Замощение плоскости в пространстве

Бельгибаев А.С.

Актуальность проекта заключается в том, что замощение плоскости активно изучается в физике кристаллов, геометрии, а также встречается в повседневной жизни.

В нашем проекте мы рассмотрим различные замощения плоскости. Познакомим вас с некоторыми красивыми и в свою очередь сложными фактами из геометрии решеток. Если как следует разобраться в этом, сразу становится ясным все конструкции и основные идеи доказательств.

Сразу же заметим, что задачи, о которых пойдет речь, возникли не случайно, а пришли из физики кристаллов. Хорошим аналогом кристалла может служить паркет (мозаика). Трехмерное пространство кристалла заполняется элементарными ячейками так же, как в паркете двумерное пространство заполняется плитками. Периодической мозаикой или разбиением плоскости называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую без пробелов и наложений всю плоскость при трансляциях и параллельных переносах, то есть при сдвигах области без поворотов или отражений. Существует множество фигур, например: параллелограммов, правильных шестиугольников и др., из которых можно сложить периодическую мозаику. Существует также множество и других фигур, из которых можно сложить и периодические и непериодические мозаики.

1) изучить материалы научно-методической литературы;

2) научиться строить решетки Бриллюэна;

3) изучить квазипериодическое замощение плоскости;

4) рассмотреть приложения квазикристаллов.

Самостоятельной работой было создание дизайнерского макета витража.

Речь пойдет о замощении плоскости. Замощение ­­– это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений приведено на рисунке 1. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из розового параллелограмма, сдвигая последний на вектор (векторы и определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m – целые числа). Следует заметить, что всё замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор (или ). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами и назовём такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор и на вектор . Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы.

Как известно, плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников (Рис.7-а), квадратов (Рис.7-б) и шестиугольников (Рис.7-г). С помощью пятиугольников (пентагонов) такое заполнение невозможно (Рис.7-в).

а) б) в) г)

Когда Дан Шехтман привел экспериментальное доказательство существования квазикристаллов, обладающих икосаэдрическиой симметрией, физики в поисках теоретического объяснения феномена квазикристаллов, обратили внимание на математическое открытие, сделанное на 10 лет раньше английским математиком Роджером Пенроузом. В качестве «плоского аналога» квазикристаллов были выбраны плитки Пенроуза, представляющие собой апериодические регулярные структуры, образованные «толстыми» и «тонкими» ромбами, подчиняющиеся пропорции «золотого сечения». Именно плитки Пенроуза были взяты на вооружение кристаллографами для объяснения феномена квазикристаллов. При этом роль ромбов Пенроуза в пространстве трех измерений начали играть икосаэдры, с помощью которых и осуществляется плотное заполнение трехмерного пространства.

Рассмотрим еще раз внимательно пентагон:

После проведения в нем диагоналей исходный пентагон может быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Кроме того пентагон включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании.

А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» ромба. Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°:

(а) (б)

Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов:

Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа толстых ромбов к тонким стремится к золотой пропорции!

Существуют интересные и непериодические замощения плоскости. В 1974г. Английский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения приведён на рисунке 2. Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Это узкий ромб (36⁰ , 144⁰) и широкий ромб (72⁰, 108⁰), показанные на рисунки 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим – оно очевидно не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная часть квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленно множество раз. Это замощение обладает осью симметрии 5 порядка, в то время как таких осей у периодических замощений не существует.

Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено на рисунке 4. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник.

Преобразование инфляции и дефляции

Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения – это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная часть покрытия встречается во всём покрытии бесчисленное множество раз, притом, одинаково часто, по всей плоскости. Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет разобраться в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию можно использовать для построения узоров Пенроуза. Наиболее наглядным образом можно проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона – это два равнобедренных треугольника P, Q с углами (36⁰, 72⁰, 72⁰) и (108⁰, 36⁰, 36⁰) соответственно и длинами сторон, как на рисунке 6. Здесь τ – золотое сечение: τ=(1 +)/2. Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый их новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Разрезание показано на рисунке 7: прямая ас является биссектрисой угла dab, а отрезки ae, ab и ac равны. Легко видеть, что треугольник acb и ace равны между собой и подобны треугольнику Р , а треугольник cde подобен треугольнику Q. Треугольник Q разрезан так. Длина отрезка gh равна длине отрезка ih (и равна 1). Треугольник igh подобен треугольнику Р, а треугольник igf подобен треугольнику Q. Линейные размеры новых треугольников в t раз меньше чем у исходных. Такое разрезание называется дефляцией.

