Задачи Шатовской, использовавшиеся на различных олимпиадах. Решения.
138. Рисунок не был сделан «с натуры»: в нём несколько ошибок. С Земли нельзя видеть Луну в созвездии Большой Медведицы, т.к. оно не зодиакальное. Размер Луны преувеличен примерно в 10 раз. Тёмный лимб Луны должен был закрыть от наблюдателя звезду Мегрец. Звёзды показаны одинаковыми по яркости, отсутствует довольно заметная звезда Алькор.
137. Изображена планета Юпитер в необычном ракурсе: с южного полюса. Сфотографировать полюс Юпитера нельзя с Земли, но можно с космического аппарата. Однако это не фотография: ось вращения Юпитера перпендикулярна плоскости орбиты, через полюса проходит терминатор, половина диска планеты (ночная сторона) должна быть тёмной. Однако детали поверхности Юпитера (облачные слои, атмосферные вихри, Большое Красное Пятно) показаны реалистично, цвета подлинные. Ответ: это коллаж из фотографий, сделанных с космического аппарата.
Примечание. Фотографии сделаны автоматической межпланетной станцией «Кассини» в 2000 году. Оригинал коллажа -
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Map_of_Jupiter.jpg?uselang=ru
136. Когда Солнце (или Луна) видны в зените, они ближе к наблюдателю, чем когда видны у горизонта. Разница расстояний примерно равна радиусу Земли. По сравнению с расстоянием до Солнца эта разница пренебрежимо мала, и можно считать, что видимый (угловой) диаметр Солнца в зените и у горизонта одинаков. Однако земной радиус составляет примерно 1/60 от расстояния до Луны, поэтому видимый (угловой) диаметр Луны в зените примерно на полтора процента больше, чем у горизонта. Однако и Солнце, и Луна у горизонта кажутся крупнее, чем высоко в небе – это свойство человеческого восприятия.
У горизонта все небесные светила «краснеют». Это связано с тем, что лучи от светил, наблюдающихся низко над горизонтом, проходят большой путь в атмосфере, в результате чего коротковолновая часть видимого спектра (синие, голубые лучи) рассеиваются, и до наблюдателя доходит только длинноволновая часть (оранжевые, красные лучи).
«Дрожание» солнечного диска связано с преломлением света на неоднородностях атмосферы, в данном случае на восходящих (менее плотных) потоках тёплого воздуха.
135. В астрономии используют карты двух типов: карты поверхностей небесных тел и карты звёздного неба. При построении географической (планетографической) карты и карты звёздного неба решается одинаковая задача – проецирование сферы на плоскость. Поэтому «классические» проекции (азимутальная, цилиндрическая) применяются для обеих целей. Однако ввиду разнообразия практических задач, для которых требуется географическая карта, разработано множество специфических проекций.
Основное отличие географической карты от карты звёздного неба – наличие линейного масштаба. Кроме того, карта звёздного неба представляет собой проекцию внутренней поверхности небесной сферы, в связи с чем восток на этой карте бывает слева, а не справа, если север сверху. Наконец, координатные сетки всех координатных систем, связанных с точкой весеннего равноденствия, постоянно смещаются вследствие прецессии земной оси.
134. Решение задачи будет приведено позже, т.к. она используется на текущем Астрономическом Турнире школьников.
133. (в редакции М.Г.Гаврилова) а) Ночная сторона Луны подсвечена светом Солнца, отражённым от Земли. Это явление называется «пепельный свет». Наблюдается оно при малых фазах Луны, в начале или конце лунного месяца, когда к Луне обращена дневная сторона Земли.
б) Луна наблюдается из северного полушария и имеет вид дужки от буквы Р. Следовательно, это растущая Луна. Она выглядит как тонкий серпик в возрасте 2-3 дней после новолуния. Лунные фазы повторяются через 29,5 суток, поэтому до следующего новолуния примерно 27 дней.
