Решение задач на прогрессии Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, первое из которых обозначается а

8.1. Решение задач на прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, первое из которых (обозначается а_х) берется произвольным образом, а каждое последующее, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии (обозначается d).

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, первое из которых (обозначается b₁) — произвольное, отличное от нуля число, а каждое последующее, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же, отличное от нуля число, которое называется знаменателем прогрессии (обозначается q). Приведем несколько важных теорем.
Теорема 1. Пусть а_п — n-й член, d— разность, а S_n — сумма п первых членов арифметической прогрессии.

Тогда справедливы следующие формулы:

a_n = a₁ + d(n -1), S_n= = .
Теорема 2. Для геометрической прогрессии с п-м членом b_n, знаменателем q и суммой п первых членов S_n имеют место соотношения:

b_n=b₁q^n-1

S_n=(1+q+q²+….+q^n-1) =.
Теорема 3. Числа a, b и с в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = а + с.
Теорема 4. Отличные от нуля числа a, b и с в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда b² = ас.

Задача 1. Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся на 13.

Решение. Вычислим сначала сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000. Это есть сумма конечной арифметической прогрессии, у которой а₁ = 1, d = 1 и п = 1000. Имеем:

S_n=

Затем вычислим сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и делящихся на 13. Это также есть сумма конечной арифметической прогрессии, у которой а₁ = 13, d = 13 и п = 76, так как 13 ∙ 76 = 988, а 13∙77 =1001. Имеем:

S_n=

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся на 13, есть разность полученных сумм и равна 500 500 - 38 038 =
= 462 462.

Ответ: 462 462.

Задача 2. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30. Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти разность арифметической прогрессии.

Решение. Пусть а₁ и d — первый член и разность арифметической прогрессии. Тогда а₁ + 3d, а₁ + 6d и а₁ + 4d — соответственно четвертый, седьмой и пятый
ее члены. Так как числа х, у и z представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда хz = у², имеем систему:

Ответ: -10 или 0. .

Задача 3. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов меньше 4. Найти первый член этой прогрессии.

Решение. Пусть d— разность данной прогрессии. Тогда ее третий член равен (2 + d), а четвертый — (2 + 2d). Согласно условию задачи имеем неравенство: (2 + d)² + (2 + 2d)² 2 + 12d + 4 -2

Так как d — целое число, то d = -1 и а₁ = 2 - d = 3.

Ответ: 3.

Задача 4. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если известно, что знаменатель прогрессии положителен.

Решение. Пусть и q — соответственно n-й член и знаменатель данной прогрессии. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:




Ответ: .

Задача 5. Числа a₁ ,а₂, ..., а₂₁ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найти а₂₁, если а₂₀ = 3а₉.

Решение. Пусть d — разность данной прогрессии. Рассмотрим все члены этой прогрессии с нечетными номерами: а₁, а₃, ..., а₂₁. Они сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом а₁ и разностью 2d. Количество членов этой прогрессии равно 11 и ее сумма равна

Аналогично все члены исходной прогрессии с четными номерами: а_г, а₄, ..., а₂₀ — образуют арифметическую прогрессию с первым членом а₂ = а₁ + d, разностью 2d и количеством членов, равным 10. Сумма этой прогрессии равна

Согласно условиям задачи имеем систему уравнений:

⇔
Ответ: 17.

Задача 6. Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.

Решение. Данную задачу можно сформулировать следующим образом:

Известно, что р + q = 3, а р⁴ + q⁴ = 161. Найти р⁵ + q⁵.

Запишем следующую цепочку преобразований:

161 = р⁴ + q⁴ = (р + g)(p³ + q³)-pq(p² + q²) =

-18pq-40=0⇔pq=-2 или pq=20.

Система уравнений р + q = 3 и рq = 20 решений не имеет, а система р + д = 3 и

рq = -2 решение имеет, поэтому получаем, что рq = -2. Нахождение самих р и q хотя и возможно, но нецелесообразно, так как значения этих переменных иррациональны, и дать ответ на вопрос задачи будет довольно сложно. Поступим следующим образом:

р⁵ + q⁵ = (р + q)(p⁴ + q⁴) -pq(p³ - q³) = 3 161-pq(p + q)(p²-pq + q²) =

483-(-2)3∙((p + q)²-3pq) = 483 + 6(9 - 3 ∙ (-2)) = 573.

