Анализ стохастических движений осциллятора

Столичная финансово-гуманитарная академия

1. 
   Уравнение движений осциллятора в соответствии с основами теоретической физики может быть представлено в виде неоднородного линейного уравнения:
   

где: 2 η X′(t) – сила, связанная с диссипативными процессами,

колебательными системами.

Известно [7, 10, 21], что незатухающие (стационарные) колебания в такой линейной системе могут быть только в случае, если:

во-первых, система консервативна, т.е. [f(t) - 2 η X′(t)] ≡ 0;

во-вторых, эти колебания являются “вынужденными”.

Под понятием «консервативной колебательной системы» [7, 10, 21] понимается идеализированная система, в которой имеет место преобразование энергии из одного вида в другой с сохранением полной энергии колебаний W, например:

Уравнение одномерных движений консервативной колебательной системы имеет вид:

Решением уравнения (1.3) является соотношение:

где ω₀ , а₀ и φ₀ – частота, амплитуда и фаза колебаний, значения которых определяются из начальных условий.

Автоковариационная R(u) и автокорреляционная K₁(u) функции гармонических колебаний осциллятора (как консервативной колебательной системы) могут быть представлены выражениями:



(1.5)

где F₀(u) ≡ 1 - вероятность отсутствия диссипативных взаимодействий осциллятора с внешними системами на отрезке времени [ 0, u ];

F₁ (u) = [1 - F₀ (u)] (= 0) - вероятность наличия диссипативных взаимодействий;

W₀ = (a₀ ² /2) – энергия колебаний; E [...] - оператор математического ожидания.

Заметим, что факт наличия (или отсутствия) диссипативных взаимодействий в соответствии с постулатами математической статистики может рассматриваться как

статистическое событие. При этом “неизменность” состояний осциллятора, или стационарность его движений, описывается автокорреляционной функцией движений, которая в отличие от других параметров колебаний таких, например, как амплитуда колебаний, существенно зависит от изменений всех параметров этих движений, и является индикатором отсутствия (или наличия) взаимодействий осциллятора с внешними системами.

2. 
   В случае движений диссипативных колебательных систем ( f(t) ≡ 0 ) имеет место отток энергии колебаний, обычно интерпретируемый как “диссипативные потери”, и, как следствие, убывающая со временем от единицы до нуля вероятность отсутствия изменений состояний: 0 F₀(t) 1, F₀(0) = 1, F₀(∞) = 0. Отток энергии приводит к нестационарности движений системы. При этом автокорреляционная функция K(u) движений осциллятора может быть представлена как автокорреляционная функция колебаний консервативной колебательной системы K₁(u), умноженной на вероятность отсутствия взаимодействия осциллятора с внешней средой, (или на вероятность консервативных колебаний осциллятора), причем автокорреляционная функция K(u) становится мерой консервативности этих колебаний:
   

где : F₀(u)  [ 0, 1] - вероятность отсутствия взаимодействия осциллятора

с внешней средой на отрезке времени [0,u], причем F₀(0) =1;

K₁(u) = cos(ω u) – автокорреляционная функция гармонических

колебаний осциллятора, как “ консервативной колебательной системы “.

При рассмотрении движений диссипативной колебательной системы обычно констатируют наличие в системе таких диссипативных процессов, как: выделение тепла, электризация, разрушение поверхности тел, пластическая деформация, плавление микро-зон точечных контактов (мостиков) соприкасающихся тел и т. д., в соответствии с которыми обычно предполагают, например, что «сила трения пропорциональна скорости движений тел » [7,8,9,10]. Такой подход является достаточно дискуссионным, поскольку перечисленный перечень сопутствующих процессов достаточно разнообразен, чтобы иметь общую модель описания. Однако, он приводит к обобщенному однородному линейному уравнению движений осциллятора, вида:

Уравнение (2.2) представляет собой, обычно, механическую модель движений системы, которая реализуется на основе понятия силы, являющейся мерой взаимодействия тел в механике.

Решением однородного уравнения (2.2) является функция:

(2.3)

где ω ² = ω₀ ² - η ² – частота колебаний; константы a₀ и φ₀ находятся из


начальных условий; X₀ (t)= а₀ cos(ωt + φ₀ ) – консервативные колебания системы; F₀(t) = exp[- η t] – вероятность консервативного состояния системы на отрезке времени [0,t] при наличии диссипативных взаимодействий.