Обратное преобразование – склеивание – называется инфляцией. Рисунок показывает нам, что из двух Р – треугольников и одного Q – треугольника можно склеить Р – треугольник, а из Р и Q треугольника можно склеить Q треугольник. У новых (склеенных) треугольников линейные размеры в t раз больше, чем у исходных треугольников.

Итак, мы ввели понятие преобразований инфляции и дефляции. Ясно, что преобразование инфляции можно повторить; при этом получится пара треугольников, размеры которых в t² раз больше исходных. Последовательно применяя преобразования инфляции, можно получить пару треугольников сколь угодно большого размера. Таким образом, можно замостить всю плоскость.

Будем рассуждать от противного. Предположим, что замощение плоскости треугольниками Робинсона периодическое с периодами u и w . Покроем плоскость сетью параллелограммов со сторонами u, w Обозначим через р число Р – треугольников, у которых левая нижняя вершина (относительно нашей сети) расположена в заштрихованном параллелограмме; аналогично определим число q. (Отобранные р+q треугольников образуют так называемую фундаментальную область данного периодического замощения.) Рассмотрим круг с радиусом R с центром О. Обозначим через PR (собственно QR) число Р-треугольников (соответственно – Q - треугольников), лежащих внутри этого круга.

Докажем, что .

Действительно, число треугольников, пересекающих окружность радиуса R, пропорционально R, в то время как число треугольников внутри круга радиуса R пропорционально R² . Поэтому в пределе отношение числа Р – треугольников к числу Q – треугольников в круге равно этому отношению в фундаментальной области.

Возьмем теперь наше замощение и выполним преобразования дефляции. Тогда в исходной фундаментальной области окажется p´ = 2p + q меньших Р – треугольников и q´ = p +q меньших Q – треугольников. Обозначим через p´R и q´R число меньших треугольников в круге радиуса R. Теперь легко получить противоречие. В самом деле, = = = = (правило Лопиталя)

Откуда, решая уравнение p/q=(2p+q)/(p+q), находим p/q=(1+) /2, в то время как p и q – целые! Противоречие показывает, что замощение треугольниками Робинсона – не периодическое.

Оказывается, что это покрытие треугольниками Робинсона не единственное. Существует бесконечно много различных квазипериодических покрытий плоскости треугольниками Робинсона . Грубо говоря , причина этого явления лежит в том, что при дефляции биссектрису на рисунке 7 можно провести из вершины b , а не из вершины а. Использую этот произвол, можно добиться, например, что бы покрытие треугольниками превратилось в покрытие треугольниками ромбами

Преобразование дуальности.

Способ построения квазипериодических замощений, приведенный выше, выглядит как догадка. Однако существует регулярный способ построения квазипериодических покрытий. Это метод преобразования дуальности, идея которого принадлежит голландскому математику де Брауну.

Поясним этот метод на примере построения замещения плоскости ромбами (см. рис 3). Сначала построим сетку G. Для этого возьмём правильный пятиугольник и пронумеруем его стороны (j = 1,2,3,4,5; рис 10). Рассмотрим сторону с номером j. Построим бесконечный набор прямых, параллельных этой стороне, так что бы расстояние между двумя ближайшими прямыми равнялось 1. Проведём аналогичное построение для каждой из сторон пятиугольника; прямые мы проведём так, чтобы они пересекались лишь попарно. Получится набор прямых, который не является периодическим (Рис 9).Прямые в этом наборе будем обозначать буквами l. Перенумеруем прямые двумя индексами: l_j(n). Здесь j указывает на направление прямой (какой стороне пятиугольника она параллельна). Целое число n нумерует различные параллельные прямые, пробегает все целые значения (как положительные, так и отрицательные). Этот набор прямых делит плоскость на бесконечный набор многоугольников. Эти многоугольники называются гранями сетки. Стороны многоугольников будем называть ребрами сетки, а вершины многоугольников – вершинами сетки. (Аналогично для квазипериодического покрытия Q: ромбы – это грани Q, стороны ромбов – рёбра Q, вершины ромбов – вершины Q)

