1 Цели и задачи изучения дисциплины
-
Цель преподавания дисциплины
Цель изучения дисциплины - получение базовых знаний по методам оптимизации и идентификации технических систем.
1.2 Задачи изучения дисциплины
Получение общекультурных и профессиональных компетенций для разработки математических моделей технических систем, планирование эксперимента, решение задач оптимизации методами математического программирования с применением ПЭВМ.
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать: основные понятия и определения теории вероятностей, функции распределения вероятностей случайной величины, числовые характеристики случайных величин, многомерные распределения вероятностей, случайные процессы и их основные статистические характеристики, корреляционные функции случайных процессов, спектральные плотности случайных процессов, случайные процессы в динамических системах; простейшие оценки; интервальные оценки, доверительный интервал, проверка статистических гипотез о параметрах распределения, критерии согласия, последовательный анализ, особенности статистического вывода, статистики и измерения стационарного случайного процесса, оценка корреляционной функции, оценка спектральной плотности; средства и этапы описания объектов управления, характеристика моделей объектов управления, динамические модели объектов управления, статические модели; дисперсионный анализ, метод регрессионного анализа, рекуррентные алгоритмы идентификации линейных моделей, оценивание параметров нелинейных моделей, идентификация параметров динамических моделей, сглаживание временных рядов; общие требования к плану эксперимента, полный факторный эксперимент, дробный факторный эксперимент, планы для квадратичных моделей, постановки задачи и основные теоремы математического программирования, классическую задачу математического программирования, метод множителей Лагранжа, линейное программирование (ЛП), двойственные задачи ЛП, методы решения задач линейного программирования, транспортные задачи, задачи целочисленного программирования, метод ветвей и границ, нелинейное программирование, условия Куна-Таккера, градиентные методы решения задач нелинейного программирования, квадратичная интерполяция, метод наискорейшего спуска (подъема), метод Давидона-Флетчера-Пауэлла, учет ограничений в задачах нелинейного программирования, последовательный симплексный метод, метод случайного поиска, многоэкстремальность и многокритериальность в задачах математического программирования; модели формальных нейронов, разновидности топологий нейронных сетей, классификация нейронных сетей, представление нейронных сетей с помощью направленных графов.
уметь: использовать математические методы в технических приложениях, решать задачи планирования эксперимента, статистической обработки полученных результатов, в том числе, с использованием программного обеспечения Mathcad и Matlab, разрабатывать модели объектов управления (проектирования), проводить идентификацию параметров статических и динамических моделей; осуществлять постановку задач математического программирования, решать их с использованием прикладного программного обеспечения в среде Mathcad и Matlab; реализовывать имитационные модели объектов управления на ПЭВМ, определять характеристики объектов управления по разработанным моделям, осуществлять поиск оптимальных режимов ведения производственных и технологических процессов, решать типовые задачи по основным разделам дисциплины (ОК-5, ОК-9, ПК-1).
владеть: методами разработки математических моделей объектов управления (проектирования), постановкой задачи оптимизации режимов работы оборудования, процесса, характеристик объекта проектирования; методами решения задач оптимизации.
1.3 Межпредметная связь
Для изучения дисциплины необходимы знания дисциплин «Информатика», «Математика», «Дискретная математика», «Программирование», «Основы моделирования систем».
Полученные знания востребованы в дисциплинах «Моделирование роботов и РТС», «Проектирование систем автоматизации», «Методы искусственного интеллекта», «Основы адаптивных систем», в курсовом и дипломном проектировании.