Таким образом, решение уравнения (2.3) может интерпретироваться как произведение колебаний консервативной колебательной системы на вероятность сохранения консервативного состояния колебательной системой.

3. 
   Для нахождения явного вида функции F₀(u) введем ограничения на данную статистическую систему, потребовав выполнение условия независимости событий, т.е. F₀(u+h) = F₀(u) F₀(h). Единственной функцией, удовлетворяющей этому условию, является показательная функция (экспонента):
   

где μ = const – интенсивность потока статистических событий.

В этом случае вероятность отсутствия диссипативных взаимодействий осциллятора с внешней средой описывается экспоненциальным распределением, и автокорреляционная функция K(u) колебаний осциллятора при наличии диссипативных взаимодействий определяется соотношением:

K(u) = F₀(u) cos(ωu) = exp ( - μu ) cos(ωu). (3.2)

Вывод показательного распределения может быть реализован в соответствии с относительно простой моделью, известной как распределение Пуассона [6,11,13].

Согласно этой математической модели, скорость изменения вероятности отсутствия взаимодействий F₀′(t) пропорциональна значению этой функции:

F₀′(t) = - μ F₀(t), (3.3)

где μ = const, t  [ 0, ∞ ). Решением уравнения (3.3) является функция:

При построении математической модели пуассоновских процессов обычно используются постулаты пуассоновского распределения [6,13], в соответствии с которыми имеет место система дифференциальных уравнений, позволяющая определить вероятность к – событий (k > 0) на временном интервале (0, u):

Решение системы уравнений (3.5) может быть представлено в виде

где k = 0,1.2.3…., т.е. имеет место пуассоновский процесс.

Полученное распределение (3.6) можно представить в виде Гамма —

распределения с плотностью распределения g_k (x), где x = μu [14]:


(3.7)

Здесь: - «Гамма - функция Эйлера».

Следует заметить, что основным недостатком практического применения распределения Пуассона является дискретное определение понятия “события”,

который может быть исправлен, если воспользоваться Гамма – распределением, для которого величина k -действительная величина ( k > -1).

Функция Гамма - распределения G_k(x) может быть найдена интегрированием плотности распределения g_k(x) [14]:

где z = μ u = u/β.

Полученные решения (3.6) позволяют выполнить условия нормировки:

(3.9)

Выражение (3.9) показывает, что вероятность всех возможных исходов событий за любой отрезок времени (μ t) равно единице.

Проинтегрировав соотношение (3.6) получим также:

(3.10)

Нормировка (3.10) показывает, что с вероятностью единица на

отрезке z[0,∞) произойдет k - событий, т. е. P{X( ∞) - X(0) = k} = 1.

Выражения (3.8) и (3.10) для функций g_k (x) и G_k (x) приближенно

соответствуют использованной модели пуассоновского распределения, т.к. в соответствии с уравнениями ( 3.7 ) получим:

При этом:

Здесь g_α (z(x)) - плотность «Гамма - распределения» [14] случайной величины

x  [ 0, ∞ ]; С = 1/ β > 0; z = x/β; α >(-1) – действительная величина.

Заметим, что при α = 0 Гамма - распределение преобразуется в показательное

распределение с плотностью:

f (x) = η exp [- η x],

где η = 1/ β.

Если воспользоваться неоднородным распределением Пуассона, то

возможно описание перехода от показательного распределения (распределения Пуассона при k=0) к “нелинейному” закону распределения.

В этом случае образуется последовательность событий (запросов), следующих одно за другим в случайные моменты времени, т.е. реализуется случайный процесс X(t) (поток событий) с независимыми единичными приращениями X(t₂) - X(t₁), t₂ > t₁ причем для любых t₂ > t₁ [11]:

(3.12)

где μ – интенсивность пуассоновского процесса X(t). Траектории пуассоновского процесса представляют собой ступенчатые функции с единичными скачками, моменты которых 0 > t₀ > t₁ > t₂ >… образуют простейший поток событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени [11,12,13] .