Таким образом, сетка G построена. Совершим теперь преобразование дуальности. Каждый грани сетки G сопоставим вершину квазипериодического покрытия Q (вершину ромба). Вершины обозначим буквами (это векторы). Сначала сопоставим каждой грани M сетки пять целых чисел n_j = (M), j – 1,2, ….5 по следующему правилу. Внутренние точки M лежат между какой-то прямой l_j(n) и параллельной ей прямой l_j(n+1).

Это целое число n мы сопоставим грани M. Поскольку в сетке есть прямые пяти направлений, то таким образом мы сопоставим пять целых чисел n_j(M) каждой М сетки G. Вершина квазипериодического покрытия Q, соответствующая данной грани М сетки G, строится так:

(M) = n₁(M) + + … +

Здесь - вектор единичной длины, направленный из центра правильного пятиугольника к середине стороны с номером j . Таким образом, каждой грани сетки мы сопоставили вершину покрытия . Так можно построить все вершины Q.

Теперь некоторые вершины соединим между собой отрезками прямых линий. Это будут ребра покрытия Q (стороны ромбов). Для этого рассмотрим пару граней М1 и М2 , имеющих общее ребро. Вершины покрытия, соответствующие этим граням () и (), мы и соединим между собой отрезками.

Тогда оказывается, что разность

Таким образом, каждому ребру сетки сопоставляется грань покрытия Q. Каждой вершине сетки сопоставляется грань покрытия Q (ромб) Действительно, к каждой вершине сетки примыкают четыре грани M_R (R = 1,2,3,4). Рассмотрим соответствующие им четыре вершины покрытия (M_R). Из свойства разности (2) следует, что ребра покрытия, проходящие через эти вершины, образуют границу ромба. Квазипериодическое покрытие плоскости ромбами построено.

Мы проиллюстрировали метод преобразования дуальности. Это общий способ построения способ квазипериодических покрытий. В этой конструкции правильный пятиугольник можно заменить на любой правильный многоугольник. Получится новое квазипериодическое покрытие. Метод преобразования дуальности применим и для построения квазипериодических структур в пространстве.

Квазипериодическое заполнение трехмерного пространства

Существует трехмерное обобщение узоров Пенроуза. Трехмерного пространство может быть заполнено параллелепипедами специального вида. Параллелепипеды не имеют общих внутренних точек и между ними нет промежутков. Каждый параллелепипед этого заполнения с помощью сдвигов и поворотов может быть получено всего из двух параллелепипедов. Это так называемые параллелепипеды Аммана-Маккэя. Для того, чтобы задать параллелепипед, достаточно задать три ребра, выходящих из одной вершины. Для первого параллелепипеда Аммана-Маккэя эти векторы имеют вид: = (0; 1; τ), = (-τ; 0; -1), = (τ; 0; -1).

А для второго параллелепипеда: =(0; -1;τ), = (τ; 0;1), = (0;1; τ).

Заполнение этими параллелепипедами не переходит в себя ни при каких сдвигах, однако любая конечная ему часть встречается во всем заполнение бесчисленное множества раз. Заполнение пространства этими параллелепипедами связано с симметриями икосаэдра. Икосаэдр – платоновское тело. Каждая из его граней является правильным треугольником. Икосаэдр имеет 12 вершин, 20 граней и 30 ребер.

Оказалось, что именно такими симметриями обладает быстро охлажденный алюминиево-марганцевый сплав (открытый в 1984г.) Таким образом, узоры Пенроуза помогли понять структуру вновь открытого вещества. И не только этого вещества, найдены и другие реальные квазикристаллы, их экспериментальное и теоретическое изучение находится на переднем крае современной науки.