Ответ: 573.

Задача 7. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна ее первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов равна
100. Найти сумму первого, шестого и одиннадцатого членов этой прогрессии.

Решение. Пусть b₁ й q — соответственно первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии. Согласно условиям задачи имеем систему:

Разделив второе уравнение системы на первое, получим:

Ответ: 20.

Задача 8. В арифметической прогрессии первый член и разность положительны, а сумма первых десяти, членов равна разности квадратов шестого и пятого членов. Найти разность этой прогрессии.

Решение. Пусть а₁ и d — соответственно первый член и разность данной арифметической прогрессии. Согласно условиям задачи имеем систему:




Ответ: 5.

Задача 9. Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?

Решение. При а₁ и п — соответственно первый член и число членов данной арифметической прогрессии. Согласно условию задачи имеем неравенство:

Перепишем полученное неравенство как квадратное относительно а₁:

а² + (n- 1) + 2п² - 2п -100 ≤ 0.

Это неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного трехчлена неотрицателен:

D = (n - 1)² – 8n² + 8n+ 400 ≥ 0 ⇔ 7n² – 6n - 401 ≤ 0.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, это п = 8.

Ответ: 8 членов.

Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого ее членов равна 10.
   
2. 
   Последовательность чисел а₁, а₂, а₃, ... является арифметической прогрессией. Известно, что а₁+ а₅+ а₁₅ = 3. Найдите а₅ + а₉.
   
3. 
   Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на четвертый равно 3. Найдите второй член прогрессии.
   
4. 
   Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря — 6 карандашей и 1 блокнот, Вася - 3 карандаша и 1 блокнот. Известно, что суммы денег, заплаченные Алешей, Борей и Васей, образуют соответственно первый, второй и третий члены геометрической прогрессии. Сколько стоит блокнот?
   
5. 
   Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение каждого очередного километра пути, на одну и ту же величину больше, чем время, затраченное им на прохождение предыдущего километра. Известно, что на прохождение второго и четвертого километров после старта он затратил в сумме 3 мин 20 с. За какое время велосипедист проехал первые 5 км после старта?
   
6. 
   Числа a₁, a₂, а₃ образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если а₁+ а₂ + а₃ = 21.
   
7. 
   Пятый член арифметической прогрессии равен 22, а сумма седьмого и девятого равна 32. Найдите сумму первых двадцати трех членов этой арифметической прогрессии.
   
8. 
   Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и тринадцатого членов равна 58.
   
9. 
   Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
   
10. 
    Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии (а_n) в пять раз меньше суммы первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии (b_n). Найдите отношение разности прогрессии (a_n) к разности прогрессии (b_n), если известно, что эти разности отличны от нуля и 4а₁₂ = b₁₉.
    
11. 
    Первый член арифметической прогрессии в два раза больше первого члена геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена геометрической прогрессии. Четвертый член арифметической прогрессии составляет 50% от второго ее члена. Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно, что второй ее член больше третьего члена геометрической прогрессии на 36.
    
12. 
    В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма членов с четвертого по четырнадцатый включительно равна 77. Найдите номер того члена прогрессии, который равен 7.
    
13. 
    Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна —3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.
    
14. 
    В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего равно 324. Найдите последний член прогрессии.
    
15. 
    Второй член арифметической прогрессии равен 2, а сумма пятого и шестого членов равна 9. Найдите сумму первых двадцати членов прогрессии.
    
16. 
    Найдите знаменатель убывающей геометрической прогрессии, если сумма ее первых трех членов равна -7, а пятый член прогрессии меньше второго на 14.
    
17. 
    Найдите все натуральные значения параметра п, при каждом из которых задача «Найти арифметическую прогрессию, если известны ее семнадцатый член и сумма п первых членов» не имеет решения или ее решением является бесконечное множество арифметических прогрессий.
    
18. 
    Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии равны соответственно третьему, шестому и восьмому членам некоторой арифметической прогрессии, а их произведение равно 125. Найдите первый член геометрической прогрессии.
    