Положив μ(u) = (μ₀ u), получим:

(3.13)

т.е. P_k(t) = P {X(t) – X(0) = k} = [(μ₀ t²/2)^k / k!] exp [- μ₀ t²/2] . (3.14)

Если положить k = 0, получим вероятность консервативности колебательной системы в виде:

P₀ (t) = C₀ exp [- μ₀ t²/2] .

Из начальных условий: P₀ (0) = 1; P_k (0) = 0, получим: C₀ =1.

В общем случае может быть построен стохастический процесс вида:

(3. 15)

Статистическая интерпретация такого процесса будет оставаться аналогичной интерпретации пуассоновского процесса и соответствовать Гамма - распределению.

Здесь f(t) – внешнее усилие, действующее на колебательную систему.

Общим решением уравнения (4.1) является сумма общего решения однородного уравнения и решения неоднородного уравнения [10,16]:

т.е. при условии C₁ exp(-ηt₀) ≈ 0, C₂ exp(-ηt₀) ≈ 0 стационарное решение

уравнения (4.1) можно представить в виде [10,16]:

(4.2)

где ω² = ω₀ ² - η² .

Положив t₀ = 0 и обозначив интервал ( t₀, t ) как (0, t) получим стационарное решение:

X(t) = y₁ (t) cos(ωt) - y₂(t) sin(ωt), (4.3)

где

Обозначив: y₁(t) = B cos (φ(t)), y₂(t) = B sin (φ(t)), получим окончательно [1,2,5]:

Таким образом, решение уравнения [4.1] для стационарных стохастических колебаний осциллятора может быть представлено в виде (4.4), что позволяет выполнить исследования структуры этих движений.

5. Пусть в момент времени t значение фазы равно φ(t). Тогда в момент времени (t+u) приращение значения фазы θ(t, u) будет, где θ(t, u) = φ( t+u) - φ(t).

Положим: φ( t + Δt) = φ(t) + ξ ₁ Δt, тогда

где n Δ t = u; ξ _i - приращение фазы в момент времени ( t + i Δt );

т.е. величина изменения фазы θ(t, u) = φ( t + u) - φ(t) будет также распределена по

нормальному закону. Величина θ(t, u) является частью функции φ( t + u) и при произвольных значениях переменной t (например, при t=0 и u=t) получим, что и функция φ(t) также распределена по нормальному закону распределения, т.е.

естественно принять, что φ(t) представляет собой процесс броуновского движения

( винеровский процесс), для которого:

E[φ(t)] = 0; m₂ = D[φ(t)] = E[φ²(t)] = σ²(t) = σ₀² t ; D[φ(t+u) - φ(t)] = σ²│u│; (5.3)

6. 
   Автокорреляционную функцию стационарных стохастических колебаний осциллятора представим в комплексной форме:
   

где i² = -1; z(t+u) = exp[i(ω(t+u)+φ(t+u))]; z*(t) = exp[-i(ωt+φ(t))];

θ(t,u) = φ(t+u)– φ(t); E[..] - оператор «математического ожидания» [16].

Поскольку функция φ(t) является случайной функцией времени и представляет собой винеровский процесс (т. е. функция φ(t) распределена по нормальному закону и соответствует процессу броуновского движения (5.3)), получим:

где σ₀²u – дисперсия винеровского процесса θ(t,u) = φ(t+u) – φ(t), μ = σ₀² /2 .

Соотношение (6.3) может быть также получено в соответствии с разложением гармонических функций в степенной ряд [2]:

Cos [θ(u)] = 1 - θ²/(2!) + θ⁴/(4!) - θ⁶/(6!) +… , [θ²

Sin [θ(u)] = θ – θ³/(3!) + θ⁵/(5!) - … , [θ² (6.4)

т.е.:

Здесь m_2n = E[θ²ⁿ(t)] = m₂ⁿ (2n-1)!!; m_2n-1 ≡ 0 ( n = 1,2.3…), m₂ = D[θ(u)]=σ²│u│.

т.к. величина θ(u) распределена по нормальному закону распределения.

Мы воспользовались также:

- определением математического ожидания произведения двух независимых

величин: E[y₁ y₂] ≈ E[y₁] E[y₂], которое выполняется точно, если COV [y₁ y₂]= 0;

- определением «математического ожидания», в соответствии с которым

(6.7)

где С, k, ω, ψ _u = const .

