|
Задача №1 «Как бесконечная цепочка» (10 баллов)
|
Скачать 114.88 Kb.
Дата |
11.10.2016 |
Размер |
114.88 Kb. |
|
РЕШЕНИЯ задач заочной олимпиады по физике 9-11 кл.
2006-2007 ТОИПКРО стр. из
Задача № 1 «Как бесконечная цепочка» (10 баллов)
Каждый резистор в цепи, изображенной на рисунке 1, имеет сопротивление 1 Ом. Через резистор, расположенный справа, течет ток 1 А. Какова разность потенциалов U на входных клеммах цепи? Каким будет входное напряжение и общий ток, если слева к этой цепочки присоединить еще два резистора поочередно: первый параллельно входу; второй: последовательно. Каково эквивалентное сопротивление цепи? Как изменилось эквивалентное сопротивление цепи, после подсоединения дополнительных резисторов? Сравните этот результат с эквивалентным сопротивлением бесконечной цепи. Сделайте вывод.
|
Рис. 1
|
Решение.
|
Расставим токи в резисторах, начиная с последнего элемента в цепочке (рис.2). Так как ток 1А течет через первый резистор, такой же ток должен течь и через второй, таким образом, разность потенциалов на каждом из этих резисторов 1В.
Как следствие, разность потенциалов на третьем резисторе равна 1 В+1 В = 2 В, и ток, текущий через него, должен быть 2А. Ток, текущий через следующий резистор, равен 1А+ 2 А == 3 А. Ток в пятом резисторе можно определить, используя разность потенциалов 2 В + 3 В = 5 В на резисторах с токами
2 А и 3 А, и т.д., как показано на рисунке.
Легко видеть, что наша цепочка резисторов построена, начиная с последнего элемента, подсоединением элементов поочередно последовательно и параллельно. Сумма токов, текущих через два предыдущих резистора, течет через следующий резистор ряда. Следующий элемент, подключенный параллельно, создает новый электрический контур в цепочке, и поэтому разность потенциалов на этом резисторе равна сумме разностей потенциалов на двух предыдущих. Таким образом, в этой так называемой лестничной схеме согласно законам Кирхгофа можно определить токи и напряжения для каждого резистора.
Заметим, что числовые значения токов (или разностей потенциалов) - числа ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Разность потенциалов на двух последних резисторах равна 21 В + 13 В = = 34 В - это и есть разность потенциалов на входе схемы. Так как общий ток в цепи равен 21 А, то эквивалентное сопротивление схемы будет 34 В/21 А = 1,61905 Ом.
Если, не изменяя входное напряжение 34 В, подсоединить еще один элемент слева к цепи параллельно входу, тогда полный ток увеличивается до 21 А + 34 А = 55 А. В этом случае эквивалентное сопротивление будет равно: 34 В/55 А = 0,61818 Ом. Если включить еще один элемент слева последовательно со схемой, то для обеспечения тока через него 55 А напряжение на входе схемы необходимо увеличить до 34 В + 55 В = 89 В. При этом полное сопротивление цепи будет равно 89 В/55 А= 1,61818 Ом.
|
Если лестничная схема расширяется далее и далее, получается бесконечная цепь. Эквивалентное сопротивление этой цепи можно рассчитать, используя тот факт, что добавление двух дополнительных элементов не изменяет ее сопротивления. Таким образом, целая цепочка может быть заменена одиночным резистором сопротивлением R, который является таким, что, если два
Рис. 230
резистора сопротивлением по 1 Ом каждый подсоединены к ней в комбинации один параллельно, а другой последовательно, эквивалентное сопротивление новой схемы будет также R (рис.230). Для этого необходимо выполнить условие
, где R0 = 1 Ом
Отсюда получаем квадратное уравнение для определения числового значения R:
R2 - R -1 = 0 .
Положительный корень этого уравнения дает эквивалентное сопротивление для бесконечной цепочки:
R = 1,61803Ом.
Мы видим, что эквивалентное сопротивление цепочки из восьми - десяти элементов очень близко к сопротивлению бесконечной цепочки. Следовательно, лестничная схема даже с относительно небольшим количеством элементов может рассматриваться как бесконечная.