С давних пор людям были известны два состояния твердых тел: кристаллы и аморфные тела. Первые характеризуются упорядоченным расположением частиц внутри кристаллической решетки. Расстояния между атомами в узлах решетки часто бывают неодинаковыми в разных направлениях, соответственно меняются и свойства кристалла — по-научному это называется анизотропией. Аморфные же тела не имеют выраженной внутренней структуры, их частицы расположены «как попало», что приводит к одинаковости их физических параметров вне зависимости от направления. Эта картина считалась исчерпывающей до 1984 года.

Кристаллические тела состоят из элементарных ячеек, вплотную прилегающих друг к другу. Увеличение (рост) кристалла происходит за счет построения все новых и новых ячеек, форма и взаимное расположение которых неизменны в пределах всего кристаллического тела. Неплохой иллюстрацией может послужить разлинованный в клеточку лист из школьной тетрадки - его рисунок можно неограниченно воспроизводить во все стороны. На научном языке это называется дальним порядком.

Равенство и однообразие расположения частей фигуры выявляют посредством операций симметрии. Операциями симметрии называют повороты, переносы, отражения и их комбинации. Под поворотами понимают обычные повороты вокруг оси на 360°, в результате которых равные части симметричной фигуры обмениваются местами, а фигура в целом раз совмещается с собой. Ось, вокруг которой происходит поворот, называется простой осью симметрии (п). Это название не случайное, так как в теории симметрии различают еще и сложные оси различного рода. Число совмещений фигуры с самой собой при одном полном обороте вокруг оси (п) называется порядком оси.

Кристаллическая решетка обладает вращательной симметрией - при повороте вокруг своей оси она совмещается сама с собой некоторое количество раз. Решетка, состоящая из кубов (на плоскости - тот же тетрадный листок), при повороте на 360 градусов совпадет сама с собой четыре раза - это называется симметрией четвертого порядка. Решетка, состоящая из пятиконечных звездочек, при обороте вокруг оси совпала бы сама с собой пять раз, но такими звездочками невозможно заполнить плоскость, не оставив на ней пустых мест. Поэтому в классической кристаллографии симметрия пятого порядка считается невозможной. Более того, по аналогичным причинам недопустимыми являются вообще любые порядки симметрии, кроме второго, третьего, четвертого и шестого.

Симметрией пятого порядка в геометрии обладает икосаэдр.

В высшей степени интересен трафарет, используемый для конструирования заготовок звёздчатых форм икосаэдра. Проще всего его изготовить следующим образом: возьмите один равносторонний треугольник с достаточно большой стороной. (Этот треугольник равен одной грани большого икосаэдра.) На каждой стороне треугольника следует выбрать две точки, каждая из которых делит сторону в отношении золотого сечения. Для обозначения этого отношения мы иногда будем использовать символ τ. Как известно, τ = (1+√5)/2 ≈ 1,618.

На рисунке показано распределение цветов, подходящее для всех звёздчатых форм икосаэдра. Здесь использовано пять цветов, причём каждый из них встречается вблизи любой вершины. Но порядок размещения цветов меняется от вершины к вершине. На рис. 27 пронумеровано и показано шесть вершин. Раскраска остальных шести энантиоморфна. Этот рисунок вполне заменяет таблицу раскраски, так что мы будем обращаться к нему во всех случаях, когда выполняемая модель будет обладать симметрией икосаэдра.

Глава 2. Исследовательская часть.

1.1. Разбиение плоскости на зоны Бриллюэна.

Для наглядности и простоты изучения мы будем подробно рассмотривать разбиение на плоскости. В дальнейшем по аналогии рассмотрим разбиение в пространстве, которое применимо в физике квазикристаллов.

