Радуги Декарта и Птолемея, интерференционная картина Юнга, кольца Ньютона

Алексей Панов

Первая точная формулировка закона преломления, лежащего в основе всей геометрической оптики, была опубликована Рене Декартом в 1637 г. в знаменитых “Рассуждениях о методе” [1]. И тут же, демонстрируя мощь своего “метода”, Декарт использовал этот закон для построения первой последовательной теории радуги. “Радуга – такое изумительное чудо природы …, что я навряд ли смогу найти более подходящий объект для моего метода” [1, “Метеоры”].

В период с 1801 г. по 1803 г. Томас Юнг провел свой знаменитый двухщелевой эксперимент и в ряде выступлений и публикаций [2,3] заложил основы волновой теории света. В качестве одного из первых применений своей теории Юнг избрал интерференционное объяснение колец Ньютона. С помощью той же интерференции Юнг дал объяснение дугам высших порядков [3], наличие которых в структуре радуги не было не то что объяснено Декартом и Ньютоном, но даже не замечено ими обоими.

Здесь мы обсудим несколько вопросов, связанных с этими достижениями Декарта и Юнга. Например, имелась ли возможность построения теории радуги до открытия закона преломления, сделанного Снеллиусом и Декартом? Познакомимся с мемуаром о радуге [4] первого русского академика-математика С.К. Котельникова, написавшего, кстати, и первый отечественный учебник по геодезии [5]. И, кроме прочего, продемонстрируем несколько компьютерных изображений, реализующих интерференционную картину Юнга. Настоящая заметка может рассматриваться как некоторое дополнение к нашим предыдущим публикациям [6,7,8].

Рис. 1. Преломление на границе воздух-вода: i – угол падения, r – угол преломления

Один из элементов этого взаимодействия – преломление на входе в каплю и на выходе из нее. Преломление, которое описывается законом Снеллиуса

Показатель преломления воздуха считаем равным 1, а для воды показатель преломления пока примем равным . При малых углах падения закон Снеллиуса переходит в совсем простое

чем с успехом пользуются все оптики, вплоть до наших дней, при расчете параксиальных лучей.

Иногда этот линейный закон (2) связывают с именем Клавдия Птолемея, проводившего свои эксперименты по преломлению во II веке н.э. Но на самом деле Птолемей получил гораздо более интересные результаты. Они дошли до нас в виде следующей таблицы, содержащей зависимость угла преломления от угла падения для перехода воздух-вода [9].

В ней вторые разности для нижней строки постоянны, равны –½°, т.е. все точки лежат на одной параболе. Поэтому нельзя считать, что это чистые экспериментальные данные. С другой стороны они хорошо согласуются с точным законом Снеллиуса (1), который дает

так что не может идти речи и о какой-либо фальсификации. Записав уравнение параболы в виде

мы можем интерпретировать и формулу (4) и саму таблицу как альтернативный закон преломления – закон преломления Птолемея [10,11].

На рис. 2 приводится сравнение законов Снеллиуса и Птолемея. В диапазоне 0°– 80° наибольшее расхождение между углами преломления наблюдается на границе – для угла 80°, где оно не превышает 2¼°. В диапазоне 0°– 70° расхождение между законами еще меньше, оно всюду не превосходит 1°.

Рис. 2. Отмеченные по Птолемею точки лежат на параболе, сплошная линия – закон Снеллиуса

Рис. 3. Углы: падения – , преломления – , выхода –

Световой луч преломляется на входе в каплю, испытывает отражение на задней стенке капли и преломляется на выходе. При первом преломлении луч поворачивается на угол , при отражении происходит поворот на и, преломляясь на выходе, луч еще раз поворачивается на , всего – на . Рассмотрим дополнительный угол

который назовем углом выхода. В зависимости от используемого закона преломления, мы получаем следующие три формулы. Для линейного закона преломления (2) –

для закона Снеллиуса (1), (3) –

и для закона Птолемея (4) –

Построим графики этих трех функций, считая, что .

