Курсовой проект Распространение тепла в тонкой, однородной пластине. Метод Фурье. Краевая задача с граничными условиями смешанного типа




Скачать 139.91 Kb.
Дата 03.10.2016
Размер 139.91 Kb.
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт Фундаментального Образования

Кафедра высшей математики

Курсовой проект

Распространение тепла в тонкой, однородной пластине. Метод Фурье. Краевая задача с граничными условиями смешанного типа

Студент: Мацкевич С.М.

Факультет: ИФО

Группа: 3-2

Руководитель проекта:

Арефьев В.Н.


Москва 2010

Содержание:

  • Уравнение распространения тепла…………………………………….3

  • Краевые условия……………………………………………….…………………6

  • Прямоугольная пластина…………………………………………………….8

  • Распространение тепла в пластине …………………………………….9

    • При краевых условиях первого рода……………………….9

    • При краевых условиях смешанного типа ……………….11

  • Курсовая задача…………………………………………………………………..16

  • Базовая часть……………………………………………………………………….19

  • Список используемой литературы………………………………………30

Уравнение распространения тепла

Для решения задач, связанных с нахождением температур необходимо иметь уравнение теплопроводности. Под таким уравнением обычно понимают математическую зависимость, выражаемую уравнением, между физическими величинами, характеризующими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Это уравнение может быть представлено в различных формах: дифференциальной или интегральной. Для нас будет более важно дифференциальное уравнение теплопроводности. Оно характеризует протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени. Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема.

Процесс распространения тепла в пространстве может быть характеризован температурой являющейся функцией. Если температура непостоянна, то возникают тепловые потоки, направленные от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой. Мы будем рассматривать случай, когда функция u зависит от.

Среда, в которой мы будем рассматривать процессы теплопередачи, должна характеризоваться так называемым калорическим уравнением состояния , плотностью и коэффициентом теплопроводности . Здесь Т — температура, Е (Т) — внутренняя энергия тела, заключенная в единице массы, если эта масса нагрета до температуры Т. Можно рассматривать среду с тепловыми свойствами, меняющимися от одной точки пространства к другой. В этом случае уравнение состояния имеет более общий Количество тепла, заключенное в бесконечно малом объеме





в момент времени t равно:



Изменение этого количества тепла за время Δt будет равно:



Это изменение может произойти только за счет того, что тепло вытекает или втекает через границу выделенного нами объема, если мы предполагаем, что никакого выделения или поглощения энергии не происходит.

Количество тепла, протекающего через площадку ΔS за время Δt, равно

Здесь К — коэффициент теплопроводности в точке, через которую мы провели нашу бесконечно малую площадку, а — производная температуры по нормали к площадке. Тепло течет из области более высоких температур в область более низких. Такова формулировка закона теплопроводности Ньютона в изотропном теле. Этот закон является результатом систематизации большого количества опытных фактов.

Выпишем потоки через наши площадки



Количество тепла, втекающее через площадку равно:



а через площадку равно:



В результате общее количество тепла, вошедшее в наш объем через две эти площадки, будет:



Аналогично количество тепла, которое за время Δt просочится в наш объем через площадки


равно, соответственно:

Суммируя все притоки тепла и приравнивая их сумму изменению внутренней энергии, получаем



Сокращая обе части этого равенства на и замечая, что точка может быть выбрана произвольно, мы приходим к окончательной форме уравнения теплопроводности:



Предположения про входящие в него функции следующие:



Эти предположения представляют собой обобщение опытных фактов. Иногда уравнение теплопроводности записывают в виде



обозначив через выражение Величина С по вполне понятным причинам называется теплоемкостью (единицы объема). Если теплоемкость С и коэффициент теплопроводности К не зависят от , то есть являются постоянными, уравнение может быть переписано так:



Коэффициент принято называть коэффициентом температуропроводности. Запишем окончательно:



Вообще говоря, дифференциальные уравнения с частными производными имеют бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать то единственное решение, которое соответствует реальному физическому процессу, надо задать некоторые дополнительные условия.

В дальнейшем температуру Т тела будем обозначать другой буквой U(x,y,t)=T.

Краевые условия

Начальные условия

В уравнениях математической физики начальные условия соответствуют состоянию физического процесса в начальный момент времени. Начальные условия задаются для нестационарных уравнений, то сеть таких, которые описывают зависящие от времени процессы. Это волновые уравнения и уравнения теплопроводности. Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие и физически оно означает, что в начальный момент времени распределение температуры имеет вид . Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.



Граничные условия

Если размеры объекта не очень велики и влиянием концов нельзя пренебречь, то в таких случаях одни начальные условия уже не обеспечивают единственность решения задачи. Тогда необходимо задавать условия на концах, они называются граничными условиями. Существует несколько типов граничных условий. В частности, в случае одной переменной х они имеют следующий вид:



  1. Граничные условия первого рода

Эти условия означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то где – постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то и условия будут однородными.