Пока начнем с того, что отметим на плоскости все точки с целочисленными координатам – узлы квадратной решетки, и среди них выделим один «начальный» узел О. Для каждого из остальных узлов Р проведем прямую , относительно которой узлы О и Р симметричны , - серединный перпендикуляр к отрезку ОР. Проведенные нами прямые разбивают плоскость на на части – выпуклые многоугольники. Припишем каждое из них натуральное число –ранг- по следующему правилу: часть, содержащую точку О (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне, - ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных), - ранг т так далее…

А) Практика построения:

Для начала возьмем теперь лист клеточной бумаги и разобьем его на квадраты 2*2 (так более удобнее для построения квадратной решетки). Выберем один из узлов О этой решетки и построим кусочки….скажем первого и второго, третьего ранга и четвертого ранга и закрасим их в разные цвета для удобства и для красоты (так что бы кусочки одного ранга были закрашены одинаково). Легко убедиться в том, что суммы площадей одноцветных кусков равны площади квадрата из четырех клеток.

Проделав то же самое с решетками из правильных треугольников и из 6-угольников, видим, что для малых рангов- 1, 2, 3, 4 суммарные площади одноцветных кусков одинаковы.

Обозначим через D(О) объединение всех многоугольников ранга r (r= 1, 2, 3….) для выбранного «центрального узла» О решетки. Оказывается, что любой решетки и любого r площади областей D_r(O) одинаковы. Попробуем доказать это.

Понаблюдав за картинками, можно сделать два наблюдения, подсказывающие идеи двух разных доказательств. С них мы и начнем.

Б) Наблюдение 1.

Рассмотрим самую простую квадратную решетку. На рисунке красным цветом выделена область D₆(О); кроме того, жирным черными линиями плоскость, разбита на одинаковые квадраты так, что каждый узел Q служит центром одного из квадратов. Обозначим его за D(Q) – получается переносом центрального квадрата D(O)=D₁(O) на вектор OQ. Если разрезать всю плоскость по жирным линиям на квадраты так, чтобы они совместились с центральным D(O), то красные кусочки D₆(О) в точности заполнят квадрат в один слой, не налегая друг на друга (то же самое будет верно для кусочков в области D_r(О) при каждом r, что бы в этом не осталось сомнений. Отсюда, конечно, сразу будет следовать что D₆(О) имеет ту же площадь что и D₁(О).

Наблюдение 2 будет проиллюстрировано на примере решетки из вершин правильных шестиугольников, заполняющих плоскость. На рисунке показаны области D_r(О) для r = 1, 2, 3,6

Аналогично можно построить области D(Q), приняв за центральный узел Q решетки. Оказывается что все области D₄(Q) для разных Q заполняют плоскость в один слой , не налегая друг на друга . (То же самое верно для областей D_r(Q) при каждом r= 1, 2 …. ) Таким образом, площадь D_r(Q) - это «средняя площадь приходящаяся на один узел. Что это такое, мы уточним и выясним ниже, а пока сформулируем лемму, которая объясняет все наши наблюдения.

Ключевая лемма.

Область D_r(Q) состоит из тех точек М плоскости, для которых узел О является r-м по удаленности от точки М.

Разберем сначала случай r=1. Заметим, что перпендикуляр, проведенный к отрезку РО в его середине, делит плоскость на две полуплоскости так, что точки М в одной из них (содержащей О) ближе к О, чем к Р, в другой – наоборот. Область D(О)=D₁(Q) пересечение таких (содержащих О) полуплоскостей для всевозможных узлов Р, отличных от О. Поэтому D(О) состоит из точек М, для которых узел О ближе всех других узлов Р.

Пусть теперь М – точка ранга r > 1 (по отношению к центру О). Из определения ранга, данного условия следует , что , двигаясь по некоторому пути от точки М к О, мы пересечем ровно r-1 проведенных прямых - серединные перпендикуляров некоторых отрезков OP₁, OP₂…..OP_r-1. Этот путь можно построить так: сначала мы идем по прямолинейному отрезку от точки М до любой пограничной точки областей D_r(О) и D_r-1(О), затем – по другому отрезку до пограничной точки областей D_r-1(О) и D_r-2(О) и т.д. Дойдя до области D₁(О).= D(О), мы по прямолинейному отрезку идем в точку О. Это означает, что имеется r-1 узлов P₁……P_r-1, к которым М ближе, чем к О.