Примечания, а) На практике нулевые провода открытых электрических сетей питания могут рассматриваться как лестничные цепи; нулевые провода привязаны к полюсам и заземлены, допустим, в каждом десятом полюсе. Такая лестничная схема состоит из двух типов резисторов, но эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки можно рассчитать, используя рассмотренный метод.
|
б) Интересно заметить, что вышеупомянутое квадратное уравнение — это уравнение золотой пропорции, решение которого - золотое сечение: . Именно таким получается числовое значение эквивалентного сопротивления бесконечной лестничной схемы.
Наконец, ради эстетического удовольствия, производимого дробями с множественным уровнем, стоит выразить эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки, составленной из резисторов сопротивлением 1 Ом. На сей раз элементы рассматриваются по порядку, но не с конца, а с начала, т.е. начиная с левого конца цепочки:
Если в конце формулы точки (...) заменить на 1, то получим эквивалентное сопротивление первоначальной цепочки из восьми элементов.
|
Задача № 2 «Источник частиц». (6 баллов)
Электроны вылетают из электронной пушки в заданном направлении с постоянной скоростью. Попадая в постоянное однородное магнитное поле, перпендикулярно вектору их скорости, они за время долетают до точки A1 (рис. 1). Если поле увеличить в n = 3 раза, то через время после вылета из пушки они оказываются в точке А2. Где находится источник электронов -электронная пушка? Изобразите её положение относительно точек A1 и А2. Размеры пушки считайте пренебрежимо малыми по сравнению с расстоянием
A1 А2.
|
Рис. 1
|
Решение.
|
В постоянном однородном магнитном поле электроны движутся по окружности радиуса
где т, υ и е — масса, скорость и заряд электронов соответственно, В- индукция магнитного поля. При этом угловая скорость ω = не зависит от скорости электронов. Углы поворота векторов скоростей электронов в первом и во втором случаях:
,
Пусть точка С обозначает положение электронной пушки, О1 и О2 — центры
дуг окружностей, по которым движутся электроны (рис. ). Фигуры CO1А1 и СО2А2 подобны с коэффициентом подобия 3, поэтому точки A1 и А2 и С лежат на одной прямой, причем
откуда А2С =
|
Рис.
|
Задача № 3 «Скорость нагревания воды» (10 баллов)
В кастрюлю поместили воду и лед при температуре to = О °С и закрыли ее крышкой. Массы воды и льда одинаковы. Через время = 2 ч 40 мин весь лед растаял. Учитывая, что теплообмен тел в кастрюле с окружающей средой пропорционален разности их температур в начале каждого рассматриваемого процесса и скорость теплообмена сохраняется постоянной во время всего процесса. Рассчитайте:
1. Через какое время температура воды повысится на 1 °С?
2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от 20°С до
21 °С?
Температура воздуха в комнате tк = 25 °С. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг·К).
Удельная теплота плавления льда = 3,2·105 Дж/кг.
Теплоемкость кастрюли не учитывать.
|
Решение.
|
По условию задачи теплообмен между содержимым кастрюли и окружающей средой пропорционален разности температур tк - t, где tк — температура воздуха в комнате.
При плавлении льда t = to = О °С. Можно записать выражение для теплообмена при плавлении льда.
m·λ = A (tк –to), (1)
где m- масса льда; А – коэффициент пропорциональности;
A (tк –to)- скорость передачи тепла; – время плавления.
Из (1) выразим А = (2)
Когда весь лёд растает, то нагреваться от О °С до 1 °С будет масса воды равная 2m, а скорость теплообмена остаётся такая же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:
2m с (1°С - 0°С )=A·(tк –to)Δ1, (3)
Δ1= подставим А, Δ1= == = 4200·10 -3 мин. = 4,2 мин.
При нагревании воды от t = 20 °C до 21 °С (Δt = 1 °С) потребуется время Δ2 :
2m с (1°С - 0°С )=A·(tк – 20°С)Δ2,
Δ2 =; умножим числитель и знаменатель на (tк –to) Δ2 = = , а так как из (3) Δ1 = то
Δ2 = =
Ответ: 1.температура воды повысится на 1 °С через Δ1 =4,2 мин. 2. время, которое потребуется для нагревания воды от 20°С до 21 °С Δ2 =21 мин.
|
Задача № 4 «Средняя скорость» (8 баллов)
Одну пятую часть всего времени движения автомобиль ехал со скоростью 60 м/с. Затем его скорость была 20 м/с и так он проехал одну третью часть всего пути. Последний участок он проехал со скоростью 10 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути.
