Задача №1 «Как бесконечная цепочка» (10 баллов)




Скачать 114.88 Kb.
Дата 11.10.2016
Размер 114.88 Kb.

РЕШЕНИЯ задач заочной олимпиады по физике 9-11 кл.

2006-2007 ТОИПКРО стр. из






Задача № 1 «Как бесконечная цепочка» (10 баллов)

Каждый резистор в цепи, изображенной на рисунке 1, имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, течет ток 1 А. Какова разность потенциалов U на входных клеммах цепи? Каким будет входное напряжение и общий ток, если слева к этой цепочки присоединить еще два резистора поочередно: первый параллельно входу; второй: последовательно. Каково эквивалентное сопротивление цепи? Как изменилось эквивалентное сопротивление цепи, после подсоединения дополнительных резисторов? Сравните этот результат с эквивалентным сопротивлением бесконечной цепи. Сделайте вывод.



Рис. 1


Решение.


Расставим токи в резисторах, начиная с последнего элемента в цепочке (рис.2). Так как ток 1А течет через первый резистор, такой же ток должен течь и через второй, таким образом, разность потенциалов на каждом из этих резисторов 1В.

Как следствие, разность потенциалов на третьем резисторе равна 1 В+1 В = 2 В, и ток, текущий через него, должен быть 2А. Ток, текущий через следующий резистор, равен 1А+ 2 А == 3 А. Ток в пятом резисторе можно определить, используя разность потенциалов 2 В + 3 В = 5 В на резисторах с токами
2 А и 3 А, и т.д., как показано на рисунке.

Легко видеть, что наша цепочка резисторов построена, начи­ная с последнего элемента, подсоединением элементов поочеред­но последовательно и параллельно. Сумма токов, текущих через два предыдущих резистора, течет через следующий резистор ряда. Следующий элемент, подклю­ченный параллельно, создает новый электрический контур в цепочке, и поэтому разность потенциалов на этом резисторе равна сумме разностей потенциалов на двух предыдущих. Таким образом, в этой так называемой лестничной схеме согласно законам Кирхгофа можно определить токи и напряжения для каждого резистора.

Заметим, что числовые значения токов (или разностей потен­циалов) - числа ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Разность потенциалов на двух последних резисторах равна 21 В + 13 В = = 34 В - это и есть разность потенциалов на входе схемы. Так как общий ток в цепи равен 21 А, то эквивалентное сопротивле­ние схемы будет 34 В/21 А = 1,61905 Ом.

Если, не изменяя входное напряжение 34 В, подсоединить еще один элемент слева к цепи параллельно входу, тогда полный ток увеличивается до 21 А + 34 А = 55 А. В этом случае эквивалентное сопротивление будет равно: 34 В/55 А = 0,61818 Ом. Если включить еще один элемент слева последо­вательно со схемой, то для обеспечения тока через него 55 А напряжение на входе схемы необходимо увеличить до 34 В + 55 В = 89 В. При этом полное сопротивление цепи будет равно 89 В/55 А= 1,61818 Ом.



Если лестничная схема расширяется далее и далее, получает­ся бесконечная цепь. Эквивалентное сопротивление этой цепи можно рассчитать, используя тот факт, что добавление двух дополнительных элементов не изменяет ее сопротивления. Таким образом, целая цепочка может быть заменена одиночным резис­тором сопротивлением R, который является таким, что, если два



Рис. 230

резистора сопротивлением по 1 Ом каждый подсоединены к ней в комбинации один параллельно, а другой последовательно, эквивалентное сопротивление новой схемы будет также R (рис.230). Для этого необходимо выполнить условие



, где R0 = 1 Ом

Отсюда получаем квадратное уравнение для определения число­вого значения R:

R2 - R -1 = 0 .

Положительный корень этого уравнения дает эквивалентное сопротивление для бесконечной цепочки:

R = 1,61803Ом.

Мы видим, что эквивалентное сопротивление цепочки из восьми - десяти элементов очень близко к сопротивлению бесконечной цепочки. Следовательно, лестничная схема даже с относительно небольшим количеством элементов может рассмат­риваться как бесконечная.



Примечания, а) На практике нулевые провода открытых электрических сетей питания могут рассматриваться как лест­ничные цепи; нулевые провода привязаны к полюсам и заземле­ны, допустим, в каждом десятом полюсе. Такая лестничная схема состоит из двух типов резисторов, но эквивалентное сопротивле­ние бесконечной цепочки можно рассчитать, используя рассмот­ренный метод.