Таким образом, автокорреляционная функция стационарных стохастических

движений осциллятора K(u) имеет вид[ 1,2,6]:

K(u) = R(u)/R(0) = F(u) cos(ωu) = exp(-μu) cos ( ωu ) , (6.8)

где: μ = σ₀² /2, причем σ₀² u , σ₀²t – дисперсии процессов θ(u) и φ(t) ;

Если задан временной интервал ( например, в случае осциллятора этим интервалом может быть период колебаний T₀ = 2π/ ω), то имеют место соотношения для средних значений числа событий:

u_ср = 1/μ - среднее время между двумя событиями,

m_ср = T₀/ u_ср = 2π (μ/ω) = (μT₀ ) – среднее число событий, приходящихся на интервал сдвига равный периоду колебаний осциллятора (T₀ = 2π /ω).

При этом среднее число событий (m) на произвольном временном интервале (δu) равно (μ δu), а вероятность происхождения k событий на интервале (0, u) описывается распределением Пуассона: P(k) = (m^k /k!) exp(- m).

Здесь m = μ τ – среднее число событий на временном отрезке τ , (m)^1/2 – среднее квадратичное отклонение. Оценкой параметра μ является величина (m/u) со средним квадратичным отклонением (m/u )^1/2 .

При малых величинах значений вероятности P (P ≤ 0,1) распределение Пуассона можно использовать в качестве приближения биномиального распределения, для которого m = n p, где n – число событий (испытаний), p – вероятность положительного исхода.

Рассмотрим некоторые примеры практического приложения. В работе [20] было показано, что степень монохроматичности автоколебаний предплечья при напряжении мышц зависит от величины напряжения мышц. Найдем вероятности стохастических дискретных взаимодействий колебательной системы с внешними системами в соответствии с результатами данного раздела. Результаты вычислений представлены в Таблице 1.

В этом случае образуется последовательность однородных событий (запросов), следующих одно за другим в случайные моменты времени, т.е. реализуется случайный процесс X(t) (поток событий) с независимыми единичными приращениями. Траектории пуассоновского процесса представляют собой ступенчатые функции с единичными скачками, моменты времени которых 0 > t₀ > t₁ > t₂ > …образуют простейший поток событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

решение линейного дифференциального уравнения, описывающего стационарные стохастические движения осциллятора, может быть представлено в виде интеграла Дюамеля[4,5], в соответствии с которым стационарные стохастические колебания осциллятора описываются соотношением:

где a , ω - constants, t - время , φ (t) - стохастическая функция времени.

Стационарный стохастический процесс, представляющий собой сумму движений нескольких осцилляторов [5], таких, например, как суммарные движения колебательных (волновых [18]) систем, может быть представлен в виде:

(7.2)

где a_j , ω_j - постоянные величины; φ_j (t) – стохастические функции времени t; y_j(t) – « j - я » колебательная система; y(t) – результирующие движения (например, поля ветровых волн [6]).

При этом спектральный анализ процесса y(t) может быть выполнен в соответствии со следующими подходами к определению спектра

стохастического процесса:

где 0 u

во- вторых, - с использованием Фурье - преобразования результирующей автоковариационной функции R(τ) вне зоны существенной корреляции (u > u₀ ) представляющей собой сумму периодических функций (Q-спектр) и полученной с использованием постоянной величины времени осреднения T₀ :

(7.4)

где u₀ T - T₀ ; T₀ ; B_j, ω_j, β_j - постоянные величины;

T₀ = const - время осреднения, одинаковое для всех точек автоковариационной функции; m₀ = E [y(t)] = 0 – математическое ожидание функции y(t).

Обычно для расчета спектра стохастических колебаний используется интегральное Фурье – преобразование. В этом случае взаимосвязь нормированной спектральной плотности S(f) и автокорреляционной функции K(u) определяется выражениями [15,16]:

(7.5)

(7.6)

Функции (7.5) и (7.6) с учетом (6.8) преобразуются к виду:

R(u) = R₀ K(u) = R₀ exp [-μ│u│] Cos [2π f u]= R₀ F(u) Cos [2π f u] , (7.7)

S*(f) =R₀ S(f) =R₀ { μ / [ μ² + [ 2π (f + f₀ )]²] + μ / [ μ² + [ 2π (f - f₀ )]²]} (7.8)

S*(f) – спектр мощности; F(u) – вероятность консервативности колебаний.