в) Высота фигуры сидящего кота и диаметр Луны на фотографии относятся как 2:3, следовательно, угловая высота кота – примерно 20'. Линейная высота сидящего кота – порядка 40 см, следовательно, расстояние от кота до фотографа r = 3438' x 0,4 м / 20' = 69 м, примерно 70 м.
Высота кота над горизонтом наблюдателя примерно равна высоте Луны над горизонтом. Высоту Луны можно оценить, измерив транспортиром угол наклона серпика к горизонту. Расстояние от фотографа до кота по вертикали будет равно произведению 70 м на синус высоты Луны над горизонтом.
(Оригинал фотографии –
http://kotomatrix.ru/images/lolz/2014/07/07/kotomatritsa_SA.jpg )
132. Т.к. соединение Сатурна в 2009 году произошло 17 сентября, в середине августа того года планета была доступна для наблюдений с Земли и была видна на фоне вечерней зари. Что же необычного можно было заметить в телескоп? На фото Сатурн выглядит необычно: его кольца совсем тусклые и не отбрасывают тень на диск планеты. Так происходит потому, что солнечные лучи освещают кольца «с ребра», т.е. Солнце находится точно в плоскости экватора планеты – на Сатурне равноденствие. Земля находится неподалёку от Солнца, поэтому земной наблюдатель смотрит на кольца тоже «с ребра». При этом кольца Сатурна не видны даже в мощный телескоп.
(Оригинал фотографии - http://www.astronet.ru/db/msg/1321931 )
131. Луноходы действительно работали только в период лунного дня (от солнечных батарей). Луноходы действительно передали на Землю множество фотографий лунной поверхности. Однако ни один из луноходов (ни советские «Луноход-1» и «Луноход-2» в 70-х гг, ни китайский «Юйту» в 2013 г.) не совершал кругосветного путешествия по Луне: все они обследовали равнинную местность Моря Дождей.
130. Известно такое свойство цефеид: цефеиды с одинаковым периодом изменения блеска имеют одинаковую светимость. Различие в наблюдаемом с Земли блеске обусловлено только расстоянием. Цефеида А ярче цефеиды В на 3 звёздные величины, то есть световой поток от неё интенсивней в 16 раз. Следовательно, цефеида А в 4 раза ближе, чем цефеида В.
129. Чтобы с Марса в момент противостояния наблюдалось прохождение Земли по диску Солнца, необходимо, чтобы Марс находился бы в плоскости эклиптики. Но в этом случае для земного наблюдателя трек Марса имел бы вид отрезка, а не петли. Следовательно, прохождения не наблюдалось.
128. Широта этого пункта 38o47’(северная). Поскольку Сириус на небесной сфере расположен севернее, чем Антарес (ближе к небесному экватору), то он проводит над горизонтом больше времени. Кроме того, Сириус – зимняя звезда, а Антарес – летняя, и наблюдать Сириус удаётся чаще ещё и потому, что зимой весь его суточный путь над горизонтом приходится на тёмное время суток.
127. На первом рисунке неправильно показано направление видимого движения звёзд: в северном полушарии они движутся против часовой стрелки.
На рисунке, иллюстрирующем солнечное затмение, Земля повёрнута к Солнцу северным полюсом, а Луна обращается по меридианальной орбите. Кроме того, не затенена ночная сторона Земли.
На рисунке, изображающем движение Луны вокруг Земли, преувеличена кривизна лунной орбиты, а траектория Луны показана замкнутой, как если бы в году было ровно 12 лунных месяцев. Кроме того, Земля и Луна затенены со стороны Солнца.
