Определение функции комплексного переменного. 3
Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Формула нахождения производной. 4
Условия Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной. Пример: степенная функция. 6
Свойства аналитических функций (5 св-в) 7
Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения. 10
Определение конформного отображения. 11
Круговое свойство дробно-линейной функции. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг. 12
Отображения, осуществляемые элементарными функциями. 13
Основная задача конформных отображений. Теоремы Римана. 15
Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема о вычислении интеграла. 16
Свойства интеграла от функции комплексного переменного. 17
Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. 18
Первообразная аналитической функции (теорема и определение). 19
Неопределенный интеграл. Теорема и определение. Формула Ньютона-Лейбница. 20
Формула Коши. Следствие. Формула среднего значения. 22
Аналитическая зависимость интеграла от параметра. 24
Существование производных всех порядков аналитической функции. 25
Теорема Морера. Теорема Лиувилля. 26
Ряды аналитических функций. 1 т-ма Вейерштрасса. 27
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Следствия. 28
Теорема Тейлора. 29
Нули аналитической функции. Единственность определения аналитической функции. 30
Определение аналитического продолжения. Продолжение соотношений с действительной оси. Полная аналитическая функция. 31
Ряд Лорана. Область сходимости РЛ, Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ. 32
Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. 34
Классификация изолированных особых точек. 35
Предельные свойства изолированных особых точек. Связь полюсов и нулей. 37
Определение вычета. Вычисление вычетов. 38
Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов. 39
Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции с помощью вычетов. 40
Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами с помощью вычетов. Лемма и теорема. 41
Лемма Жордана. Пременение леммы Жордана к вычислению несобственных интегралов. 42