б) Интересно заметить, что вышеупомянутое квадратное уравнение — это уравнение золотой пропорции, решение которо­го - золотое сечение: . Именно таким получается числовое значение эквивалентного сопротивления бесконечной лестничной схемы.

Наконец, ради эстетического удовольствия, производимого дробями с множественным уровнем, стоит выразить эквивален­тное сопротивление бесконечной цепочки, составленной из рези­сторов сопротивлением 1 Ом. На сей раз элементы рассматрива­ются по порядку, но не с конца, а с начала, т.е. начиная с левого конца цепочки:



Если в конце формулы точки (...) заменить на 1, то получим эквивалентное сопротивление первоначальной цепочки из вось­ми элементов.






Задача № 2 «Источник частиц». (6 баллов)

Электроны вылетают из электронной пушки в заданном направлении с постоянной скоростью. Попадая в постоянное однородное магнитное поле, перпендикулярно вектору их скорости, они за время долетают до точки A1 (рис. 1). Если поле увеличить в n = 3 раза, то через время после вылета из пушки они оказываются в точке А2. Где находится источник электронов -электронная пушка? Изобразите её положение относительно точек A1 и А2. Размеры пушки считайте пренебрежимо малыми по сравнению с расстоянием



A1 А2.

Рис. 1

Решение.

В постоянном однородном магнитном поле электроны движутся по окружности радиуса

где т, υ и е — масса, скорость и заряд электронов соответственно, В- индукция магнитного поля. При этом угловая скорость ω = не зависит от скорости электронов. Углы поворота векторов скоростей электронов в первом и во втором случаях:



,

Пусть точка С обозначает положение электронной пушки, О1 и О2 — центры

дуг окружностей, по которым движутся электроны (рис. ). Фигуры CO1А1 и СО2А2 подобны с коэффициентом подобия 3, поэтому точки A1 и А2 и С лежат на одной прямой, причем

откуда А2С =


Рис.



Задача № 3 «Скорость нагревания воды» (10 баллов)

В кастрюлю поместили воду и лед при температуре to = О °С и закрыли ее крышкой. Массы воды и льда одинаковы. Через время = 2 ч 40 мин весь лед растаял. Учитывая, что теплообмен тел в кастрюле с окружающей средой пропорционален разности их температур в начале каждого рассматриваемого процесса и скорость теплообмена сохраняется постоянной во время всего процесса. Рассчитайте:

1. Через какое время температура воды повысится на 1 °С?

2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от 20°С до

21 °С?

Температура воздуха в комнате tк = 25 °С. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг·К).



Удельная теплота плавления льда = 3,2·105 Дж/кг.

Теплоемкость кастрюли не учитывать.



Решение.

По условию задачи теплообмен между содержимым кастрюли и окружающей средой пропорционален разности температур tк - t, где tк — температура воздуха в комнате.

При плавлении льда t = to = О °С. Можно записать выражение для теплообмена при плавлении льда.

m·λ = A (tк –to), (1)

где m- масса льда; А – коэффициент пропорциональности;

A (tк –to)- скорость передачи тепла;  – время плавления.

Из (1) выразим А = (2)

Когда весь лёд растает, то нагреваться от О °С до 1 °С будет масса воды равная 2m, а скорость теплообмена остаётся такая же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:

2m с (1°С - 0°С )=A·(tк –to)Δ1, (3)

Δ1= подставим А, Δ1= == = 4200·10 -3 мин. = 4,2 мин.

При нагревании воды от t = 20 °C до 21 °С (Δt = 1 °С) потребуется время Δ2 :

2m с (1°С - 0°С )=A·(tк – 20°С)Δ2,

Δ2 =; умножим числитель и знаменатель на (tк –to) Δ2 = = , а так как из (3) Δ1 = то


Δ2 = =

Ответ: 1.температура воды повысится на 1 °С через Δ1 =4,2 мин. 2. время, которое потребуется для нагревания воды от 20°С до 21 °С Δ2 =21 мин.





Задача № 4 «Средняя скорость» (8 баллов)

Одну пятую часть всего времени движения автомобиль ехал со скоростью 60 м/с. Затем его скорость была 20 м/с и так он проехал одну третью часть всего пути. Последний участок он проехал со скоростью 10 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.