126. Невооружённый глаз в идеальных условиях видит на всей сфере около 6000 звёзд и половину из них одновременно можно видеть над горизонтом. Нашему наблюдателю доступно в 25/6 или 25/3 раз больше звёзд (в зависимости от того, имел ли в виду поэт всю сферу или половину). Приняв для оценочного расчёта, что все звёзды имеют одинаковую яркость и распределены в пространстве равномерно, делаем вывод, что наблюдатель заглянул в космос на расстояние, превышающее предел невооружённого глаза в 1,6 или 2,0 раза ((25/6)1/3 или (25/3)1/3), а минимальный световой поток от наиболее удалённых из этих звёзд слабее минимального потока, видимого невооружённым глазом, в 2,6 или в 4 раза (1,62 или 2,02). Значит, площадь объектива использованного прибора больше площади зрачка в 2,6 или в 4 раза, а диаметр – в 1, 6 или 2 раза, т.е. (умножим на 5-6 мм) равен 8-12 мм.
Простейший бинокль имеет объективы от 25 мм и больше. Следовательно, наш наблюдатель пользуется самым простым биноклем и при этом проводит наблюдения в условиях сильной засветки, например, из большого города.
125. Во-первых, синодический период у Меркурия гораздо короче, чем у Венеры (116 и 584 суток соответственно). Поэтому подходящая конфигурация Меркурия бывает в пять раз чаще, чем у Венеры. Во-вторых, Меркурий в нижнем соединении почти вдвое ближе к Солнцу (и вдвое дальше от Земли), чем Венера, поэтому для земного наблюдателя он оказывается ближе к эклиптике и чаще проецируется на солнечный диск.
124. Конфигурация планет, когда Земля оказывается на линии, соединяющей Солнце и Марс, называется противостоянием Марса (обычным, а не великим, как пишет автор учебника). Блеск Марса во время обычного противостояния меньше, чем у Юпитера и тем более Венеры. Лишь во время величайшего противостояния 2003 года Марс по блеску сравнялся с Юпитером (-2,7m), уступая в блеске Венере на две звёздные величины. Полёт на Марс по касательной траектории занимает более двухсот суток, поэтому стартовать к Марсу нужно более чем за полгода до противостояния.
123. Объём спутника V = 4r3/3 = 4x3,142x(55м)3/3=697 тыс. м3 Средняя плотность вещества спутника – = m/V= 1,867х109кг/6,97x105 = 2679 кг/м3 . Плотность гранита – 2600 кг/м3, золота 19320 кг/м3. Очевидно, золота в метеорите гораздо меньше, чем гранита.
Обозначим объём золота как Vз, объём гранита как V- Vз. Выразим общую массу вещества как сумму масс золота и гранита: m = зVз+г(V- Vз). Отсюда Vз= (m-гV)/з - г) = 3278 м3. Если предположить, что золото распределено ровным слоем по поверхности метеорита, толщина этого слоя составит Vз/4r2 = 0,086 м или примерно 9 см.
122. Поскольку Луна восходит в полночь, её фаза – последняя четверть. Солнце в середине лета находится в созвездии Близнецов, а Луна – на 90о западнее по эклиптике – там, где Солнце находилось в середине весны, на границе Рыб и Овна. На таком угловом удалении от Солнца могут наблюдаться только верхние планеты. Невооружённым глазом видны три – Марс, Юпитер и Сатурн.
121. Ошибки нет. Равноденствие - это событие (пересечение центром Солнца небесного экватора), и оно происходит в определённый момент времени. В школьном астрономическом календаре указывается московское время событий, а авторы интернет-сайтов обычно используют всемирное время, которое отстаёт от московского на 4 часа. В 2013 году осеннее равноденствие произошло 23 сентября в 0 часов 45 минут по московскому времени, что соответствует 20 часам 45 минутам и дате 22 сентября по всемирному времени.
120. Вес марсохода на Марсе меньше его веса на Земле во столько же раз, во сколько раз ускорение силы тяжести Марса меньше земного. Выразим g через среднюю плотность и радиус планеты: g=GM/R2, M=V, V = 4R3/3, отсюда g=4GR/3, то есть ускорение силы тяжести прямо пропорционально средней плотности планеты и радиусу планеты. Поэтому ускорение силы тяжести на Марсе составляет 0,713х0,533=0,380 от земного, а вес марсохода – 8,79кНх0,380=3,34 кН.