Рис. 4. Угол выхода имеет критические точки для законов Снеллиуса и

Птолемея – функции и , но не для линейной модели –

По Декарту, за образование основной дуги отвечает стационарная точка функции угла выхода . Если капля освещена пучком параллельных лучей, то вблизи направления скапливается большое количество, выходящих из капли лучей, т.е. капля практически излучает в направлении источника яркий конус с углом полураствора . В свою очередь, если Солнце, находящееся за головой наблюдателя, освещает стену дождя, то в глаз наблюдателя попадает яркий свет только от тех капель, которые лежат на конусе с осью Солнце-глаз и с тем же самым углом полураствора , именно так формируется основная дуга.

На рис. 4 мы видим, что стационарные точки имеются только на графиках функций и . Таким образом, и закон Птолемея и закон Снеллиуса, но не линейное приближение, гарантируют наличие радуги. Причем экстремальные значения почти не различаются: по Птолемею угол полураствора радуги 40°15', по Снеллиусу при – 40°02'. Понятно, что за яркость радуги отвечает абсолютная величина второй производной функции в стационарной точке, – чем она меньше, тем большая концентрация лучей наблюдается. И на рис. 4 видно, что радуга Птолемея должна быть ярче.

Итак, для описания механизма образования основной дуги вполне можно было использовать приближенный закон преломления Птолемея.

Ч
тобы сделать более наглядными рассуждения из предыдущего раздела, нарисуем картину взаимодействия пучка лучей с каплей воды для каждого из трех законов преломления. На каждом из следующих трех рисунков слева изображена зависимость угла выхода от синуса угла падения, а справа преобразование каплей пучка параллельных лучей, приходящих от источника (верхние короткие лучи).

Рис. 5. Линейная модель

В линейной модели не наблюдается сгущения выходящих лучей. Зато на следующих двух рисунках такое сгущение вблизи крайнего нижнего луча отчетливо видно и именно оно отвечает за формирование радуги. Этот крайний луч называется декартовым лучом. Для того чтобы представить себе пространственную картину, нужно провращать соответствующий рисунок вдоль центрального луча. Тогда декартов луч опишет коническую поверхность, которая будет являться каустической поверхностью для пучка лучей, выходящих из капли в направлении источника. Из сравнения рис. 6 и 7 видно, что вблизи декартова луча концентрация выходящих лучей, действительно, будет сильнее в случае выполнения закона Птолемея.

Рис. 6. Закон Снеллиуса

Рис. 7. Закон Птолемея

Сделаем небольшое отступление, чтобы рассказать, как сам Декарт вычислял размеры радуги.

Анализируя с помощью этой таблицы характер изменения угла , Декарт делает вывод, что концентрация лучей, выходящих из капли, происходит вблизи угла в 40°.

Следует отметить, что после исправления 17°56' в четвертом столбце на 16°56', значения, рассчитанные Декартом, и значения, рассчитанные по формуле (7), нигде не расходятся более чем на 2'. Правда, следует предостеречь, в русском издании [1] в последнем столбце вместо правильного 13°40' стоит неверное 31°40'.

Для уточнения размеров радуги Декарт проводит еще одни вычисления, изменяя в диапазоне от 0,8 до 0,98 с шагом в 10 раз меньше. Вот как выглядит фрагмент новой таблицы.

Теперь Декарт утверждает, что реально концентрация лучей достигается вблизи угла в 41°30'. Вычисляя производные, каждый может убедиться, что эта величина отличается от истинного максимального значения функции всего лишь на 1'.

Рис. 8. Луч, дважды отразившийся внутри капли

При взаимодействии с каплей луч, преломляясь на входе и выходе, поворачивается на угол , а при каждом отражении еще на . Всего на . Удаляя лишние , для угла выхода дважды отраженного луча получаем

Для закона Снеллиуса это дает

(здесь опять будем считать и проводим вычисления в градусах), а для закона Птолемея

Построим графики этих функций.

Рис. 9. Зависимость угла выхода от угла падения для двукратно отраженных

внутри капли лучей; слева для закона Снеллиуса, справа для закона Птолемея

На графике видно, что имеет критическую точку и значение функции в этой точке, действительно, находится в районе 50°, именно это значение и было найдено Декартом. Функция критических точек не имеет. Таким образом, в случае выполнения закона Птолемея радуга состояла бы всего лишь из одной дуги.

Нарисуем более подробную лучевую картину для капли конечных размеров, изображая одновременно лучи, выходящие и после одного и после двух отражений.

