7. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд теорем, в каждом из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Прежде чем перейти к этим теоремам, рассмотрим неравенства Маркова и Чебышева.
7.1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
Теорема. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство
.
Доказательство. Доказательство проведем для дискретной случайной величины . Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значения, из которых часть значений
, ,…, будут не более числа , а другая часть - ,…, будут больше , т.е. .
Запишем выражение для математического ожидания :
,
где - вероятности того, что случайная величина примет значения соответственно .
Отбрасываем первые неотрицательных слагаемых (напомним, что все ), получим .
Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом , получим более сильное неравенство или .
Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляют собой сумму вероятностей событий
, т.е. вероятность события . Поэтому
.
Так как события и противоположные, то заменяя в этом неравенстве выражением , придем к другой форме неравенства Маркова:
.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.
7.2. Неравенство Чебышева
Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: , где , .
Применим неравенство Маркова к случайной величине , взяв в качестве положительного числа . Получим .
Так как неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия случайной величины , то получаем доказываемое неравенство.
Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
.
Неравенство Чебышева в обеих формах применимо для любых случайных величин. Оно устанавливает верхнюю границу и нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.
Запишем неравенство Чебышева для некоторых случайных величин:
а) для случайной величины , имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией : ;
б) для частоты события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию :
.
Замечание. Если математическое ожидание или дисперсия случайной величины , то правые части неравенств Маркова и Чебышева будут отрицательными, а в другой форме будут больше 1. Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1. Но такой вывод очевиден и без использования данных неравенств. Естественно, это обстоятельство снижает значения неравенств Маркова и Чебышева при решение практических задач, однако не умаляет их теоретического значения.
7.3. Теорема Чебышева
Теорема. Если дисперсии независимых случайных величин
, ,…, ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , ,…, , т.е.
или .
Вначале докажем формулу, затем выясним смысл формулировки «сходимость по вероятности».
По условию , ,…, ,
, ,…, , где - постоянное число.
Получим неравенство Чебышева для средней арифметической случайной величины, т.е. для
.
Найдем математическое ожидание и оценку дисперсии :
Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии и, в частности, то, что случайные величины , ,…, независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.
Запишем неравенство для случайной величины
.
Так как по доказанному , то , и от неравенства теоремы перейдем к более сильному неравенству:
.
Т.к. при величина стремится к нулю, то получим доказываемую формулу .
Стремление к следует понимать не как категорическое утверждение, а как утверждение, верность которого гарантируется с вероятностью, сколь угодной близкой к 1 при . Это обстоятельство и отраженно в формулировке теоремы «сходится по вероятности» и в записи обозначением .
Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе случайных величин , ,…, практически достоверно, что их средняя - величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины , т.е. практически перестает быть случайной.
Следствие. Если независимые случайные величины , ,…, имеют одинаковые математические ожидания, равные , а их дисперсии ограничены одной и то же постоянной, то неравенство из доказательства примет вид:
,
тогда
.
Учтено, что
Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную, и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число на средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).
Другой пример. Если надо измерить некоторую величину, истинное значение которой равно , проводят независимых измерений этой величины. Пусть результат каждого измерения – случайная величина . Если при измерениях отсутствуют систематические погрешности (искажающие результат измерения в одну и ту же сторону), то естественно предположить, что при любом . Тогда на основании следствия из теоремы Чебышева средняя арифметическая результатов измерений сходится по вероятности к истинному значению . Этим обосновывается выбор средней арифметической в качестве меры истинного значения .
Если все измерения проводятся с одинаковой точностью, характеризуемой дисперсией , то дисперсия их средней будет равна
,
а ее среднее квадратическое отклонение равно . Полученное отношение, известно под названием «правила корня из », говорит о том, что средний ожидаемый разброс средней в раз меньше разброса каждого измерения. Таким образом, увеличивая число измерений, можно как угодно уменьшать влияние случайных погрешностей (но не систематических), т.е. увеличивать точность определения истинного значения .
7.4. Теоремы Бернулли и Пуассона
Теорема Бернулли. Частота события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к вероятности этого события в отдельном испытании:
или .
Заключение теоремы непосредственно вытекает из неравенства Чебышева для частоты события при .
Замечания. Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, т.к. частоту события можно представить как среднюю арифметическую независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения. Доказательство теоремы (более громоздкое) возможно и без ссылки на теорему (неравенство) Чебышева. Исторически эта теорема была доказана намного раньше более общей теоремы Чебышева.
Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частотой, или статистической вероятностью, полученной в повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения мы можем принять частоту (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.
Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.
