1. Автомобиль “Жигули» на скорости v = 50 км/ч способен двигаться вверх по дороге с уклоном α = 160 . При движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л.с. (1 л.с. = 736 Вт). Найти максимальную мощность двигателя, если масса автомобиля 1200 кг.
Дано:
v = 50 км/ч
α = 160
N = 20 л.с.
m = 1200 кг
|
Решение.
При прямолинейном равномерном движении , где k – коэффициент трения.
; , откуда
При движении по дороге с уклоном .
Тогда ;
|
|
2. Горизонтальная мембрана совершает синусоидальные колебания с круговой частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький грузик. При каком условии грузик будет колебаться вместе с мембраной и при каком начнет подскакивать?
Дано:
ω
A
|
Решение.
При колебании мембраны на грузик будут действовать сила тяжести и сила реакции . Грузик будет отрываться от мембраны, если N = 0.
Запишем уравнение движения грущика:
;
При гармонических колебаниях координата изменяется со временем по закону:
Тогда ;
Найдем скорость и ускорение грузика, соответствующие определенному моменту времени.
, откуда
В момент отрыва грузика от мембраны
Тогда
Грузик будет подскакивать, когда . В противном случае, при , грузик будет колебаться вместе с мембраной.
|
|
3. Два одинаковых стержня длиной 1 м и диаметром 10 см, выполненные из стали (плотность стали 7.8.103 кг/м3), соединены так, что образуют букву Т. Найти моменты инерции системы относительно осей, совпадающих с осями стержней.
Дано:
|
Решение.
Рассмотрим 1-ю ось.
Момент инерции 1-го стержня относительно оси 1 равен
Момент инерции 2-го стержня относительно оси 1 найдем из формулы Штейнера:
Тогда момент инерции всей системы относительно оси 1 равен
Рассмотрим 2-ю ось.
Момент инерции 1-го стержня относительно оси 2 равен
Момент инерции 2-го стержня относительно оси 2 равен
Тогда момент инерции всей системы относительно оси 2 равен
|
|
4. Какую скорость приобретают сплошной и полый цилиндры, скатившись без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м? Какую скорость имели бы эти цилиндры, соскальзывая с той же плоскости без трения?
Дано:
h = 1 м
|
Решение.
1. Рассмотрим сплошной цилиндр. Момент инерции такого цилиндра равен
, где . Тогда , откуда
2. Рассмотрим полый цилиндр. Момент инерции такого цилиндра равен
Тогда , откуда
3. Если цилиндры соскальзывают без трения, то , откуда
|
|
|