Когда имеет место сумма колебаний некоторого числа независимых осцилляторов, результирующая спектральная плотность имеет вид:

(7.9)

где спектр мощности «j - й » системы колебаний (волновой системы) S*_j (f) спектра суммарного стохастического процесса S*(f), определяется соотношением:

Из соотношения (7.8) следует, что значение максимума нормированного спектра S(f) равно:

Заметим, что величина (1 / μ) интерпретируется также как «радиус корреляции» [8]. Определение значений частот f₂* и f₁*, для которых имеет место удвоенное уменьшение спектра, т.е. S(f₁*) = S(f₂*) = S_max /2 ≈ 1/(2 μ),

также может быть выполнено при помощи соотношения (7.8):

μ² = [ 2π (f₂*- f₀ )]²= [2π (Δf )₂₀]² = [2π (f₀ - f₁* )]²= [2π (Δf )₀₁]² = (Δ ω)²₀₁ ,

где (Δ ω )₀₁ = 2π (Δf)₀₁ = μ; Δυ = ( f₂*- f₁*) = 2(f₂* - f₀ ) = 2(f₀ - f₁*) = 2μ /(2π).

Таким образом, интервал частот Δυ, для границ которого имеет место

удвоенное уменьшение максимального значения спектральной плотности, определяется соотношением: Δυ = μ/ π . При этом степень монохроматичности

колебательного процесса γ может быть определена как:

γ = Δυ / f₀ = 2(Δf/f₀) ≈ μ / (πf₀) = 2μ / ω₀ = 2/(ω₀ S_max), (7.12)

где f₀ - частота максимума спектра стохастических колебаний осциллятора;

Таким образом, по значению коэффициента экспоненциального затухания автокорреляционной функции μ могут быть найдены основные характеристики спектрального представления колебательного процесса осциллятора: значение максимума спектра S_max и степень монохроматичности стохастического процесса γ.

В таблице 2 представлены в качестве примера значения степени монохроматичности γ, полученные в соответствии с автокорреляционными

функциями автоколебаний биомеханических звеньев, опубликованными в [20].

	М, (Нм)	μ,(1/sec)	Tμ = μ / f0	γ = 2Δf/f0
1	45,5	1,2724	0,13996	0, 044
2	22,8	3,6583	0,439	0,14
3	9,5	7,2047	1,0807	0,346
ЭМГ		122,7289	1,96366	0,625
Ветровые волны		0,08515	1,166	0,33 - 0,44

1. 
   атома с доплеровским уширением - γ ~ 10 ^-5,
   
2. 
   электроактивности поверхности бицепса, сопутствующей автоколебаниям предплечья γ = 0,625,
   
3. 
   ветрового волнения. γ = 0,38.
   

можно также рассматривать как эффективное время существования осциллятора в состоянии консервативного колебательного процесса.

Рис. 3.1 Спектры стохастических колебаний двух осцилляторов.

2. R₀₂=1; μ₂ = 2; f₀₂ = 2.0 (Hz) ; df = 0,1 (Hz). 3. R(u) = R₁(u) + R₂(u).

Необходимо также отметить, что величина степени монохроматичности представляет собой удобный параметр, позволяющий проклассифицировать все стохастические колебательные процессы, моделью которых является линейный

осциллятор.

На рис. 3.1 представлены в качестве примера спектры колебаний двух осцилляторов (ряды 1 и 2; γ₁ = 0,212; γ₂ = 0,318), полученные в соответствии с соотношением (7.10). Суммарный спектр колебаний описывается рядом {3}.

Как видно на рис. 3.1 имеет место сходство суммарного спектра колебаний со спектрами ветровых волн, что соответствует выводам работы [18]. На рис. 3.1

видно также, что высокочастотная часть спектра (относительно максимума) имеет более пологий спад, чем низкочастотная часть спектра, что подтверждает наличие нескольких волновых систем стохастического процесса, описанных в работе [18].

На рис. 3.2 представлена автокорреляционная функция суммарного процесса,

спектр которого представлен на рис. 3.1.