Теорема Пуассона. Частота события в повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями , при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, т.е.
или .
Теорема Пуассона непосредственно вытекает из теоремы Чебышева, если в качестве случайных величин рассматривать альтернативные случайные величины, имеющие законы распределения с параметрами . Так как математические ожидания случайных величин равны соответственно
, ,…, , а их дисперсии ограничены одним числом, то эта формула непосредственно вытекает из теоремы Чебышева.
Важная роль закона больших чисел в теоретическом обосновании методов математической статистики и ее приложений обусловила проведение ряда исследований, направленных на изучение общих условий применимости этого закона к последовательности случайных величин. Так, в теореме Маркова доказана справедливость предельного равенства для зависимых случайных величин при условии .
Например, температура воздуха в некоторой местности каждый день года – величины случайные, подверженные существенным колебаниям в течение года, причем зависимые, ибо на погоду каждого дня, очевидно, заметно влияет погода предыдущих дней. Однако среднегодовая температура
почти не меняется для данной местности, в течение многих лет, являясь практически неслучайной, предопределенной.
Помимо различных форм закона больших чисел в теории вероятностей имеются еще разные формы так называемого «усиленного закона больших чисел», где показывается не «сходимость по вероятности», а «сходимость с вероятностью 1» различных средних случайных величин к неслучайным средним. Однако этот усиленный закон представляет больше интерес в теоретических исследованиях и не столь важен для его приложения в экономике.
7.5 Центральная предельная теорема
Рассмотренный выше закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно – к нормальному закону распределения.
Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка и
,
то закон распределения суммы при в соответствии со свойствами нормального закона означает, что
,
где - функция Лапласа.
Смысл условия состоит том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на рассеяние подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.
Следствие. Если - независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания , дисперсии и абсолютные центральные моменты третьего порядка , то по закону распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному закону.
Доказательство сводится к проверке условия
.
:
В частности, если все случайные величины одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону .
Теперь у нас имеется возможность доказать ещё раз локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.
Рассмотрим случайную величину , где - число появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с одной и той же вероятностью , т.е. - случайная величина, имеющая биномиальный закон распределения, для которого математическое ожидание и дисперсия .
Случайная величина , так же как случайная величина , вообще говоря, дискретна, но при большом числе испытаний ее значения расположены на оси абсцисс так тесно, что ее можно рассматривать как непрерывную с плотностью вероятности .
Найдем числовые характеристики случайной величины , используя свойства математического ожидания и дисперсии:
.
.
В силу того, что случайная величина представляет собой сумму независимых альтернативных случайных величин, случайная величина представляет также сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин и, следовательно, на основании центральной предельной теоремы при большом числе имеет распределение, близкое к нормированному нормальному закону с параметрами , .
Используя свойство нормального закона, получим , для нормированной случайной величины .
Действительно, неравенство равносильно . Полагая , и с учетом того, что , получим .
Вероятность того, что событие произойдет раз в независимых испытаниях, можно приближенно записать в виде:
.
Чем меньше , тем точнее приближенное равенство. Минимальное (целое) . Поэтому можно записать: , где , .
При малых имеем , где - плотность стандартной нормально распределенной случайной величины с параметрами , , т.е.
.
Полагая, получим локальную формулу Муавра-Лапласа:
.
Замечание. Необходимо соблюдать осторожность, применяя центральную предельную теорему в статистических исследованиях. Скорость сходимости к нормальному закону существенно зависит от типа распределения слагаемых. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6-10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то время как для достижения той же близости при суммировании - распределенных случайных слагаемых понадобится более 100 слагаемых.
7.6. Решение типовых задач
Пример 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300.Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не боле 500.
Решение. а) по условию . Воспользуемся формулой
. Тогда , т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75;
б) воспользуемся формулой . Тогда , т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.
Пример 2. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?
Решение. Пусть - размер случайно взятого вклада, а - число всех вкладов. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада (тыс. руб.). Согласно неравенству Маркова : или
Учитывая, что , получим , откуда , т.е. число вкладчиков не более 500.
Пример 3. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя: а) неравенство Маркова б) неравенство Чебышева.
Решение. а) пусть — расход воды на животноводческой ферме. По условию . Используя неравенство Маркова , получим , т.е. не менее чем 0,5;
б) дисперсия . Так как границы интервала симметричны относительно математического ожидания , то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева :
,
т.е. не менее чем 0,96. В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова: , удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева: .
Пример 4. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Объяснить различие полученных результатов.
Решение. По условию вероятность того, что деталь бракованная, равна . Число бракованных деталей имеет биномиальный закон распределения, а его границы 60 и 100 симметричны относительно математического ожидания .