Рис. 10. Лучи, выходящие из капли, после одного или двух внутренних отражений

Капля находится в центре рис. 10. Она освещается пучком параллельных лучей, приходящих слева. Лучи, претерпевшие однократное отражение, заполняют внутренность конуса с углом полураствора около 40°, двукратно отраженные лучи заполняют внешнюю часть конуса с полураствором около 50°. Видно, что вблизи границ этих конусов происходит концентрация выходящих лучей, именно эти границы соответствуют основной и второй дугам радуги.

И, что характерно, на расстояниях меньше десяти радиусов капли вторая дуга, излученная каплей, находится внутри основной. Только при удалении от капли они приходят в привычное нам расположение, когда основная дуга лежит внутри второй.

Пространство между двумя конусами, куда не попадают ни однократно, ни двукратно отраженные лучи, называется темным пространством Александера. На рис. 10 видно, что пространство Александера начинается не раньше, чем в десяти радиусах от капли.

Вскоре, после многократных переизданий “Оптики”, эта теория была полностью освоена европейскими учеными. В качестве примера Карл Бойер [13] приводит исчерпывающий мемуар С.К. Котельникова “Phaenomenorum iridis seu arcus coelestis disquisitio”, написанный им в 1758-59 г. и опубликованный в VII томе “Novi Commentarii Academiae Petropolitanae” в 1761 г. [4]. Вот некоторые биографические сведения о С.К. Котельникове.

Семен Кириллович Котельников (1723-1806) – первый русский академик-математик, ученик Эйлера. Родился в Петербурге в семье рядового лейб-гвардии Преображенского полка. Учился в школе, учрежденной Феофаном Прокоповичем. С 1741 г. Котельников учился в академической гимназии, а потом и в академическом университете. В 1751 г. был направлен на обучение в Германию, где в течение года слушал лекции в Лейпцигском университете, а затем четыре года учился у Л.Эйлера в Берлине. В 1756 г. получил звание экстраординарного профессора высшей математики, а в 1760 г. был утвержден ординарным профессором Академии наук. Как мы уже говорили, его перу принадлежит один из первых отечественных учебников по геодезии [5]. Следует отметить, что среди прямых потомков Семена Кирилловича, носящих фамилию Котельников, мы встречаем многих известных ученых [14], например,

Петр Иванович (1809-1879) – декан физико-математического факультета Казанского университета (1839-1862), ректором которого в то время был Н.И. Лобачевский

Александр Петрович (1865-1944) – известный математик и механик, преподавал в высших учебных заведениях Казани, Киева, Москвы

Владимир Александрович (1908-2005) – тоже академик, одним из его замечательных достижений является знаменитая теорема отсчётов Уиттекера – Найквиста – Котельникова – Шеннона.

Однако вернемся к мемуару о радуге. В своем обширном исследовании С.К. Котельников приводит детальный расчет расположения дуг, формируемых лучами, испытавшими внутри капли от одного до восьми отражений. С точностью до секунд вычисляет границы дуг, указывает следование цветов в них. В своих расчетах Котельников работает с теми же самыми показателями преломления и , что и Ньютон.

Котельников использует формулу Снеллиуса и формулу для угла поворота луча , испытавшего отражений внутри капли (см. вывод формул (7) и (9))

Он вычисляет дифференциалы, причем для отыскания стационарного значения угла падения полагает

Из последних двух равенств дифференциалы исключаются, и тогда имеем

Возводя в квадрат и складывая, для критического угла падения Котельников получает

Отсюда находятся значения всех тригонометрических функций, например,

Именно эту формулу вместе с Котельников использует для вычисления ширины дуг. Есть у него и формула для синуса

которой нам в дальнейшем еще предстоит воспользоваться.

Работа написана очень ясно, математический язык, можно сказать, не отличается от современного – Котельников, действительно, получил хорошее образование. Кстати первые двести страниц VII тома “Novi Commentarii” занимают труды его учителя – великого Эйлера.

Прошло еще некоторое время и теория Декарта-Ньютона перемещается в учебники. Можно сослаться на курс физики [15], где выводится общая формула для отыскания дуг, формируемых выходящими лучами, и, например, сообщается, что в экспериментальных условиях Бабине наблюдал дуги, составленные из лучей, претерпевавших вплоть до четырнадцати внутренних отражений.