Заметим, что достаточно трудно по рис. 3.2 на качественном уровне определить наличие двух составляющих в суммарном спектре колебаний.

Аналогичная ситуация имеет место и при спектральном описании автоколебаний биомеханических звеньев [19,20]. Спектры колебаний отдельных осцилляторов (1) и (2) соответствуют спектрам колебаний биомеханических звеньев [19,20] при высоких уровнях статической нагрузки (для предплечья М>20 Нм), что соответствует, например, автоколебаниям предплечья при M=45 Нм

(F ≈ 12 кГ). Спектр автоколебаний биомеханических звеньев при малых величинах статической нагрузки (M

Однако, основной проблемой такого спектрального анализа является относительно низкая разрешающая способность интегрального Фурье – преобразования. В ряде случаев эта проблема может быть снята использованием

Фурье преобразования результирующей автоковариационной функции R(τ) вне зоны существенной корреляции (τ > τ₀ ) представляющей собой сумму периодических

функций и полученной с использованием постоянной величины осреднения T₀

(соотношение (7.4)). Однако, в последнем случае (Q- спектр) имеет место

разложения результирующих колебаний на стохастические составляющие в виде соотношения (7.2), что существенно отличается от разложений на гармонические составляющие при Фурье преобразованиях (F-спектр).




Рис.3.3 Нормированные спектры ЭЭГ нейронов коры головного мозга

кролика.

(1) F-спектр, полученный при помощи интегрального Фурье – преобразования автокорреляционной функции.

преобразованием;

(2, 3) F-спектры, полученные также как и (1), но с предварительной

фильтрацией массива;

(4) Q-спектр, полученный при помощи Фурье- преобразования периодических

функций.
Если в первом случае (F-спектр) удается получить приближенное представление об анализируемом колебательном процессе, то во втором случае (в соответствии с (7.4)) может быть обеспечено тонкое амплитудно-частотное разрешение случайного процесса.

Далее приводится пример иллюстрирующие данные подходы к проблеме анализа временных рядов.

На рис.3.3 представлены спектры ЭЭГ нейронов коры головного мозга кролика (по данным работы [17], стр. 279) рассчитанные как с помощью интегрального Фурье–преобразования, т.е. классического корреляционно -спектрального преобразования (F-спектры; кривые (1.2,3)), так и с использованием Фурье–преобразования периодических процессов (Q-спектр; кривая (4)). Из рисунка 3.3 видно, что Q-спектр позволяет получить существенно лучшую разрешающую способность ( ~ 10^-3 ÷ 10^-4).
8. Выполненные в данной работе аналитические исследования позволяют

упростить реализацию анализа стохастических стационарных процессов,

соответствующих отклику линейного осциллятора на внешнее стохастическое воздействие. Приведенные примеры анализа представляют собой малую часть возможных приложений, и авторы надеются, что дальнейшие публикации в этой области подтвердят эти ожидания.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Кузнецов В.В. Литературный обзор - www.fortuneline.ru/vvk/index.html.

2. Кузнецов В.В., Кузнецова О.В. - Моделирование активности нейронной системы в процессе интеллектуальной деятельности. - Препринт. М., физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995, с. 1-62 .

3. Кузнецов В.В. и Кузнецова О.В. "Биологические закономерности процесса обучения" – ж. "Вести", Минск, Белор. гос. пед. унив., №4, 1995,с. 18-26.

4. 
   Кузнецов В.В., Кузнецова О.В. Спектральный анализ волновых процессов. – «Проблемы физической экологии (физическая экология)», МГУ им. М.Ломоносова, М., т.2, 1997, с. 53.
   
5. 
   Кузнецов В.В., Кузнецова О.В. Анализ стохастических процессов. – «Физическая экология (физические проблемы экологии)», МГУ им. М.Ломоносова, М., № 4, 1999, с. 167 – 173..
   
6. 
   Кузнецов В.В. и Валиулина Н.В. Операционные характеристики системы «преподаватель - студент». - Сб.трудов XVIII международной конф.- выставки ИТО-2009, ч.II, М.2009, с.72-74.
   

9. Ахматов А.С. «Молекулярная физика граничного трения» - М.,1963.