|
Антонио Грамши
АЛГЕБРА РИТМОВ И ВОСПРИЯТИЕ ВРЕМЕНИ
“ Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi” (музыка – это тайное арифметическое упражнение души, которая вычисляет, сама того не зная). Прошло почти 300 лет с тех пор как Лейбниц, один из основоположников математического анализа и современник Баха, написал эти великие слова в письме Гольдбаху, однако они за это время не потеряли очарования и актуальности. Напротив, в результате многочисленных исследований была выявлена способность человеческого мозга неосознанно подмечать математические закономерности в окружающем нас мире. Зачастую эта способность работает и в обратном направлении, то есть выявляется в процессе творчества. Так, многие композиторы, поэты, художники и даже писатели неосознанно использовали в своих произведениях тонкие математические принципы, например, принцип золотого сечения. Все это конечно очень интересно, но мы пока не будем касаться этой сложной темы.
По-видимому, самый математический объект в музыке – это ритм, ее “скелет”. Мы займемся математическим анализом музыкальных ритмов в связи с более общей проблемой восприятия времени и предложим некоторые конструкции для генерирования и преобразования ритмов, которые, возможно, заинтересуют композиторов и математиков. Надеюсь, что и музыканты-исполнители найдут для себя в этом материале много интересного.
Дадим, в первую очередь, строгие определения тем понятиям, с которыми нам нужно будет иметь дело. Возможно, эти определения окажутся не самыми удачными и не будут совпадать с общепринятыми, но, по крайней мере, у читателя в процессе чтения не возникнет недоразумений.
Ритмическим рисунком будем называть любую, конечную или потенциально бесконечную последовательность из 0 и 1. Музыкальный смысл этого определения состоит в том, что каждый член последовательности соответствует единице (ячейке) дискретного времени, причем 0 соответствует паузе, 1 соответствует извлечению звука (сигналу). Это так называемое позиционное представление ритмического рисунка. При этом запись ритмического рисунка всегда будет начинаться с единицы и будет заключена в квадратные скобки, например: [1000101010001111]. Первому сигналу в рисунке придается особое значение, поскольку он определяет начало рисунка. Будем считать его акцентированным. В позиционном представлении сигнал рассматривается как “точечное” событие, а паузы длятся от одного сигнала к другому. Попутно отметим, что разновидности такой записи ритмических рисунков часто используются в школах этнической перкуссии.
Другой подход, тесно связанный с предыдущим, заключается в том, чтобы ритмический рисунок представлять как начинающуюся с единицы строго возрастающую последовательность натуральных чисел. Музыкальный смысл такого представления состоит в том, что каждому числу в последовательности соответствует тот момент на дискретной шкале времени, в который производится сигнал. Такое представление ритма будем называть координатным (каждому моменту соответствует координата на временной оси). Представим вышеприведенный ритмический рисунок [1000101010001111] в координатном виде, получим [1,5,7,9,13,14,15,16].
И, наконец, третий подход состоит в представлении ритмического рисунка в виде последовательности натуральных чисел, причем каждое число соответствует длине отрезка дискретного времени от одного сигнала (включая момент, когда он производится) до следующего (не включая этот момент). Такое представление будем называть геометрическим. Например, вышеприведенный ритмический рисунок [1000101010001111] в геометрическом виде будет выглядеть следующим образом: [4,2,2,4,1,1,1,1]. В геометрическом представлении, в отличие от позиционного, паузу удобно считать “точечным” событием, а сигнал - длящимся от одной паузы к другой. Отметим, что классическая нотная запись является по своей сути геометрической. Возникает закономерный вопрос, почему такая запись названа геометрической, а не, скажем, арифметической. Все дело в том, что мы абстрагируемся от абсолютного времени – нас интересуют только соотношения длин временных отрезков. Кстати, поэтому мы можем умножить каждое число этой записи на любое фиксированное натуральное число, и при этом ритмический рисунок останется прежним. Например, вместо [4,2,2,4,1,1,1,1] мы могли бы написать [8,4,4,8,2,2,2,2] или [16,8,8,16,4,4,4,4] и т. д. Так как мы не привязаны к конкретному темпу, и нас интересуют лишь соотношения временных интервалов между сигналами, ритмический рисунок в геометрическом представлении лучше записывать в виде последовательности чисел, не имеющих общего делителя, хотя это и не принципиально.