Регулируя расстояния между соседними лучами и между соседними фронтами, в зависимости от соотношения между этими расстояниями, мы можем получить либо лучевую, либо волновую картину. Если говорить на компьютерном языке, то при расстоянии между соседними лучами больше нескольких пикселов и при расстоянии между соседними фронтами не больше пиксела, мы получим лучевую картину. Если соотношение обратное – между соседними лучами не больше пиксела, а между соседними фронтами не менее нескольких пикселов, то получим волновую картину.

Чтобы увидеть интерференцию, нужно нарисовать волновую картину, на которой расстояния между соседними фронтами равны длине световой волны. Конечно, с учетом, что при переходе из одной среды в другую длина волны меняется: если длина световой волны в вакууме равна , то в среде с показателем преломления она становится равной . Вот несколько примеров таких построений.


^ Двухщелевой эксперимент Юнга. В 1801 г. Томас Юнг провел свой знаменитый двухщелевой эксперимент и установил, что при определенных условиях свет может интерферировать, точно так же, как волны на поверхности воды или звуковые волны.

Мы рассмотрим упрощенный вариант опыта Юнга, считая, что и лучи и волновые фронты лежат в одной плоскости. Тогда и лучевая и волновая картины выглядят совсем просто. В одном случае мы имеем два пучка световых лучей, выходящих из двух точек, представляющих источники. В другом, считая что начальный фронт состоит как раз из этих двух точек, – две системы концентрических окружностей с радиусами, кратными длине волны.

Если, как это сделано у нас, волновые фронты нарисованы черным на белом фоне, то волновая картина автоматически порождает интерференционную картину. Если через достаточно удаленную точку проходят два фронта, то, во-первых, эта точка находится на расстоянии, кратном длине волны, и от первого и от второго источника. Во-вторых, в силу удаленности от обоих источников, вблизи этой точки фронты почти параллельны и, значит, практически накладываются – вблизи этой точки мы видим мало черного и много белого фона. Если же расстояния от точки до источников отличаются на нечетное число полуволн, то черного вблизи нее вдвое больше, соответственно, белого фона меньше. Это означает, всего лишь, что интерференционная картина на нашем рисунке кодируется следующим образом: светлые области соответствуют зонам конструктивной интерференции, темные – деструктивной.

Рис. 11. Светлые зоны – конструктивная интерференция, темные – деструктивная

В качестве экрана, на котором Юнг наблюдал интерференцию можно взять любую прямую, параллельную отрезку, соединяющему источники.

Рис. 12. Кольца Ньютона [12]

Начнем с построения лучевой картины. Она представлена слева на рис. 13. Для показателя преломления лучи, отражающиеся от нижней поверхности тонкой линзы, сходятся на высоте ее радиуса кривизны. А лучи, отражающиеся от подстилающей пластины, сходятся на высоте радиуса. Справа – рассмотренный под некоторым увеличением фрагмент соответствующей волновой картины.

Рис. 13. Лучевая и волновая картины в области над линзой

Можно сказать, что ньютоновский рисунок 12 – это вид сверху, а рис. 13 – вид сбоку. Сходство между ними очевидно, но есть и существенное отличие – на рисунке 12 центральное пятно темное, на рис. 13 оно светлое. На самом деле Юнг знал, что при отражении от поверхности оптически более плотной среды происходит потеря полуволны [16,17]. С учетом этой потери при отражении от подстилающей пластины мы получаем другую волновую картину, изображенную на рис. 14. Она полностью соответствует ньютоновскому рисунку.

Рис. 14. Волновая картина после учета потери полуволны

Впрочем, и то, что изображено на рис. 13, допускает физическую реализацию. Юнг взял линзу и пластинку с различающимися показателями преломления и заполнил воздушную прослойку между ними маслом с промежуточным показателем преломления. Сдвиг при отражении исчез, и центральное пятно оказалось светлым, так же, как на рис. 13.

Отметим еще, что рис. 13, практически является фрагментом рис. 11, изображающего двухщелевой опыт Юнга. После изменения направления распространения систем фронтов на рис. 13 на противоположное, они становятся выходящими из двух точек (фокусов) и интерферируют, как в опыте Юнга.

И последнее, при расчете размеров колец Ньютона зачастую предполагается, что лучи не преломляются и все время остаются перпендикулярными и плоской поверхности линзы, и пластинке, а для получения интерференционной картины учитываются лишь разности оптических длин [16].