19. 
    В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он проезжал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
    
20. 
    Коля, Петя, Миша и Ваня ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных Колей, Петей и Мишей, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если бы Коля поймал на две рыбы меньше, а Ваня — на 12 рыб меньше, то количество рыб, пойманных Колей, Петей, Мишей и Ваней, образовывали бы в указанном порядке арифметическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша, если известно, что он поймал на 18 рыб меньше Вани?
    
21. 
    Числа а, b, с и d являются последовательными членами геометрической прогрессии. Известно, что а + d= 10, ad = 7. Найдите b³+ с³.
    

Ответы: 1. 50.

2. 2.

3. ±6.

18. 
    .
    

5. 3а 8 мин 20 с.

6.{(7; 7; 7); (7-7; 7; 7+7); (7+7; 7; 7-7)}.

7.184.

8. а₁ = 2, d = 3.

9. 28.

10. 1 : 1.

11. 50.

12. 7.

13. 2.

14. 162.

15. 161.

16. 2.

17. 33.

18. 5

19. 20 м.

20.18 рыб.

21. 70.

8.2. Решение задач на движение

При решении задач на движение используется формула s = vt, где s—пройденное расстояние, у — скорость, t — затраченное время. Сложность состоит в том, чтобы наиболее удачным образом выбрать переменные, составить и решить систему уравнений. В некоторых задачах на движение картинку лучше рисовать на координатной плоскости, где на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат — расстояние. Иногда более простым оказывается геометрическое решение задачи, использующее подобие треугольников.

Задача 1. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все значения v, при которых автомобиль возвращается в А позже, чем автобус приходит в В.

Решение. Согласно условиям задачи (см. рис. 1) должны выполняться два неравенства.

С одной стороны, автомобиль должен догнать в пути автобус, а это означает, что время, за которое автомобиль доезжает из пункта А в пункт В, должно быть хотя бы на полчаса меньше времени, проведенного в пути автобусом, то есть

Найдем теперь время t, затраченное автомобилем с момента выезда до момента встречи с автобусом. Так как к этому моменту автомобиль и автобус проехали одинаковое расстояние, имеем:

v(
Таким образом, с момента выезда автобуса из города А до возвращения автомобиля в этот город прошло часов. Согласно условию задачи имеем: ⇔.

Ответ: 30 v 33,6.

Задача 2. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4 часа они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста, едущего из А в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго, едущего из В в A, возросла на 10 км/ч. Известно, что первый велосипедист прибыл в пункт В на 1 час раньше, чем второй прибыл в пункт А. Определить первоначальную скорость первого велосипедиста.

Решение. Пусть v_l и v₂ — скорости соответственно первого и второго велосипедистов, a t — время, за которое первый велосипедист проделал весь путь от А до В. Тогда (t + 1) — время, за которое второй велосипедист доехал от В до А (рис. 2).

Так как к моменту встречи оба велосипедиста в сумме проехали расстояние 100 км, имеем уравнение: 4(, + v₂) = 100.

Согласно графику движения первого велосипедиста получим

4

аналогично для второго велосипедиста —

4v₂ + ((t + 1) - 4)(+ 10) = 100. Имеем систему:

⇔
Ответ: 15 км/ч.

Задача 3 Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них, а когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?

Решение. Пусть t₀ — момент времени, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, t₁ — момент времени, когда пешехода догнал мотоциклист, а
t₂ — момент времени, когда мотоциклист догнал велосипедиста (рис. 3). Пусть в момент времени t₁ расстояние между пешеходом и велосипедистом было равно
х км (длина отрезка ВС). Согласно условиям задачи в момент времени t₀ расстояние между пешеходом и мотоциклистом было равно 6 км (длина отрезка ОА),а в момент времени t₂ — 3 км (длина отрезка DE). Из подобия треугольников ОАВ и EDB имеем:

Из подобия треугольников ABC и ADE имеем:

Ответ: на 2 км.

Задача 4. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой — на 20 км/ч, то они также прибыли бы одновременно на станцию С, но на 2 ч раньше. Найти скорости поездов.