В дальнейшем, как увидит читатель, разные виды записи будут отображать также и разные подходы к представлению о восприятии времени. Для практических целей мы будем использовать только позиционную и геометрическую запись. Читатель без труда различит их: в позиционной записи нет запятых, а в геометрической они есть. Координатная запись, неудобная в практических приложениях, понадобится нам только в одном теоретическом рассуждении о восприятии времени.
Бесконечное повторение одного и того же ритмического рисунка порождает собственно ритм. Ритмический рисунок, порождающий ритм, будем называть ритмическим периодом. Запись ритма будем заключать в круглые скобки. Например, ритмический период [2,1,1] порождает ритм [2,1,1],[2,1,1],[2,1,1]… , или (2,1,1). В разрабатываемой нами теории понятия ритма и бесконечного ритмического рисунка не равнозначны. Например, в ритме (2,1,1) каждый (1+3n)-й сигнал (где n=0,1,2,3..) - акцентированный, а в бесконечном ритмическом рисунке [2,1,1,2,1,1,2,1,1,…] акцентированным является только первый сигнал.
Музыканты обычно используют понятие “ритм” как для обозначения собственно ритма, так и для ритмического периода. Так как ритмический период однозначно задает ритм, то и мы в дальнейшем, кроме особых случаев, будем поступать точно так же. Первому сигналу в ритмическом периоде мы будем придавать особое значение – это всегда будет так называемый акцентированный сигнал. Если бы мы не выделяли акцентированных сигналов, то запись ритма, например, (1,2,3), допускала бы циклическую перестановку чисел. В этом случае (1,2,3), (2,3,1) и (3,1,2) являлись бы записью одного и того же ритма. В нашем же случае это разные ритмы. Разными ритмами будут, например, (211) и (211211). Будем различать также разные варианты вырожденного ритма: (1), (11), (111),… Ритм (1) будем называть простым вырожденным. Акцентированность сигналов будет использоваться нами только при исполнении ритма (путем выделения сигнала тем или иным способом – тембром, громкостью и т. д), но не будет учитываться в математических операциях, производимых над ритмами. Мы не будем также специально рассматривать внутренние акценты, то есть акцентированные сигналы внутри ритма, поскольку при этом начало ритмического периода стало бы неопределенным, а нам нужна определенность для математических операций с ритмами, о которых речь пойдет дальше.
Скорее всего, ритмы воспринимаются нами геометрически: при этом мы, сравниваем между собой временные отрезки между сигналами, а не фиксируем их пассивно на “встроенной в мозг” временной оси. Координатное представление может послужить основой для феноменологической модели первичного восприятия времени. В этом случае координаты соответствуют абстрактной величине, которую я назвал яркостью сигнала. В каждый момент времени мы воспринимаем все предыдущие сигналы в виде единого множества. Поскольку все они имеют разную яркость, мы способны упорядочить их на воображаемой временной оси. Первичное ощущение времени возникает в результате суперпозиции и соответствующей “голографической” обработки, по крайней мере, двух сигналов различной яркости. Подобный механизм лежит в основе стереоскопического зрения: здесь тоже происходит суперпозиция с последующей “голографической” обработкой двух различных зрительных образов, получаемых от правого и левого глаза. Еще раз подчеркну, что описанная мною модель является именно феноменологической: мы не знаем, что происходит на самом деле, но абстрактная модель может помочь нам приблизиться к такому пониманию.