Рис. 15. Волновая картина без учетов преломления и потери полуволны

Построим волновую картину в этих предположениях. Результат, конечно, отличается от того, что на рис. 13, но вблизи линзы радиусы колец практически совпадают.

Р
ис. 16. Светлые полосы – это и есть дуги высших порядков по Юнгу

По Юнгу каустика разбивает каждый волновой фронт на две ветви, за счет этого возникают два интерферирующих семейства волновых фронтов. Зоны конструктивной интерференции, видные на рисунке, и проявляют себя как дуги высших порядков. Недостающий в теории Декарта-Ньютона элемент найден.

Интерференционная теория Юнга в свою очередь не свободна от недостатков. Один из них тоже связан со сдвигом фазы. Юнг не знал, что при касании лучом каустики, происходит сдвиг на четверть волны, а именно, на [17,18]. Ровно на столько должны быть сдвинуты короткие ветви фронтов, и направление дуг слегка поменяется.


Каустики. В этом заключительном разделе мы как раз и посмотрим, когда и какой луч из тех, что формируют основную дугу, касается соответствующей каустики.

Напомним, как получается уравнение каустики. Пусть задано однопараметрическое семейство лучей (прямых)

Можно считать, что каустика состоит из точек пересечения инфинитезимально близких прямых этого семейства. Это пересечение происходит при значении , равном

Уравнение каустики получается при подстановке этого значения в систему (12).

Пусть на каплю единичного радиуса падает пучок параллельных лучей (рис.6). Параметризуем его углом падения . Для угла преломления и его производной введем короткие обозначения


, .

Кроме того, будем считать, что центр капли совмещен с началом координат и падающий пучок параллелен оси .

Тогда семейство отрезков лучей от входа в каплю до отражения от ее задней стенки описывается уравнением


.

А, в соответствии с (12), уравнение каустики для этого семейства имеет вид

Семейство отрезков лучей от точки отражения до точки выхода из капли задается уравнением

а каустика этого семейства имеет вид

Наконец, лучи, выходящие из капли, описываются уравнением

а соответствующая каустика будет

Нарисуем каждую из этих каустик I, II, III для показателя преломления

Рис. 17. Слева направо: каустики I, II и III

Обратим внимание на правый фрагмент рис. 17, где изображена каустика выходящих из капли световых лучей III. Он явно указывает на уникальность показателя преломления или, что то же самое, ньютоновского . Только для этого показателя вершина правой ветви каустики III лежит на границе капли.

Для нас, однако, важнее то, что именно ветви каустики III, идущие влево, формируют основную дугу. Ранее мы говорили, что выходящие из капли лучи концентрируются вблизи декартова луча, но, если стремиться к большей точности, то лучи концентрируются все-таки вдоль каустики. Хотя, конечно, декартовый луч является асимптотой для каустики, и уже на малых расстояниях от капли они практически сливаются.

На рис. 17 имеются лишние детали, например, участки каустик, которых касаются не сами лучи, а их продолжения. На следующем рис. 18 мы опустили многие из этих деталей, нарисовав одновременно и сами лучи и все формируемые ими участки каустик.

Р
ис.18. Лучи и формируемые ими каустики

Прежде всего, отметим, что луч, входящий в каплю на максимальной высоте, равной 1, проходит через концевые точки всех трех каустик. Кроме того, на рис. 18 видно, что точки пересечения соседних каустик I и II, а также II и III лежат на границе капли. В первую из этих точек входит луч, который до отражения касается каустики I, а после отражения – каустики II. Простые вычисления, связанные с уравнениями каустик I, II и формулой (11), показывают, что именно этот луч является декартовым лучом и, следовательно, асимптотой для каустики III. Для него при угол падения задается соотношением , именно на этой высоте луч входит в каплю.

В точку пересечения каустик II и III входит луч, до преломления касающийся II, а после преломления III. Из любого уравнения на выбор, II или III, следует, что высота его входа в каплю, т.е. синус угла падения, будет .

Подчистим предыдущий рис. 18, оставив только центральный луч и еще три вышеперечисленных, т.е. лучи с высотами входа

0, , , 1.