Решение. Пусть, для определенности, города А, В и С расположены последовательно в указанном порядке. Пусть s — расстояние между городами В и С. Тогда (s + 60) — расстояние между городами A и С. Обозначим через и v₂ скорости соответственно первого и второго поездов. При этом первым поездом мы будем считать тот, который выехал из города A. Так как нам неизвестно, какой из поездов увеличил свою скорость на 20 км/ч, а какой — на 25 км/ч, необходимо рассмотреть два случая. Пусть сначала первый поезд увеличил свою скорость на 20 км/ч. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:

Разделив почленно первое уравнение на второе, получим:

Этот случай невозможен, так как получилось, что первоначальная скорость первого поезда меньше первоначальной скорости второго, что противоречит первому уравнению системы. Значит, первый поезд увеличил свою скорость на 25 км/ч. Имеем систему:


Ответ: 50 км/ч и 40 км/ч.

Задача 5. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 ч после начала движения и продолжали свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 ч позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый поезд?

Решение. Пусть t — время, затраченное вторым поездом на весь путь из В в А. Тогда (t + 20) — время, затраченное первым поездом на весь путь из А в В (рис. 4).

Рис.4

Точка D на рисунке соответствует моменту встречи поездов и имеет, согласно условию задачи, абсциссу, равную 24. Из подобия треугольников BDC и EDA имеем:

Из подобия треугольников ACG и ADF имеем:

Так как верно соотношение

получаем уравнение:

Значит, первый поезд затратил на весь путь t+20=60ч.

Ответ: 60 ч.
Задача 6. Из пунктов A в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?

Решение. Пусть t — время прибытия мотоциклиста в пункт В (рис. 5).

При этом будем считать, что пешеход из пункта А отправился в нулевой момент времени. Тогда, согласно условию задачи, (t + 1) — время прибытия пешехода в пункт В. Пусть (t + t₁)— время прибытия велосипедиста в пункт В. Из подобия треугольников ADE.и CDH имеем:

Из подобия треугольников EDF и HDG имеем:




Рис. 5

Из полученных соотношений следует уравнение:

⇔

Это значит, что пешеход прибыл в пункт В позже велосипедиста на 1 – t₁ = ч, то есть на 48 мин.

Ответ: на 48 мин.

Задача 7. Из города А в город В выехал автомобиль. Спустя некоторое время из В в А выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всем пути постоянные, и они движутся по одному шоссе. Автомобиль до встречи с мотоциклом находился в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл до встречи ехал 3 ч. Мотоцикл прибыл в А в 23 ч, а автомобиль прибыл в В в 16 ч 30 мин. Найди время отправления мотоцикла из города В.

Решение. Пусть t — время отправления мотоцикла из города В. Тогда, согласно условиям задачи, (t - 4,5) — время отправления автомобиля из города A, a (t + 3) — время встречи автомобиля и мотоцикла (рис. 6).

Из подобия треугольников EOD и FOC имеем:

Из подобия треугольников CDH и COG имеем:

Так как верно равенство

относительно t получаем уравнение:

По смыслу задачи подходит t = 11 ч.

Ответ: 11 ч 00 мин.

Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Теплоход затратил 5 ч на путь вниз по течению реки от пункта А до пункта В. На обратный путь против течения он затратил 8 ч 20 мин. Найдите скорость теплохода, если путь от A до В равен 100 км.
   
2. 
   Поезд, едущий с постоянной скоростью из пункта A в пункт В, был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до пункта В равно 80 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч?
   
3. 
   Один турист преодолевает расстояние 20 км на 2,5 ч быстрее, чем другой. Если бы первый турист уменьшил свою скорость на 2 км/ч, а второй увеличил свою скорость в 1,5 раза, то они затратили бы на тот же путь одинаковое время. Найдите скорость второго туриста.
   
4. 
   Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
   
5. 
   Подъем в гору турист прошел за 2 ч. На спуск с горы, который был на 18 км длиннее подъема, турист затратил вдвое больше времени; чем на подъем в гору. Найдите общую длину пройденного туристом пути, если каждый километр при спуске турист проходил на 10 мин быстрее, чем на подъеме.
   
