение. Из (27) имеем




  1. Докажите характеристические свойства геодезической линии :

  1. нормаль к поверхности есть главная нормаль ,

  2. нормаль к поверхности лежит в соприкасающейся плоскости ,

  3. кривизнаравна ,

  4. касательная плоскость к поверхности совпадает с спрямляющейся плоскостью .

Решение. Доказательство следует из формул



  1. Докажите, что геодезическая кривизна линии на поверхности может быть вычислена по формуле

Решение.

  1. Определить геодезическую кривизну окружности радиуса , лежащей на сфере, радиуса .

Решение. =Рассмотрим конус с вершиной в центре сферы и основанием данная окружность. Ось .

  1. Докажите, что геодезическими линиями плоскости являются прямые и только они.

Решение.


  1. Докажите, что геодезическими линиями цилиндрической поверхности являются прямолинейные образующие и обобщенные винтовые линии и только они.

Решение. орт образующей цилиндра.






  1. Докажите, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями.

Решение. Меридиан есть плоская кривая. Соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью меридиана и содержит нормаль к поверхности. См.29.


  1. Докажите, что геодезическая линия является линией кривизны тогда и только тогда, когда она плоская.

Решение. Геодезическая есть линия кривизны.

Геодезическая линия есть плоская линия.






  1. Докажите, что на поверхности вращения вдоль любой геодезической линии выполняется соотношение где расстояние точки геодезической от оси вращения,

угол между геодезической и параллелью, постоянное для данной геодезической число (теорема Клеро).

Решение.1.

2. орты параллели и меридиана.






  1. Докажите, что параллель к поверхности вращения будет геодезической тогда и только тогда, когда касательная к меридиану в ее точках параллельна оси вращения.

Решение. -параллель. Параллель геодезическая тогда и только тогда, когда плоскость, ее содержащая есть . Касательный к меридиану


  1. Докажите, что геодезическими линиями цилиндра являются прямолинейные образующие и обобщенные винтовые линии.

Решение.-орт геодезической,-орт параллели По теореме Клеро -const.

  1. На поверхности, огибающей спрямляющие плоскости пространственной линии, эта линия является геодезической. Докажите.

Решение.

  1. Исследовать характер точек на поверхности вращения.

Решение.

Если функция убывает, то . Если кривая меридиана выпуклая вверх (под касательной), то . В точках, где кривая выпуклая вниз (над касательной, вогнутая), то В точках перегиба .




  1. Определить сферическое изображение цилиндра .

Решение. Сферическое изображение цилиндра есть окружность. Но так как , то это четверть окружности без одного конца () взятая дважды.


  1. Определить сферическое изображение геликоида.

Решение. Следовательно, это полусфера без границы. Так как , то повторяется бесконечное число раз.


  1. Определить сферическое изображение эллиптического параболоида.

Решение. Следовательно, это полусфера без границы.


  1. Определить сферическое изображение конуса.

Решение.

Две параллельные окружности.

  1. Определить сферическое изображение катеноида.

Решение.

Сфера без полюсов ().


  1. Определить сферическое изображение тора.

Решение. дважды взятая сфера .


  1. Доказать, что кривизна геодезической линии наименьшая из всех кривизн линий, имеющих общую касательную с геодезической.

Решение. .


База данных защищена авторским правом ©infoeto.ru 2016
обратиться к администрации
Как написать курсовую работу | Как написать хороший реферат
    Главная страница