2 Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
|
Всего
зачетных единиц
(часов)
|
Семестр
|
5
|
6
|
|
|
Общая трудоемкость дисциплины
|
7 (252)
|
(108)
|
(144)
|
|
|
Аудиторные занятия:
|
3 (108)
|
(54)
|
(54)
|
|
|
лекции
|
54
|
18
|
36
|
|
|
практические занятия (ПЗ)
|
|
|
|
|
|
семинарские занятия (СЗ)
|
|
|
|
|
|
лабораторные работы (ЛР)
|
54
|
36
|
18
|
|
|
другие виды аудиторных занятий
|
|
|
|
|
|
промежуточный контроль
|
|
|
|
|
|
Самостоятельная работа:
|
3 (108)
|
(54)
|
(54)
|
|
|
изучение теоретического курса (ТО)
|
|
24
|
24
|
|
|
курсовой проект (работа):
|
|
|
|
|
|
расчетно-графические задания (РГЗ)
|
|
30
|
30
|
|
|
реферат
|
|
|
|
|
|
задачи
|
|
|
|
|
|
задания
|
|
|
|
|
|
другие виды самостоятельной работы
|
|
|
|
|
|
Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен)
|
|
зачет
|
экзамен
36
|
|
|
3 Содержание дисциплины
3.1 Разделы дисциплины и виды занятий в часах
(тематический план занятий)
№
п/п
|
Модули и разделы дисциплины
|
Лекции
зачетных единиц
(часов)
|
ПЗ или СЗ
зачетных единиц
(часов)
|
ЛР
зачетных единиц
(часов)
|
Самостоятельная работа зачетных единиц
(часов)
|
Реализуемые компетенции
|
1
1
|
Элементы теории вероятностей и случайных процессов
|
4
|
|
6
|
|
|
2
|
Элементы математической статистики
|
4
|
|
6
|
|
|
3
|
Объекты управления (проектирования)
|
2
|
|
4
|
|
|
4
|
Методы идентификации
|
6
|
|
16
|
|
|
5
|
Планирование эксперимента
|
2
|
|
4
|
|
|
6
|
Методы оптимизации
|
16
|
|
12
|
|
|
7
|
Методы поисковой оптимизации
|
10
|
|
6
|
|
|
8
|
Основы нейронных сетей
|
10
|
|
-
|
|
|
3.2 Содержание разделов и тем лекционного курса
Тема 1 Элементы теории вероятностей и случайных процессов/4 часа/
Основные понятия и определения теории вероятностей. События, вероятность, случайная величина.
Функции распределения вероятностей случайной величины. Равномерное и нормальное распределение случайной величины, вычисления в системе Mathcad, понятие о центральной предельной теореме.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия случайной величины.
Многомерные распределения вероятностей. Случайный вектор, функции распределения двумерного случайного вектора, числовые характеристики двумерного распределения, корреляция, условные функции распределения и их числовые характеристики, двумерное нормальное распределение, вычисления в системе Mathcad.
Случайные процессы и их основные статистические характеристики. Случайный процесс, реализация случайного процесса, одномерная, двумерная и n-мерная функция распределения случайного процесса, белый шум, марковский случайный процесс, математическое ожидание, дисперсия случайного процесса.
Корреляционные функции случайных процессов. Стационарные и нестационарные случайные процессы, среднее значение по множеству и по времени, эргодическая теорема, корреляционная функция, дисперсия стационарного случайного процесса, взаимная корреляционная функция, основные свойства корреляционных функций.
Спектральные плотности случайных процессов. Связь с корреляционной функцией, взаимная спектральная плотность, свойства спектральных плотностей.
Случайные процессы в динамических системах. Прохождение случайного сигнала через линейное динамическое звено, связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью входных и выходных сигналов.
Тема 2 Элементы математической статистики /4 часа/
Общие понятия и определения. Место математической статистики, понятие генеральной совокупности и выборки, статистическая (выборочная) оценка, состоятельные, несмещенные, эффективные оценки.
Простейшие оценки. Накопленная частость, эмпирическая функция плотности распределения вероятностей, выборочные среднее, дисперсия, ковариация и коэффициент корреляции, их вычисление в системе Mathcad.
Интервальные оценки. Доверительные интервал. Доверительная вероятность, уровень значимости, число степеней свободы, примеры решения.
Проверка статических гипотез о параметрах распределения. Понятие нулевой и конкурирующей гипотез, примеры проверки статистических гипотез о равенстве математического ожидания заданному значению, сравнение выборочных дисперсий, двух средних, о значимости выборочного коэффициента корреляции, расчет необходимого объема выборки.