Лемма доказана.

Теперь применим лемму для анализа наших наблюдений.

1. Пусть решетка такова , что при переносе на вектор ОQ, где О и Q – любые её узлы, вся решетка совмещается с собой. (Этому условию удовлетворяют квадратная решетка, «треугольная» решетка на рисунке 1 и вообще любая решетка из концов векторов m OA + n OB, где ОАВ – фиксированный треугольник, а m и n произвольные целые числа.) будем ниже «переносами» называть лишь параллельные переносы на векторы OQ. Докажем, что для любой внутренней точки М «Области Дирихле» D(O) найдется перенос Т такой, что Т(М) будет принадлежать D_r(О), причем если Т(М) лежит внутри области D_r(О), то существует ровно один такой перенос Т . Другими словами, область D(О) разбивается на куски, при переносах Т которых составляет область D_r(О). Пусть М – такая точка, что r-m по удаленности от нее узлом является Q. По ключевой лемме М принадлежащей D(О) в объединении D_r(Q), и поэтому при переносе Т на вектор ОQ мы получим, что Т(М) принадлежит Dr(О). Перенос Т определен однозначно, если не существует узла решетки X, для которого MQ=MX. Легко видеть, что этому условию удовлетворяют все точки внутренности D(O), которые лежат вне конечного числа отрезков. Эти отрезки – в точности те линии, по которым надо разрезать D(O), что бы из полученных кусочков сложить D_r(О).

2. Пусть решетка такова, что для любых узлов Р и Q можно указать некоторое самосовмещение решетки , переводящее Р в Q (в отличие от 1, это может быть и поворот, а не только перенос).

По ключевой лемме для каждой точки М есть лишь один узел Q, для которого М принадлежит D_r(Q) – это r-й по удаленности от точки М узел. Ясно, что области D_r(Q) для разных Q пересекаются лишь по границам. Наложенные условия показывают , что все области D_r(Q) одинаковы – при совмещении решетки, переводящем Q в О, D_r(Q) переходит в D_r(Q).

Введем понятие плотности решетки: , K(N) – число узлов лежавших в квадрате размером N*N с центром О. Докажем что для каждого r. Введем обозначения : S_r - площадь области Dr(Q) , L_r – наибольшее расстояние точек области D_r(Q) от О. Тогда для всех K(N) узлов Q квадрата N*N объединение областей Dr(Q) покрывает квадрат (N-L_r)( N-L_r ) и содержится в квадрате (N+L_r)( N+L_r ), поэтому

При Noo правая и левая части сколь угодно близки к 1, поэтому существует предел так что эта величина и есть «средняя площадь на один узел», то есть она равна для любой области r. Теорема доказана.

На рисунке изображены четыре зоны Бриллюэна для двумерной прямоугольной обратной решетки. Строятся они также, как и в трехмерном случае, только вместо плоскостей проводятся прямые.

Открытие Шехтмана, помимо переворота в представлениях о структуре твердых веществ, интересно еще и тем, что его аналог уже был известен. В1973 году английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) придумал мозаику, состоящую из двух элементов ромбической формы: тонкого ромба с углами 36 и 144 градуса и толстого — 72 и 108 градусов. Этой мозаикой можно замостить бесконечную плоскость без пустот. На первый взгляд мозаика обладает периодичностью, и можно выделить некий повторяющийся блок и копировать мозаику простым переносом этого блока. Однако это не так. Отношение тонких ромбов к толстым во всей мозаике равно золотому сечению (1,618...). Это иррациональное число, поэтому невозможно выделить блок мозаики, который содержал бы целые числа толстых и тонких ромбов. Мозаика Пенроуза обладает вращательной симметрией пятого порядка.