Следовательно, оценку вероятности искомого события
можно найти по формуле :
,
т.е. не менее чем 0,808.
Применяя следствие интегральной теоремы Муавра— Лапласа, получим
,
т.е. вероятность искомого события приближенно равна 0,979. Полученный результат не противоречит оценке, найденной с помощью неравенства Чебышева. Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности искомого события для любой случайной величины, а интегральная теорема Муавра—Лапласа дает достаточно точное значение самой вероятности (тем точнее, чем больше ), так как она применима только лишь для случайной величины, имеющей определенный, а именно – биномиальный закон распределения.
Пример 5. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине)- (правило трех сигм).
Решение. По формуле , учитывая, что , получим:
,
т.е. не менее чем 0,889. Напомним, что для нормального закона правило трех сигм выполняется с вероятностью, равной 0,9973. Можно показать, что для равномерного закона распределения эта вероятность равна 1, для показательного – равна и т.д. Таким образом, правило трех сигм (с достаточно большой вероятностью его выполнения) применимо для большинства случайных величин, встречающихся на практике.
Пример 6. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет отличается от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
Решение. Полагая , , , по формуле получим
,
т.е. не менее чем 0,929.
Пример 7. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5 ч (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике менее 7 ч.
Решение. Пусть - продолжительность горения электролампы (ч), взятой из го ящика. По условию дисперсия . Очевидно, что средняя продолжительность горения отобранных ламп равна , а средняя продолжительность горения ламп во всей партии
.
Тогда вероятность искомого события можно найти по формуле
:
,
т.е. не менее чем 0,9902.
Пример 8. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?
Решение. Пусть - результат го измерения - истинное значение величины, т.е. при любом .
Необходимо найти , при котором
.
В соответствии с формулой
данное неравенство будет выполняться, если
, откуда
и , т.е. потребуется не менее 500 измерений.
7.7. Задачи для самостоятельного решения
1. Среднее изменение курса акции компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.
2. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.
3. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.
4. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.
5. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия — 0,1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5 см. Уточнить вероятность того же события, если известно, что длина случайно взятой детали имеет нормальный закон распределения.
6. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине).
7. В течение времени эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).
8. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
9. Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.
10. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона — безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).
11. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания не превышало 50(по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
12. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра — Лапласа.
13. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.
14. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется среднеквадратическим отклонением, равным 0,03?
8. Индивидуальное домашнее задание по теме «Случайные величины»
Вариант 1
1. В городе 5 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что в течение года обанкротится не больше одного банка.
2. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4 билета. Наугад извлекают 4 билета. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных. Найти числовые характеристики.
3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :
369
0,60,30,1
51525 0,90,050,05
Требуется:
- составить закон распределения случайной величины ;
- найти числовые характеристики случайных величин ;
- проверить свойство
- построить функцию распределения для и построить ее график.
4. Случайная величина задана плотностью вероятности:
, .
Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .
5. Случайная величина равномерно распределена на интервале (2;6). Составить , . Найти , . Построить графики , .
6. Среднее число студентов на курсе 80 человек. Оценить вероятность того, что на следующий год число студентов на этом потоке не будет превышать 100 человек.
7. Дисперсия каждой из 1 200 независимых случайных величин не превышает 3. Определить вероятность отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математического ожидания не более чем на 0,45.
8. Случайная величина ~ , , , , .
Требуется:
- составить функцию плотности распределения и построить ее график;
- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;
- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .
Вариант 2
1. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составить закон распределения числа успешных нефтеразведок. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить ее график. Найти вероятность того, что не меньше 2 нефтеразведок принесут успех.
2. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивые. Тщательной проверке подвергается 15 случайно отобранных авизо. Составить закон распределения числа фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки. Найти числовые характеристики.
3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :
-102 0,40,50,1
135
0,20,50,3
Требуется:
-составить закон распределения случайной величины ;
- найти числовые характеристики случайных величин ;
- проверить свойство
- построить функцию распределения для и построить ее график.
4. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
, .
Требуется: а) найти функцию плотности распределения ;
б) найти , , ; в) найти вероятность ;
г) построить графики и .
5. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Составить , . Найти и числовые характеристики.
6. Бригада штукатуров в количестве 10 человек взялась выполнить некоторую работу по сдельной оплате. Вероятность того, что заработок наугад взятого штукатура не превысит 1000 руб., больше чем 0,7. Определить сумму денег, которую вероятно, придется уплатить всей бригаде за работу.
7. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 9. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,5.
8. Случайная величина
|