Каждый ритмический период, если он имеет достаточную протяженность, может, в свою очередь, состоять из отдельных фрагментов, каждый из которых воспринимается как единое целое. Назовем такие фрагменты ритмическими модулями (обычно музыканты выделяют начало каждого модуля небольшим акцентом). Это понятие субъективное, поскольку, в зависимости от музыкального опыта, протяженность модуля может оказываться разной для разных категорий слушателей. Для наших целей мы ограничимся изучением модулей, имеющих одинаковую протяженность. Условимся записывать модули в виде столбика и читать их сверху вниз. Например, разделяя ритм (1000101010001111) на 8 модулей, состоящих из двух сигналов, получим следующую запись, которую можно интерпретировать как матрицу (2-число строк в матрице):
1
|
O
|
1
|
1
|
1
|
O
|
1
|
1
|
O
|
O
|
O
|
O
|
O
|
O
|
1
|
1
|
Если мы увеличим количество сигналов в модуле до четырех, то получим следующую матрицу :
-
1
|
1
|
1
|
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
Увеличив количество сигналов в модуле до восьми, получаем следующую матрицу :
-
1
|
1
|
O
|
O
|
O
|
O
|
O
|
O
|
1
|
1
|
O
|
1
|
1
|
1
|
O
|
1
|
И, наконец, увеличив модуль до 16-ти сигналов, получим предельный случай – матрицу :
-
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Очевидно, если мы транспонируем эту матрицу, то получим исходную запись ритма, записанную в виде матрицы 1x16, :
-
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
1
|
O
|
O
|
O
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Теперь сделаем следующее преобразование для строк всех получившихся матриц: оставляя первый знак в строке, и, двигаясь слева направо, будем выписывать только новые знаки, пропуская повторяющиеся. Например, матрица превратится в следующую:
-
Поскольку в каждой строке происходит правильное чередование цифр, мы можем, оставляя первую цифру в строке, заменить остальные на нейтральный знак, например на крестик, “x”. Матрица примет следующий вид:
-
Теперь преобразуем первый столбец, рассматривая его в направлении сверху вниз, точно так же, как мы только что преобразовывали строки. Получим следующую матрицу:
-
Поскольку и так понятно, что в ячейке матрицы в левом верхнем углу будет находиться 1 (любой ритм начинается с сигнала), мы можем и в ней поместить крестик. В результате получим следующую матрицу:
-
Назовем такую матрицу характеристической матрицей первого порядка для данного разбиения на модули и будем обозначать ее как .
Очевидно, что по ней несложно восстановить исходную матрицу, проделывая вышеописанные преобразования в обратном порядке.
Проделаем подобное преобразование над всеми остальными матрицами. Выпишем в порядке возрастания числа строк все получившиеся матрицы, включая только что разобранный случай матрицы 4x4.
Матрица :
-
Матрица :
Матрица :
-
Матрица :
-
Матрица :
-
Теперь подсчитаем для каждой характеристической матрицы число знаков в ней, которое будем называть ее мерой сложности и обозначать как L. Для матрицы L=9, для матрицы L=7, для матрицы L=7, для матрицы L=8 и, наконец, для матрицы L=9. Итак, мера сложности минимальна для матрицы и . При этом в матрице сумма числа строк и столбцов, которая равна 4+4=8, меньше аналогичной суммы для матрицы , где она равна 2+8=10. Иными словами, матрица еще более компактна, чем матрица . Интересно, что и соответствующее матрице разбиение на модули оказывается самым естественным, причем неясно, что в данном случае важнее для удобства восприятия ритма – квадратная форма матрицы (при этом получается небольшое число сравнительно коротких модулей) или ее минимальная мера сложности. Назовем такого рода матрицы оптимальными. Разумеется, основываясь только на этом единичном примере, нельзя утверждать, что человеческий мозг стремится воспринимать ритмы в наиболее компактном виде, пытаясь задействовать как можно меньше “информационных ячеек” (подобно архивированию файлов в компьютерах). Здесь необходимо провести анализ восприятия большого числа разнообразных, сравнительно коротких ритмов у разных категорий слушателей.
Оказывается, характеристическую матрицу с помощью ряда преобразований можно еще больше упростить. Рассмотрим снова матрицу :
|