Задача № 5 «Два зеркала». (10 баллов)

Два плоских зеркала З1 и З2, каждое из которых имеет форму квадрата со стороной a, сложены под прямым углом. Точечный источник света S располагается на расстоянии a от каждого из зеркал (схема опыта приведена на рис. ). Охарактеризуйте возможный ход лучей в данной системе. Найдите построением области, находясь в которых наблюдатель может увидеть сразу




Рис.


одно, два, три или не увидеть ни одного изображения. Заштрихуйте эти области и обозначьте их цифрами 0,1,2,3 в соответствии с количеством видимых изображений источника S.


Решение.


Идущий от источника света S луч может (рис. 66):

1- не отражаться от зеркал;

2- отразиться только от зеркала З1 ;

3- отразиться только от зеркала З2 ;

4- отразиться от зеркал З1 и З2 ;

5- отразиться от зеркал З2 и З1 .





В двух последних случаях луч света после отражений изменяет свое направление на противоположное, и поэтому в дальнейшем он отражаться от зеркал не будет.

В системе зеркал образуются следующие изображения источника света S: S1 при отражении в зеркале З1; S 2 в зеркале З2; S 3 сначала в зеркале З1 затем в зеркале З2 (либо сначала в зеркале З2 а затем в зеркале З1).

Изображение S1 будет наблюдаться в области 1 (рис. 67).

Изображение S 2 в области 2 (рис. 68).








Изображение S 3 , полученное в результате отражения сначала от зеркала З1, затем от зеркала З2 будет в области (рис. 69);

это же изображение, полученное в результате отражения сначала от зеркала З2 , затем от зеркала З1 в области (рис. 70).







Ответ к задаче представлен на рисунке 71. Цифры 0, 1, 2, 3 показывают количество изображений, наблюдаемых в каждой из областей.





Задача № 6 ( 8 баллов)

Как определить коэффициент трения между бруском и поверхностью, имея лишь один измерительный прибор – линейку? Брусок имеет прямоугольную форму, его высота значительно превышает его длину и ширину. Брусок стоит на горизонтальной поверхности вертикально и опирается на самую меньшую свою сторону.




Решение.

Надо определить, на какой максимальной высоте h (отсчитывая от основания) следует приложить к бруску горизонтальную силу, перпендикулярно боковой грани, чтобы брусок мог скользить по поверхности, а не опрокидывался. Тогда μ = , где длина ребра, параллельного приложенной силе.

Задача № 7 «Историческая» (8 баллов)>

На >купюрах >американской >валюты >изображе>ны >основатели >Соединённых >Штатов >Америки и >некоторые >выдающиеся >политические >деятели.>

s >Какой >известный >учёный-естествоиспытатель >(он >изобрёл, >частности, >кресло-качалку) >изобра­>жён >на >одной >из >купюр?>

s >Каков >наиболее >существенный >вклад >этого >учёного >науку?>

s В >чём >заключалась >его >общественная >деятель­>ность >на >благо >своей >родины?>

s >Кто >автор >романа >об >одном >из >эпизодов >жизни >этого >учёного? >Как >он >называется?>

s >Какие >российские >учёные >примерно в> >то >же >время >занимались >той >же >самой >научной >пробле­>мой? >Почему >об >одном >из >них >английский >религиоз­>ный >философ >учёный >Джозеф >Пристли >сказал, >что >он >«нашёл >свою >завидную >смерть»?>

sПриведите другой пример исторической задачи в рамках школьного курса физики. Укажите источник литературы.



Ответ.

- >Бенджамин >Франклин.>

- Создал >первую >теорию >электричества, >иссле­>довал >атмосферное >электричество >изобрёл >мол>ние(громо)отвод.>



- >Участвовал >работе >над >Декларацией >незави>симости >Конституцией >США; >будучи >послом >во >Франции, >добился >значительной >финансовой >помо>щи >участия >французских >волонтёров >войне >за >независимость >(в >числе >этих >добровольцев >был >гер>цог >Лафайет). Лион >Фейхтвангер, >«Лисы >винограднике».>

- М.В.Ломоносов >Георг >Рихман, >который >по­>гиб >при >проведении >опытов >«притягиванием» >мол­>нии >молниеотводу. >









База данных защищена авторским правом ©infoeto.ru 2022
обратиться к администрации
Как написать курсовую работу | Как написать хороший реферат
    Главная страница