Критерии согласия. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, пример вычисления в системе Mathcad.
Последовательный анализ. Статистический контроль качества.
Особенности статистического вывода. Противоречия статистического вывода, роль исследователя.
Статистики и измерения стационарного случайного процесса. Классификация случайных процессов, дискретный процесс, временной ряд, граничная частота квантования, выборочное среднее, дисперсия и автокорреляционная функция временного ряда, оценка односторонней спектральной плотности методом Блэкмана и Тьюки, окно Хэннинга, оценка взаимной корреляционной и спектральной функции, оценка частотной передаточной функции.
Тема 3 Объекты управления (проектирования) /6 часов/
Характеристика объектов управления (проектирования). Понятие объекта, модели, воздействия, цели, допустимого множества состояний, модели возмущений, классификация моделей, примеры моделей.
Понятие сложного объекта. Системный подход к задаче управления (проектирования) сложным объектом, управляемость, частичная управляемость, наблюдаемость.
Модели объектов управления (проектирования). Характеристика функциональных, процедурных, экономических моделей и моделей физического процесса. Языки описания моделей. Общие вопросы построения модели. Примеры описания моделей объектов управления и проектирования.
Тема 4 Методы идентификации /6 часов/
Дисперсионный анализ. Объекты дисперсионного анализа, примеры объектов дисперсионного анализа. Идея дисперсионного анализа, процедура однофакторного дисперсионного анализа, пример расчета в системе Mathcad.
Метод регрессионного анализа (МРА). Модель регрессионного анализа, регрессоры, процедура МРА в матричной форме, статистический анализ результатов МРА, обобщенный метод наименьших квадратов, планирование пассивного эксперимента. Пример реализации МРА в системе Mathcad.
Рекуррентные алгоритмы идентификации линейных моделей. Метод стохастической аппроксимации, рекуррентный метод наименьших квадратов, оптимальный одношаговый алгоритм. Процедуры методов, выбор параметров, особенности методов. Примеры реализации алгоритмов в системе Mathcad.
Оценивание параметров нелинейных моделей. Разложение нелинейной по параметрам модели в ряд Тейлора. Процедура получения МНК-оценок. Реккурентная процедура выполнения оценок.
Модели объектов и случайных сигналов. Дискретная передаточная функция, линейное разностное уравнение, задачи параметрической идентификации.
Рекуррентный метод наименьших квадратов. Примеры расчета в системе Mathcad.
Метод экспоненциального сглаживания. Идея метода, скользящее среднее, процедура сглаживания, двойное сглаживание, процедуры экспоненциального сглаживания для модели нулевого, первого и второго порядка, выбор модели, начальные условия, прогнозирование, точность прогнозирования, выбор параметра сглаживания. Пример вычисления в системе Mathcad.
Тема 5 Планирование эксперимента /2 часа/
Общие требования к плану эксперимента. Матрица плана эксперимента, ее свойства, матрица Фишера. Понятие ортогональности, ротатабельности, A,D,G – оптимальности плана эксперимента.
Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Процедура планирования и обработки результатов ПФЭ. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Процедуры планирования.
Планы для квадратичных моделей. Планы ОЦКП, РЦКП, D – оптимальные. Пример планирования и обработки результатов ПФЭ и ОЦКП в системе Mathcad.
Тема 6 Методы оптимизации /16 часов/
Постановка задачи математического программирования. Основные теоремы математического программирования, выпуклые и вогнутые функции.
Классическая задача математического программирования. Постановка задачи, необходимые и достаточные условия существования экстремума функции. Методы решения задачи, метод множителей Лагранжа, теневая цена. Пример решения задач, в том числе в системе Mathcad.
Линейное программирование (ЛП). Постановка задачи ЛП, геометрическая иллюстрация задач ЛП. Двойственные задачи ЛП. Основные теоремы ЛП. Примеры постановки прямой и двойственной задач. Методы решения задач ЛП. Графический метод решения. Обобщенная процедура симплекс-метода ЛП.