6. 
   Два поезда вышли из города А в город В и весь путь каждый из поездов прошел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 ч позже первого и прибыл в В с первым поездом. За один час до прибытия в В расстояние между поездами составило 30 км, а когда первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225 км. Определите скорости поездов и расстояние между городами.
   
7. 
   Из пункта А в пункт В одновременно отправились пешеход и велосипедист. Прибыв в пункт В, велосипедист отдохнул 2 ч и отправился обратно с прежней скоростью. К тому моменту, когда пешеход пришел в пункт В, велосипедист проехал половину пути из В в А. Найдите скорость пешехода, если известно, что она на 12 км/ч меньше скорости велосипедиста, а расстояние между А и В равно 24 км.
   
8. 
   Из пункта А По реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению, чем пункт А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Найдите, какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки.
   
9. 
   Из пункта А. в пункт С, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал грузовик. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между А и С на расстоянии 15 км от А, в пункт С вышел пешеход, а из С навстречу им выехал автобус. За какое время грузовик догнал пешехода, если известно, что это произошло через полчаса после встречи грузовика с автобусом, а пешеход до встречи с автобусом находился в пути втрое меньше времени, чем грузовик до своей встречи с автобусом?
   

10. 
    Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в B выехала машина, а через 20 мин — мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда машина прибыла в В, мотоциклист проехал половину пути от С до А. Найдите расстояние от С до А.^:
    
11. 
    Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. Остановившись на 20 мин в пункте В, второй автомобиль поехал с той же скоростью назад, через 48 км встретил шедший навстречу первый автомобиль и был на расстоянии 120 км от В в момент прибытия в В первого автомобиля. Найдите расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ =480 км.
    
12. 
    Катер и яхта, отправляющиеся из портов А и В навстречу друг другу в 9 ч, встречаются в 13 ч. Катер и теплоход, отправляющиеся из тех же портов навстречу друг другу в 10 ч, также встречаются в 13 ч. Определите, на сколько километров отстанет к 19 ч яхта от теплохода, если они выйдут из порта А в 10 ч в одном направлении. Расстояние между портами А и В равняется 104 км.
    
13. 
    Пункты А, В и С-расположены на реке в указанном порядке вниз по течению. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С—14 км. В 12 ч из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А. Достигнув пункта А она сразу же повернула назад и в 14 ч прибыла в пункт С. Скорость течения реки равна 5 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
    
14. 
    Из пункта А в пункт В вышел пешеход, и одновременно из пункта В в пункт А выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист развернулся, довез пешехода до пункта В, а затем снова поехал в пункт А. В результате мотоцикл затратил на дорогу до пункта А в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта В в пункт А, не подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта В, если бы весь путь от А до В он прошел пешком?
    

15. Пункты А и В соединены двумя городами, одна из которых на 3 км короче другой. Из В в А по более короткой дороге вышел пешеход и одновременно из А по той же дороге выехал- велосипедист. Пешеход и велосипедист одновременно прибыли в А через 2 ч после начала движения. За это время пешеход прошел один раз путь от В до А, а велосипедист проехал два раза в одном направлении по кольцевому маршруту, образованному двумя названными дорогами. Найдите скорость пешехода и велосипедиста, если известно, что их вторая встреча произошла на расстоянии 3,5 км от пункта В. (Скорости постоянны.)

16. Три гонщика (А, потом В и затем С) стартуют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более двух минут. Сделав три круга, гонщик А в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А?

17. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. В пункт В сначала пришел один из пешеходов, а другой достиг В не ранее, чем через час после этого. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они прибыли бы в пункт В с интервалом не более чем в 20 мин. Определите, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от А до В, если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.

Ответы: 1.16 км/ч.

2. Не более 50 км/ч.

3. 4 км/ ч.

5. 50 км/ч и 100 км/ч.

5.30 км.

6. 60 км/ч и 90 км/ ч; 900 км.

7. 6 км/ч.

8.

9. За 45 мин.

10.60 км.

11. 160 км.

12. На 78 км.

13. 10 км/ч.

14. В 2 раза.

15. 3 км/ч и 15 км/ч.

16. 3 мин.

17. 40 мин и 1 ч.