На рис. 19 видно, что эти четыре луча разбивают входящий пучок на три части, причем в каждой из них составляющие лучи касаются одного и того же набора каустик из числа I, II, III.

Сравнение с волновой картиной, изображенной на рис. 16, показывает, что, действительно, число касаний для лучей, составляющих короткую ветвь фронта на одно больше, чем для составляющих длинную ветвь. Так что указанный сдвиг фаз, действительно, имеет место.

Рис. 19. Лучи, точка входа которых лежит на соответствующей дуге, касаются соответствующих кустик

Сравнение с волновой картиной, изображенной на рис. 16, показывает, что, действительно, число касаний для лучей, составляющих короткую ветвь фронта на одно больше, чем для составляющих длинную ветвь. Так что сдвиг фаз имеет место.

На этом мы заканчиваем наше изложение, которое в основном носило исторический характер. Добавим лишь, что дальнейшее развитие теории радуги было связано с развитием волновой теории света и с электромагнитной теорией Максвелла. В этих исследованиях принимали участие многие выдающиеся ученые, среди которых назовем Джорджа Эйри и Густава Ми [6,13,19].

ЛИТЕРАТУРА

1. Рене Декарт, Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках. Диоптрика, Метеоры и Геометрия как приложения этого метода. М., 1953.

   
   

2. T. Young, The Bakerian Lecture [1801]. On the theory of light and colours. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 92, p. 12-48, 1802.

   
   

3. T. Young, The Bakerian Lecture [1803]. Experiments and calculations relative to physicaloptics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 94, p. 1-16, 1804.

   
   

4. Sim. Kotelnikov, Phaenomenorum iridis seu arcus coelestis disquisitio. Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, VII, p. 252-276 [1758-1759], опубликовано в 1761 г.

   
   

5. С.К. Котельников, Молодой геодет или Первыя основания геодезии, содержащия все геодетское знание, предложенное вкратце, изъясненное правилами и примерами, сочиненныя профессором мафематики ординарным и Императорской Академии наук членом Семеном Котельниковым. СПб.: При Имп. Акад. наук, 1766.

   
   

6. Панов А.А., Попиченко В.А., Теории радуги от Декарта до Ми. Международная научно-техническая конференция, посвященная 225-летию МИИГАиК, сб. докладов, М., с. 210-215, 2004.

   
   

7. Зайцев А.А., Панов А.А., Попиченко В.А., Теории радуги от Декарта до Эйри. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, № 6, с. 41-53, 2004.

   
   

8. К.Г. Снегов, Дифракционная картина Юнга – радуга Юнга и кольца Ньютона. Доклад на 61-ой научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых МИИГАиК, 2006

   
   

9. Г. Липсон, Великие эксперименты в физике. М.:Мир, 1972.

   
   

10. Фейнмановские лекции по физике, вып. 3 Излучение. Волны. Кванты. М.: Едиториал УРСС, 2004.

    
    

11. Stephen R. Wilk, Claudius Ptolemy’s Law of Refraction. Optics & Photonics News, v. 15, N 10, p. 14-17, 2004, http://www.osa-opn.org/issue.cfm?issue_id=262

    
    

12. Isaac Newton, Optiks. London, 1704; Ньютон И. Оптика или трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. М.: Гостехтеориздат, 1954.

    
    

13. Carl B. Boyer, From Myth to Mathematics. Princeton Univ. Pr., 1987.

    
    

14. Н.В. Котельникова, Владимир Александрович Котельников: дорога ученого. УФН, № 7, 2006.

    
    

15. Полный курсъ физики. По сочиненiямъ Жамена и Вюльнера, переведенъ и составленъ В. Фон-Боолемъ, томъ III, СанктПетербургъ и Москва, изд. М.О. Вольфа, 1867.

    
    

16. Г.С. Ландсберг, Оптика. М.: Физматлит, 2003.

    
    

17. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теория поля. М.: Физматлит, 2006.

    
    

18. M. Berry, Exuberant interference: rainbows, tides, edges, (de)coherence...., Phil. Trans. R. Soc. A., 360, p. 1023-1037, 2002, http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry342.pdf

    
    

19. Raymond L. Lee and Alastair B. Fraser, The Rainbow Bridge: Rainbows in Art, Myth and Science, Penn. State University Press and SPIE Press, 2001,