Около десяти лет мозаика Пенроуза считалась забавной математической шуткой, пока в 1984 году Шехтман не обнаружил первый квазикристалл. Чтобы иметь представление о заполнении решетки квазикристалла атомами, надо перенести плоскую мозаику на трехмерное пространство. Трехмерное обобщение мозаики Пенроуза, составленное из двух ромбоэдров, называется сетью Аммана — Маккея. Так же как и в двумерном случае, ромбоэдры не имеют общих внутренних точек, между ними нет промежутков и их отношение точно равно величине золотого сечения. Заполнение пространства этими ромбоэдрами связано с симметрией икосаэдра и образует регулярный квазикристалл. Таким образом, математический курьез стал моделью, описывающей внутреннее строение квазикристаллов.

Геометрические конструкции, рассмотренные нами в работе, играют важную роль в физике твердого тела. Области D(O) известны в физике кристаллов под названием «зон Бриллюэна», по имени французского ученого Леона Бриллюэна, который в начале 30-ых годов детально исследовал квантовые законы движения электронов в кристалле. В нескольких словах это можно пояснить так.

Свойства электропроводности кристалла в основном зависят от наличия «энергетических щелей» - интервалов, в которые не попадают возможные значения энергии электронов Для свободного электрона (не взаимодействующий с кристаллом) график зависимости энергии от импульса – парабола, а если электрон взаимодействует то в графике появляются разрывы..

Оказывается, что разрывы энергии возникают как раз на плоскостях, являющихся серединными перпендикулярами (см. рисунок), то есть в «зонах Бриллюэна».

Легко убедиться в том, что элементы кристалла, обладающие симметрией пятого, порядка, не могут заполнить все пространство без пробелов между ними.

В 2007 году два американских физика, Питер Лу (Peter J. Lu) и Пол Стейнхардт (Paul J. Steinhardt), опубликовали статью о мозаиках Пенроуза. Что интересно, статья не была посвящена ни квазикристаллам, ни математике. В ней обращалось внимание на гирихи — узоры, покрывающие мечети в Азии. Ранее считалось, что мозаики, выложенные на стенах исламских мечетей Средневековья, создавались при помощи линейки и циркуля. Однако, изучив множество узоров в Узбекистане, Афганистане, Иране, Ираке и Турции, а также чертежи этих узоров в древних манускриптах, которые архитекторы тех времен использовали как шпаргалки при оформлении мечети, ученые пришли к выводу, что эти схемы практически одинаковы, и смогли выделить основные элементы гирихов, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Оказалось, что гирихи не что иное, как мозаики Пенроуза, созданные задолго до рождения математика.

Образцом практически идеальной квазикристаллической структуры исследователи считают роспись мечети Дарб-и-Имам в иранском городе Исфахане, датируемую 1453 годом. До сих пор достоверно неизвестно, кто и когда сформулировал правила, по которым средневековые архитекторы украшали мечети. Считается, что главной причиной появления замысловатого орнамента послужил существующий в исламе запрет на изображение людей и животных. Любой другой геометрический узор неизбежно был бы искажен при копировании из манускриптов, однако с гирихами этого не случилось, потому что главное в них — не начертание, а принцип, следуя которому можно замостить любую стену без пробелов, точно повторив оригинал.

Сооружения в форме «звезды» начали возводить в средние века - такая форма построения крепости была максимально практичной с точки зрения обороны… Одним из самых известных крепостей-звёзд является город-крепость Пальманова - один из форпостов Венецианской республики...Крепость спроектирована архитектором Винченцо Скамоцци (1552-1616) по древнеримскому плану и построена в 1590-1603 году.

Музей- крепость Буртанж располагается в северо-восточной части Голландии... Крепость появилась во время Восьмидесятилетней войны, когда Уильям Оранжский попытался захватить контроль над единственной дорогой между Германией и Гронингеном, контролируемой на тот момент испанцами.

Художественные композиции связаны с числами Фибоначчи. Если мы выберем одно из чисел Фибоначчи (например, 21 см) для длины стороны ромба Пенроуза в этой ощутимо нестабильной композиции, мы можем наблюдать, как длины некоторых отрезков в композиции образуют последовательность Фибоначчи.

Большое количество художественных композиций посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза.

а) б)

в) г)

(б) Звезды. Компьютерная графика, 1998г. (в) 10/5. Холст, 1998г. (г) Квазикуб. Холст, 1999г.