  1. Граничные условия второго рода

Такие граничные условия определяют тепловой поток на концах. В частности, если то условия становятся однородными. Физически это означает, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой, то есть концы теплоизолированы.



  1. Граничные условия третьего рода

Эти граничные условия соответствуют случаю, когда через концы происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Физический закон теплообмена со средой состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды.

Для 2-х переменных (x,y) или 3-х переменных (x,y,z) граничные условия записываются аналогично.

Краевые условия

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу. Решить краевую задачу – значит найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным краевым условиям. Вообще говоря, совсем не обязательно, чтобы в краевые условия входили вместе и начальные, и граничные условия. Если краевые условия состоят только из начальных условий, то такая задача называется задачей Коши. К примеру, задача Коши для уравнения теплопроводности заключается в отыскании решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего одному начальному условию:

1) одномерное 2) на плоскости
Если в краевые условия входят только граничные условия, то такие задачи рассматриваются для стационарных уравнений. Если же в краевые входят и начальные, и граничные условия, то они называются смешанными или начально-краевыми задачами. Также существует несколько типов краевых задач, одну из которых нам предстоит рассмотреть в этой работе, в одномерном случае они имеют следующий вид:


  1. Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности

Это задача об отыскании решения уравнения теплопроводности

удовлетворяющего начальному условию



и граничным условиям первого рода





  1. Вторая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности

Это задача об отыскании решения уравнения теплопроводности

удовлетворяющего начальному условию



и граничным условиям второго рода



Обе краевые задачи можно решить для одномерного случая, для плоского, или же для пространственного. В практической части работы будет рассматриваться краевая задача в случае граничных условий смешанного типа для двумерного (плоского) случая, когда область – прямоугольник П: . Это значит, что мы будем решать уравнение теплопроводности



с начальным условием



и граничными условиями второго рода







Прямоугольная пластина

В данной работе будет рассматриваться тонкая, однородная, прямоугольная пластина. Существует два вида таких пластин: 1) ограниченная и 2) бесконечная.

В первом случае подразумевают пластину ширина и длина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной. Таким образом, неограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одном направлении (по толщине пластины). Следовательно, такая задача является одномерной. Физически рассматривается, какая температура установилась на каком-нибудь слое, глубине. При этом на каждом таком слое температура везде одинакова.

Второй случай представляет собой прямоугольную пластину конкретного размера, скажем axb. Но теперь мы пренебрегаем толщиной пластины, считая, что она слишком тонкая по сравнению со своими размерами. Здесь температура зависит уже от двух координат – x,y, поэтому теперь это двумерный случай. В этой ситуации физический смысл заключается в отыскании температуры в конкретной точке. В этом и есть существенное отличие от предыдущего типа.

В этой работе мы более полно рассмотрим второй случай – ограниченную пластину.

Мы рассмотрим несколько случаев:



  • Пластина, контур которой поддерживается при нулевой температуре

  • Пластина, два противоположных края которой поддерживаются при нулевой температуре, а два других теплоизолированы

Первая начально-краевая задача

Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластину, контур которой поддерживается при нулевой температуре, при условии, что тепловой обмен между боковой поверхностью пластины с окружающей средой отсутствует.

Задача сводится к отысканию решения уравнения

при начальном условии



и при граничных условиях





Обозначу коэффициент температуропроводности d2, так как a занята как длина стороны пластины.

Согласно методу Фурье, будем искать частные решения уравнения в виде

тогда для определения функций X(x), Y(y), T(t) получим следующие уравнения





Общее решение уравнения имеет вид







  1. При μ>0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия X(a)=0 получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:





  1. При μ

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при μ

  1. При μ=0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при μ=0.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений





Общее решение уравнения имеет вид







  1. При μ>0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия Y(b)=0 получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:





  1. При μ

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при

  1. При μ=0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при =0.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений



В силу соотношения для функций имеем задачу



Решением этого линейного однородного уравнения второго порядка будет функция:



Таким образом, частными решениями уравнения, удовлетворяющими граничным условиям будут:



Составим ряд:



Требуя выполнения начального условия, получим:



Написанный ряд представляет собой разложение функции в двойной ряд Фурье, и коэффициенты определяются по формуле:



Вносим эти коэффициенты в наш ряд и получаем окончательное решение.

Ответ:



Краевая задача с граничными условиями смешанного типа

Рассмотрим тонкую однородную прямоугольную пластинку размера axb, два противоположных края которой x=0 и x=a поддерживаются при нулевой температуре, а два других края y=0 и y=b теплоизолированы. Начальное распределение температуры задано, и задача заключается в определении температуры пластинки в любой момент времени t>0 в предположении, что тепловой обмен между боковой поверхностью пластинки с окружающей средой отсутствует.

