Тема 2. Непосредственный подсчет вероятностей
Теоретические сведения
Некоторый эксперимент будем называть случайным экспериментом, если его исходы неоднозначны. Исходы случайного эксперимента называются случайными событиями и обозначаются А, В, С. Каждый из возможных результатов эксперимента называется элементарным случайным исходом.
Пример 1. Игрок бросает игральный кубик. Бросок – это эксперимент. Появление грани с точками – событие. А = {1} – появление грани 1, В = {н} – появление нечетной грани.
Пример 2. В урне есть пронумерованные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны – эксперимент. Появление шара с определенным номером – событие.
Событие называется достоверным, если оно осуществляется при каждой реализации случайного эксперимента и обозначается W. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, оно обозначается Æ.
Событие А влечет за собой событие В , если при каждом осуществлении события А осуществляется событие В. Для любого события А: . События А и В называются эквивалентными , если одновременно и .
Объединением (суммой) событий () называется событие, эквивалентное осуществлению или события А или В. Для любого события А: .
Пересечением (произведением) событий () называется одновременное осуществление событий А и В. Если пересечение двух событий является невозможным событием, то они называются несовместными. Для любого события А: .
Разностью событий называется событие, при котором произошло событие А, но не произошло В.
Событие называется противоположным событию А, если оно осуществляется тогда и только тогда, когда событие А не осуществляется. Два события взаимно противоположны, если: а);b). Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента появится одно и только одно из них, т.е. выполнятся условия: a) , b) .
Пример 1. Эксперимент состоит в 5 выстрелах по мишени. Даны события А0 – ни одного попадания, А1 – ровно 1 попадание, А2 – ровно 2 попадания, А3 – ровно 3 попадания, А4 – ровно 4 попадания, А5 – ровно 5 попаданий. Тогда А = А0 + А1 + А2 – событие «не более 2 попаданий», а В = А3 + А4 + А5 – событие «не менее 3 попаданий»
Пример 2. По мишени производится 3 выстрела. Даны события А1 – промах при 1-м выстреле, А2 – промах при 2-м выстреле, А3 – промах при 3-м выстреле. Тогда событие А = А1 + А2 + А3 состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.
Классическое определение вероятности
Пусть пространство элементарных исходов конечно, т.е. , и исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в сумме они дают единицу. Если событию А соответствует m частных случаев из полной группы в n равновозможных событий, то вероятностью события А называют величину . Вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим событие А = {набрана нужная цифра}. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов = 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А только один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность: .
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим В = {набраны нужные цифры}. Сколько можно набрать различных цифр? Сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2: . Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В только один исход. Искомая вероятность: .
Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).
Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно , т.к. каждое число, выпавшее на одном кубике, может сочетаться со всеми числами на другом. Событию А благоприятствуют 3 исхода: {1,3}, {2,2}, {3,1}. Искомая вероятность: .
Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10: . Определим число исходов, благоприятствующих событию А = {среди 6 взятых деталей 4 стандартных}. 4 стандартные детали из 7 можно взять способами. При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 3 можно способами. Число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность: .
Упражнения
-
В ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.
-
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого извлеченного жетона не содержит цифры 5.
-
В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков с буквами: О, П, Р, С, Т. Кубики вынимают по одному и располагают в ряд Найти вероятность того, что получится слово СПОРТ.
-
На шести карточках напечатаны буквы: А, Т, М, Р, С, О. Карточки перемешаны. 4 карточки вынимают по одной и располагают в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ТРОС.
-
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых кубиков, которые тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наугад взятый кубик будет иметь: а) 1 окрашенную грань, б) 2 окрашенные грани, в) 3 окрашенные грани.
-
Из набора 28 костей домино наудачу извлечена 1 кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая: а) дубль, б) не дубль.
-
В замке на общей оси 5 дисков. Каждый диск разделен на 6 секторов. Замок открывается только при определенном положении дисков. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
-
8 различных книг расставлены на полке наугад. Найти вероятность того, что 2 определенные книги окажутся рядом.
-
Среди 10 различных книг: 5 книг по 40 руб, 3 книги по 10 руб, 2 книги по 30 руб. Найти вероятность того, что 2 взятые наугад книги стоят 50 руб.
-
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Наугад вынимают один за другим все, находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку.
-
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Наугад вынимают один шар, записывают его номер, кладут шар обратно и перемешивают. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку.
-
В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из урны вынимают одновременно 2 шара. Какое событие более вероятно: А – шары одного цвета, В – шары разных цветов.
-
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Из урны 7 раз вынимается по одному шару, номер записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность того, что все записанные номера будут различны.
-
В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная с третьего. Найти вероятность следующих событий: А – все пассажиры выйдут на 5 этаже, В – все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже), С – все пассажиры выйдут на разных этажах.
-
10 человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
-
10 человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом вдоль одной из его сторон. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
-
Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 15 самолетов. Орудия выбирают себе цели случайным образом и независимо от других. Найти вероятность того, что все 10 орудий будут стрелять по одной и той же цели.
-
В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются 2 группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность того, что а) все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; б) две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три в другую.
-
В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то выстрела не происходит. Найти вероятность того, что повторив такой опыт два раза подряд, оба раза выстрел не произойдет.
-
В условиях предыдущего упражнения найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.
-
В партии, состоящей из 50 изделий, имеется 5 дефектных. Из партии выбирается для контроля 10 изделий. Найти вероятность того, что из них ровно 3 будут дефектными.
-
Ирочка Маслова наивно верит, что если она соберет 20 разных наклеек от жвачек Барби и отошлет их по указанному адресу, то добрые тети и дяди пришлют ей взамен настоящую куклу Барби. Объясните Ирочке строго математически нереальность ее затеи, вычислив вероятность собрать 20 разных наклеек, купив ровно 20 жвачек.
-
Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в Пуховом буфете вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?
-
Когда Костя Сидоров, ученик 6 «б» класса, наконец-то обнаружил в буфете кулек с конфетами, он услышал, как отворилась входная дверь. Это пришла из магазина бабушка Пелагея Марковна. Времени на выбор не было, и Костя, запустив руку в кулек, едва успел переместить к себе в карман две конфеты. Какова вероятность того, что ему достался хотя бы один "Мишка на Севере", если в кульке было 7 конфет с помадкой, 5 соевых батончиков и 3 "Мишки на Севере"?
-
Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров застал двухлетнюю сестренку Катю в момент, когда та инспектировала свой тайник, расположенный в проеме между стеной и книжным шкафом. В тайнике у Кати хранились пуговицы, срезанные в разное время с различных предметов одежды: 5 белых пуговиц с теперь уже не новой папиной рубашки, 3 красные пуговки с маминого халатика и 4 пуговицы с купленной три дня назад Костиной джинсовой куртки. Не обращая внимания на Катины протесты, Костя просунул руку в щель, нащупал 2 пуговицы и вытащил их. Какова вероятность того, что это пуговицы с куртки?
-
Чайный сервиз на 6 персон состоит из 6 чашек, 6 блюдец, чайника, сахарницы и молочника. Во время ссоры нигде не работающая Клава запустила в своего сожителя Григория тремя первыми попавшимися под руку предметами из сервиза. Какова вероятность того, что не пострадали чашки?
|