|
|
|
|
Задача № 5 «Два зеркала». (10 баллов)
Два плоских зеркала З1 и З2, каждое из которых имеет форму квадрата со стороной a, сложены под прямым углом. Точечный источник света S располагается на расстоянии a от каждого из зеркал (схема опыта приведена на рис. ). Охарактеризуйте возможный ход лучей в данной системе. Найдите построением области, находясь в которых наблюдатель может увидеть сразу
|
Рис.
|
одно, два, три или не увидеть ни одного изображения. Заштрихуйте эти области и обозначьте их цифрами 0,1,2,3 в соответствии с количеством видимых изображений источника S.
|
Решение.
|
Идущий от источника света S луч может (рис. 66):
1- не отражаться от зеркал;
2- отразиться только от зеркала З1 ;
3- отразиться только от зеркала З2 ;
4- отразиться от зеркал З1 и З2 ;
5- отразиться от зеркал З2 и З1 .
|
|
В двух последних случаях луч света после отражений изменяет свое направление на противоположное, и поэтому в дальнейшем он отражаться от зеркал не будет.
|
В системе зеркал образуются следующие изображения источника света S: S1 при отражении в зеркале З1; S 2 в зеркале З2; S 3 сначала в зеркале З1 затем в зеркале З2 (либо сначала в зеркале З2 а затем в зеркале З1).
|
Изображение S1 будет наблюдаться в области 1 (рис. 67).
Изображение S 2 в области 2 (рис. 68).
|
|
|
Изображение S 3 , полученное в результате отражения сначала от зеркала З1, затем от зеркала З2 будет в области (рис. 69);
это же изображение, полученное в результате отражения сначала от зеркала З2 , затем от зеркала З1 в области (рис. 70).
|
|
|
Ответ к задаче представлен на рисунке 71. Цифры 0, 1, 2, 3 показывают количество изображений, наблюдаемых в каждой из областей.
|
|
Задача № 6 ( 8 баллов)
Как определить коэффициент трения между бруском и поверхностью, имея лишь один измерительный прибор – линейку? Брусок имеет прямоугольную форму, его высота значительно превышает его длину и ширину. Брусок стоит на горизонтальной поверхности вертикально и опирается на самую меньшую свою сторону.
|
Решение.
|
Надо определить, на какой максимальной высоте h (отсчитывая от основания) следует приложить к бруску горизонтальную силу, перпендикулярно боковой грани, чтобы брусок мог скользить по поверхности, а не опрокидывался. Тогда μ = , где длина ребра, параллельного приложенной силе.
|
Задача № 7 «Историческая» (8 баллов)>
На >купюрах >американской >валюты >изображе>ны >основатели >Соединённых >Штатов >Америки и >некоторые >выдающиеся >политические >деятели.>
s >Какой >известный >учёный-естествоиспытатель >(он >изобрёл, >в >частности, >кресло-качалку) >изобра>жён >на >одной >из >купюр?>
s >Каков >наиболее >существенный >вклад >этого >учёного >в >науку?>
s В >чём >заключалась >его >общественная >деятель>ность >на >благо >своей >родины?>
s >Кто >автор >романа >об >одном >из >эпизодов >жизни >этого >учёного? >Как >он >называется?>
s >Какие >российские >учёные >примерно в> >то >же >время >занимались >той >же >самой >научной >пробле>мой? >Почему >об >одном >из >них >английский >религиоз>ный >философ >и >учёный >Джозеф >Пристли >сказал, >что >он >«нашёл >свою >завидную >смерть»?>
sПриведите другой пример исторической задачи в рамках школьного курса физики. Укажите источник литературы.
|
Ответ.
|
- >Бенджамин >Франклин.>
- Создал >первую >теорию >электричества, >иссле>довал >атмосферное >электричество >и >изобрёл >мол>ние(громо)отвод.>
- >Участвовал >в >работе >над >Декларацией >незави>симости >и >Конституцией >США; >будучи >послом >во >Франции, >добился >значительной >финансовой >помо>щи >и >участия >французских >волонтёров >в >войне >за >независимость >(в >числе >этих >добровольцев >был >гер>цог >Лафайет). Лион >Фейхтвангер, >«Лисы >в >винограднике».>
- М.В.Ломоносов >и >Георг >Рихман, >который >по>гиб >при >проведении >опытов >с >«притягиванием» >мол>нии >к >молниеотводу. >
|
|
|
|