Эта задача приводится к решению уравнения

При смешанных граничных условиях



и при начальном условии



Если искать решение задачи в виде двойного ряда



то подставив ряд в исходное уравнение, получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:



Поделив это равенство на , получим:



Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x,y), то это возможно, только если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Значит, существует такая ,что:



Но сумма функций, одно из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может быть константой только в случае, если обе эти функции – константы. Тогда существуют такие , что:



Таким образом, естественно начать решение задачи с решения двух задач Штурма-Лиувилля – для



Решаем задачи Штурма-Лиувилля:

Краевые условия дают для функций выполнение равенств:



Таким образом, функции X и Y есть решения задачи Штурма-Лиувилля





Решим задачу для X(x). Общее решение уравнения имеет вид







  1. При μ>0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия X(a)=0 получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:





  1. При μ

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при μ

  1. При μ=0 имеем из краевого условия

Поэтому из второго краевого условия то есть задача Штурма-Лиувилля не имеет нетривиальных решений при μ=0.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений



для задачи





Теперь рассмотрим задачу для Y(y). Общее решение уравнения имеет вид







  1. При ν>0 имеем из краевого условия Поэтому из второго краевого условия получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:





  1. При ν



  1. При ν=0 имеем из краевого условия . Второе краевое условие выполнено, поэтому задача Штурма-Лиувилля имеет собственное число, равное нулю: Ему соответствует собственная функция

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

для задачи



В силу соотношения для функций имеем задачу



Решением этого линейного однородного уравнения второго порядка будет функция:





Решаем основную задачу

Будем искать решение основной задачи в виде ряда. Так как найденные функции удовлетворяют краевым условиям, то функция



Удовлетворяет краевому условию



Значит, из-за двух решений задачи для Y, решение запишется как сумма



А в силу рассуждений, u(x,y,t) есть решение уравнения

Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условие Для функции u(x,y,t) искомого вида оно означает:

Пусть функция , входящая в начальное условие, разлагается в двойной ряд Фурье:



с коэффициентами


Тогда осталось объединить в одну формулу найденные функции



Ответ:





Курсовая задача

В курсовой задаче требуется найти температуру тонкой однородной пластины размера axb, если два противоположных края x=0 и x=a поддерживаются при нулевой температуре, а два других края y=0 и y=b теплоизолированы. В начальный момент времени температура равна Боковые поверхности, как обычно, теплоизолированы.

Запишем основное уравнение теплопроводности

а также граничные и начальное условия



Будем искать решение в виде ряда



Подставив его в исходное уравнение и преобразовав, получим три дифференциальных уравнения, которые нужно решить:



Решим сначала уравнения для X и Y. В совокупности с граничными условиями они дают задачи Штурма-Лиувилля:





Задача Штурма-Лиувилля для X

Общее решение уравнения имеет вид



Из краевого условия Тогда из второго краевого условия X(a)=0 получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:





Задача Штурма-Лиувилля для Y

Тоже самое проделываем для Y. Общее решение уравнения имеет вид



При ν>0 и из краевого условия Поэтому из второго краевого условия получаем, что откуда имеем бесконечное множество собственных чисел и функций задачи Штурма-Лиувилля



При ν=0 имеем из краевого условия . Второе краевое условие выполнено, поэтому задача Штурма-Лиувилля имеет собственное число, равное нулю: Ему соответствует собственная функция

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений



Для функций имеем задачу

Решением этого линейного однородного уравнения второго порядка будет функция:



Значит, из-за двух решений задачи для Y, решение запишется как сумма



Теперь воспользуемся начальным условием:



Этот ряд представляет собой разложение функции в двойной ряд Фурье, а коэффициенты найдем по формулам, используя начальное распределение температуры:

















Теперь мы можем окончательно записать ответ.



Ответ:



График (в момент времени t=60, при T0=10, размер пластины 5х5):

Список используемой литературы:

  1. Кошляков Н.С. «Уравнения в частных производных математической физики», Москва, Высшая школа, 1970

  2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. «Уравнения математической физики»

  3. Карслоу Г., Егер Д. «Теплопроводность твердых тел», Москва, Наука, 1964

  4. Лыков А.В. «Теория теплопроводности», Москва, Высшая школа, 1967

  5. Смирнов М.М. «Задачи по уравнениям математической физики», Москва, Наука, 1975

  6. Арефьев В.Н. «Уравнения математической физики для СГУ», Москва, 2005

  7. Зоммерфельд А. «Дифференциальные уравнения в частных производных физики», Москва, Издательство иностранной литературы, 1950

  8. Будак Б.М. «Сборник задач по математической физике», Москва, 1979

0>0>0>0>


База данных защищена авторским правом ©infoeto.ru 2022
обратиться к администрации
Как написать курсовую работу | Как написать хороший реферат
    Главная страница