В композиции Матюшки Тейи Крашек и Клиффорда Пиковера «Биогенезис», 2005 представлен декагон, состоящий из ромбов Пенроуза. Можно наблюдать отношения между ромбами Петроуза: каждые два соседние ромба Пенроуза образуют пентагональную звезду.
В композиции Крашек «Stars for Donald» мы можем наблюдать бесконечное взаимодействие ромбов Пенроуза, пентаграмм, пятиугольников, уменьшающихся к центральной точке композиции. Отношения золотой пропорции представлены многими различными способами в различных шкалах.

Наука и жизнь

В прошлом человек использовал геометрический рисунок, повторяющий решетку квазикристалла, для украшения религиозных архитектурных сооружений. Что же значит открытие Шехтмана для нас сегодня?

Легко догадаться, что необычное строение сказывается на физических свойствах. Практически все известные на данный момент квазикристаллы — это металлические сплавы, но их свойства сильно отличаются от свойств исходных металлов. Отметим, например, необычайно высокое электрическое сопротивление при низких температурах и его падение при повышении температуры. «Традиционные» металлы ведут себя прямо противоположным образом.

Эпоха массового использования квазикристаллов, очевидно, впереди, не некоторые контуры уже можно обозначить. Возможно их применение в подшипниках скольжения — при низком коэффициенте трения квазикристаллические сплавы обладают высоким запасом прочности. Заманчиво выглядит высокопрочное антипригарное покрытие, высокотемпературные сверхпроводники, высокопрочные материалы, сверхтонкие покрытия, сверхмелкодисперсные порошки и абразивы на квазикристаллической основе. Многие свойства этого класса веществ еще предстоит изучить. Одной из приоритетных задач является разработка методов синтеза по заданным параметрам, которая позволила бы заранее «программировать» физические свойства создаваемых материалов.

Открытие квазикристаллов пошатнуло устои кристаллографии, многие положения которой за последнюю четверть века пришлось пересмотреть. В обобщенном представлении о кристалле на замену понятию «элементарной ячейки» — условной наименьшей структурной единицы кристалла — пришло понятие «дальнего порядка». Физики сравнивают значимость открытия квазикристаллов для кристаллографии с открытием иррациональных чисел в математике.

Заключение

Каково же практическое значение открытия квазикристаллов? Как уже отмечалось, «механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами. Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу».

В чем же состоит методологическое значение открытия квазикристаллов?

квазикристаллы разрушили традиционное представление о непреодолимом водоразделе между миром минералов, в котором «пентагональная» симметрия была запрещена, и миром живой природы, где «пентагональная» симметрия является одной из наиболее распространенных. И не следует забывать, что главной пропорцией икосаэдра является «золотая пропорция». И открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией Мироздания.

В настоящее время открыто более 200 квазикристаллических сплавов, свойства которых активно исследуются. Эти объекты пока не нашли практического применения, но их изучение расширяет наши представления о строении вещества. Вопрос о квазикристаллическом состоянии не ограничивается физикой твердого тела. Симметрийные свойства квазикристаллов обладают универсальностью. Это означает, что если какой-либо способ упаковки ячеек некоторой формы найден в твердом теле, то такой же способ упаковки "жидких ячеек'' может быть обнаружен в гидродинамических течениях, проблеме хаоса (в структуре фазовой плоскости динамической системы) и др. Поэтому в исследование квазикристаллов вовлечены физики, математики, кристаллографы и материаловеды. Однако вопрос о природе квазикристаллического состояния материи и объяснении свойств квазикристаллов все еще остается загадкой, которую преподнесла нам Природа.
Литература

1. А.Гончаров «Решетки и зоны Бриллюэна». Квант № 6.1986г.

2. А.Гончаров «Квазикристаллы и узоры Пенроуза». Квант №9. 1987г.

3. Нельсон Д.Р. Квазикристаллы // В мире науки (Sci. Amer.).1986.№ 10. С. 19-28.

4. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.:

Наука, 1989.

5. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и

квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

6. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993.

7. Корепин В.В. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант. 1987. №6. С. 2-6.