Транспортные задачи. Матрица перевозок. Сбалансированные транспортные задачи и методы их решения. Несбалансированные транспортные задачи и методы их решения. Ограничения пропускной способности магистрали. Многоиндексные транспортные задачи. Пример решения транспортной задачи.
Методы целочисленного программирования. Постановка и примеры задач линейного целочисленного программирования. Методы решения задач целочисленного программирования.
Нелинейное программирование (НЛП). Постановка задачи, условия Куна-Таккера. Пример постановки задачи НЛП, нахождение условий Куна-Таккера.
Методы решения задач НЛП, их классификация. Градиентные методы оптимизации. Поисковые градиентные методы, алгоритм метода, пример расчета в системе Mathcad.
Модификация градиентного метода. Квадратичная интерполяция. Метод наискорейшего спуска (подъема), алгоритм метода.
Учет ограничений в задачах НЛП. Типы ограничений. Градиентный метод в условиях ограничений, метод проецирования градиента, метод возможных направлений, метод штрафных функций.
Тема 7 Методы поисковой оптимизации /10 часов/
Последовательный симплексный метод (ПСМ), Понятие симплекса, геометрия поиска, алгоритм ПСМ, пример расчета в системе Mathcad. Симплексный метод с переменным шагом. Статистические характеристики симплексного поиска и методы их получения.
ПСМ для задач экстремального управления и идентификации динамических объектов.
Методы случайного поиска, алгоритм метода. Многоэкстремальные и многокритериальные задачи. Природа многоэкстремальности, методы решения многоэкстремальных задач. Многокритериальные задачи и методы их решения.
Тема 8 Основы нейронных сетей /10 часов/
Модели нейронов, типы функций активации, стохастическая модель нейрона, представление нейронных сетей с помощью направленных графов, обратная связь.
3.3 Практические занятия
Учебным планом не предусмотрены.
3.4 Лабораторные занятия
№
п/п
|
№ раздела
дисциплины
|
Наименование лабораторных работ,
объем в часах
|
1
|
1
|
Функции распределения и числовые характеристики случайных величин
|
2
|
1
|
Моделирование случайных процессов.
|
3
|
2
|
Эмпирические функции распределения и оценки случайной выборки
|
4
|
2
|
Статистики и измерения стационарного случайного процесса
|
5
|
3
|
Описание объекта управления (проектирования)
|
6
|
4
|
Метод регрессионного анализа
|
7
|
4
|
Рекуррентные методы идентификации
|
8
|
5
|
Планирование эксперимента
|
9
|
6
|
Идентификация параметров динамической модели
|
10
|
6
|
Метод экспоненциального сглаживания
|
11
|
7
|
Классическая задача математического программирования
|
12
|
7
|
Линейное программирование
|
13
|
7
|
Транспортные задачи.
|
14
|
7
|
Градиентный метод оптимизации
|
15
|
8
|
Последовательный симплексный метод
|
16
|
8
|
Случайный поиск
|
Лабораторная работа 1 Функции распределения и числовые характеристики случайных величин /
3 часа/
Цель работы: программирование равномерного и нормального закона распределения, их графическое представление, вычисление основных числовых характеристик случайной величины.
Двумерное нормальное распределение, графическое представление, его числовые характеристики.
Лабораторная работа 2 Моделирование случайных процессов /3 часа/
Цель работы: моделирование случайных процессов с заданными характеристиками, их визуализация. Применение динамических звеньев для моделирования случайных процессов.
Лабораторная работа 3 Эмпирические функции распределения и оценки случайной выборки /2 часа/
Цель работы: моделирование выборки случайной величины, построение эмпирической плотности распределения и вычисление простейших оценок, доверительных интервалов, проверка гипотез о параметрах случайной величины, проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Лабораторная работа 4 Статистики и измерения стационарного случайного процесса /4 часа/
Цель работы: моделирование случайного временного ряда, вычисление его статистик для различного объема наблюдений.
Лабораторная работа 5 Описание объекта управления (проектирования) /4 часа/
Цель работы: провести описание и классификацию предложенного объекта, разработать и дать описание его модели словесное, в виде блок-схемы и математического описания.