119. Неправильно указано расстояние до Луны. Оно составляет примерно 400 тыс. км, а не 150 тыс. км.
118. а) Блеск полной Луны составляет –12,7m. Оценим освещённость от спутника при наименьшем расстоянии от наблюдателя и наибольшей фазе. Спутник находится примерно в тысячу раз ближе к наблюдателю, чем Луна, площадь его диска меньше площади диска Луны в (3500км/0,11км)2=109 раз, а коэффициент отражения его поверхности больше примерно в 10 раз (Луна отражает 7% падающего света, золото в разных участках видимого света – от 28 до 95 %). Пренебрегая фазой спутника, сравним освещённость от полной Луны и спутника: Ел/Ес = (rc/rл)2 (Sл/Sс)(л/с)=10-6x109x0,1=100. Получается, спутник всего на 5 величин уступает полной Луне и светит как –7,7m. Даже с учётом фазы и большего расстояния до наблюдателя спутник превосходил бы по блеску Венеру.
б) Примем блеск спутника за -6m. Это на 12m меньше, чем предел чувствительности глаза. Отношение освещённостей составит 63100. Чтобы спутник не был виден невооружённым глазом, площадь его диска должна быть в 63100 раз меньше, а диаметр – в (63100)1/2 = 251 раз меньше, т.е. 0,44 м.
117. Радиосигнал преодолевает удвоенное расстояние до собеседника за 3971 секунду. Поскольку 1 а.е. сигнал проходит за 500 с, а в обе стороны - за 1000 с, расстояние до Юпитера равно 3,971 а.е. Это меньше, чем расстояние до планеты в среднем противостоянии (5,2-1 = 4,2 а.е.) Поэтому рисунок должен отражать не просто конфигурацию противостояния Юпитера, но и расположение планеты в точке перигелия.
Мы пренебрегли расстоянием от Ганимеда до Юпитера, составляющим чуть более миллиона километров (менее 4 световых секунд), и отличием орбиты Земли от окружности, не превышающим двух с половиной миллионов километров (менее 9 световых секунд).
Воспользовавшись справочными данными, вычислим перигелийное расстояние Юпитера: 5,203(1-0,0484)=4,951 а.е. При перигелийном противостоянии расстояние до Земли 3,951а.е., т.е. в описанный в рассказе момент Юпитер действительно очень близко к перигелию. Следовательно, гелиоцентрическая долгота Земли в этот момент такая же, как долгота перигелия Юпитера – около 15о . Нулю гелиоцентрическая долгота Земли равна в момент осеннего равноденствия и за сутки она изменяется примерно на градус. Таким образом, после равноденствия прошло 15 суток – это начало октября. Как раз в это время расстояние от Солнца до Земли точно равно 1 а.е., что мы и приняли при расчёте расстояния между планетами.
116. а) Циферблат часов используется для измерения угла между Солнцем и меридианом. Солнце бывает над точкой юга в местный полдень (с точностью до уравнения времени) и перемещается вдоль суточной траектории за час на 15°. Стрелка часов за час поворачивается на 30°, поэтому считанный с циферблата угол нужно делить пополам. За начало отсчёт принимается "1", а не "12", поскольку с 1930 года на всей территории нашей страны действовало "декретное время", на час превышающее поясное.
б) Первоначальная точность метода была приемлемой для грубого ориентирования, но невысокой. Наблюдатель ориентируется по истинному Солнцу, которое пересекает меридиан не точно в местный полдень - разница (уравнение времени) может достигать четверти часа в обе стороны. Дополнительную погрешность даёт и то, что наблюдатель может расположить циферблат не в плоскости небесного экватора, а под углом к ней.
Но главную ошибку (до получаса и более в обе стороны) будет вносить долгота наблюдателя, который находится, как правило, не на центральном меридиане часового пояса. Суммарная ошибка в определении направления на юг может, таким образом, превысить 10°.