Лабораторная работа 6 Метод регрессионного анализа /4 часа/
Цель работы: моделирование пассивного эксперимента для заданной функции объекта идентификации, обработка результатов эксперимента методом регрессионного анализа и стандартными средствами Mathcad.
Лабораторная работа 7 Рекуррентные методы идентификации /4 часа/
Цель работы: обработать результаты эксперимента лабораторной работы 7 рекуррентным МНК, методом стохастической аппроксимации и оптимальным одношаговым алгоритмом для различных параметров алгоритмов.
Лабораторная работа 8 Идентификация параметров динамической модели /4 часа/
Цель работы: моделирование одномерного динамического объекта с аддитивной помехой на выходе, обработка результатов эксперимента МНК и рекуррентным МНК, анализ полученных результатов.
Лабораторная работа 9 Метод экспоненциального сглаживания /4 часа/
Цель работы: оценка влияния параметра сглаживания на эффективность метода экспоненциального сглаживания при использовании модели нулевого, первого и второго порядка для временных рядов с произвольной детерминированной основой.
Лабораторная работа 10 Планирование эксперимента /4 часа/
Цель работы: реализовать двумерный ПФЭ для квадратичного полинома с аддитивной помехой, обработать и проанализировать результаты эксперимента. Реализовать ОЦКП и обработать результаты эксперимента МНК, проанализировать полученные результаты.
Лабораторная работа 11 Классическая задача математического программирования /2 часа/
Цель работы: сформулировать задачу оптимального планирования производства, получить аналитическое решение и на ПЭВМ.
Лабораторная работа 12 Линейное программирование /4 часа/
Цель работы: сформулировать задачу составления производственного плана участка, решить ее графически и на ПЭВМ.
Сформулировать двойственную задачу и решить ее на ПЭВМ. Проанализировать полученные результаты.
Лабораторная работа 13 Транспортные задачи /2 часа/
Цель работы: по матрице перевозок сформулировать сбалансированную транспортную задачу, решить ее графически и на ПЭВМ, проанализировать результаты. По матрице перевозок сформулировать несбалансированную транспортную задачу и решить ее на ПЭВМ, наложить штрафы на остатки и решить на ПЭВМ.
Лабораторная работа 14 Градиентный метод оптимизации /4 часа/
Цель работы: оптимизация градиентным методом модели второго порядка на ПЭВМ с графическим представлением результатов без ограничений и с функциональным ограничением. Анализ влияния параметров рабочего шага на сходимость процесса поиска.
Лабораторная работа 15 Последовательный симплексный метод /3 часа/
Цель работы: поиск экстремума модели второго порядка на ПЭВМ с графическим представлением результатов и таблицы поиска.
Лабораторная работа 16 Случайный поиск /3 часа/
Цель работы: поиск экстремума модели второго порядка методом случайного поиска на ПЭВМ с графическим представлением результатов. Решение многоэкстремальной задачи.
3.5 Самостоятельная работа
3.5.1 Самостоятельное изучение теоретического материала /48 часов/ включает работу с электронным конспектом лекций «Математические основы кибернетики» /Г.Б. Масальский. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011, - 204 с., а также с основной и дополнительной литературой, приведенной в п. 4.1.
3.5.2 Расчетно-графическое задание (РГЗ) /60 часов/ предусматривает решение 60 задач. Задачи заимствованы в основном из [4,6]. Некоторые задачи имеют 10 вариантов заданий. Необходимо решить задачу аналитически и на ПЭВМ с распечаткой результатов. Полученные результаты необходимо защитить преподавателю.
Цель РГЗ: закрепить полученные знания дисциплины, повторить некоторые разделы высшей математики и программирования.
Задачи РГЗ вынесены на экзамен дисциплины.
Организация самостоятельной работы производиться в соответствии с графиком учебного процесса и самостоятельной работы, приведенным в Приложении А.
3.6 Содержание модулей дисциплин при использовании системы зачетных единиц
Дисциплина разбита на 2 семестровых модуля: идентификация систем и оптимизация систем. Содержание модулей представлено в Приложении В.