в) В 1981 году в нашей стране было введено, дополнительно к декретному, и летнее время: в период в конца марта до конца октября часы переводили ещё на час вперёд. Поэтому пользоваться описанным методом ориентирования стало возможно только пять месяцев в году, когда часы показывали «зимнее» время. Затем, в феврале 2011 года, президент Д.А.Медведев отменил (с осени этого же года) переход на зимнее время. В 2012 году время на часах наблюдателя отличается от поясного уже не на час, а на два, и пользоваться описанным способом ориентирования нельзя. (Можно - если за начало отсчёта угла принимать цифру "2").
115. Автор прав в том, что амплитуда лунного прилива - наибольшая из возможных. Приливные силы обратно пропорциональны кубу расстояния между небесными телами. Возведя в куб отношение апогейного и перигейного расстояний Луны, выясним, что отношение приливных сил равно [(1+0,05)/(1-0,05)]3=1,35.
Автор прав и в том, что в фазе полнолуния (и новолуния), когда Солнце, Луна и Земля расположены на одной прямой, лунный и солнечный приливы складываются. Если учесть, что средний солнечный прилив всего вдвое слабее среднего лунного, это существенная прибавка.
Однако амплитуда солнечного прилива тоже зависит от расстояния - в данном случае между Землёй и Солнцем. С учётом эксцентриситета земной орбиты (0,017) получаем отношение приливных сил в перигелии и афелии - 1,11. Солнечный прилив бывает максимальным в начале января, когда Земля проходит перигелий. Следовательно, прилив в гиперлуние 10 января 2005 года был выше прилива в гиперлуние 19 марта 2011 года.
114. Оценим среднюю температуру на планете в перицентре как 300 К, в апоцентре - как 250 К. Будем считать, что поток тепла из недр планеты пренебрежимо мал по сравнению с излучением от звезды. Примем также, что альбедо планеты мало зависит от её температуры (в холодный сезон поверхность светлее, в тёплый в атмосфере больше облаков). Тогда уравнение теплового баланса будет выглядеть так: Е1R2=T44R2, где R - радиус планеты, Е1 – поток излучения через 1 кв.метр её сечения, а - постоянная Стефана-Больцмана. Отсюда T4=E1/4, а отношение четвёртых степеней температур в перицентре и апоцентре равно отношению потоков излучения. С другой стороны, поток излучения ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния до звезды. Поэтому отношение потоков в перицентре и апоцентре равно (1+е/1-е)2, где е - эксцентриситет орбиты планеты. После подстановки этого отношения в предыдущее получаем (Tп/Та)2=1+е/1-е, откуда е=0,18 - всего вдвое больше, чем у Марса.
113. Внимательный наблюдатель может опознать на фото участок звёздного неба (справа Кастор и Поллукс, в центре Ясли, слева голова Льва и Регул) и вспомнить, что эклиптика проходит чуть ниже (южнее). Однако задачу можно решить и «в общем виде». В момент противостояния, в середине петли, Марс находится ближе к Земле, чем в других точках траектории. На небесную сферу петля спроецировалась выше (севернее) остальной траектории потому, что земной наблюдатель смотрел на планету «снизу», следовательно, Марс находился севернее плоскости эклиптики.
112. Приближённый ответ можно получить при помощи чертежа, выполненного с соблюдением масштаба.
Солнце обозначим в центре рисунка. Орбиту Земли изобразим в виде окружности радиусом 1 а.е. или 500 световых секунд (удобный масштаб в 1 см 0,2 а.е. или 100 св.с.). Положение Земли на орбите выберем произвольно. Орбита Венеры имеет диаметр 0,72 а.е (3,6 см). Осталось отметить на этой окружности точки, удалённые от Земли на 3 см. Таких точек (возможных положений Венеры) будет две.
Из чертежа понятно, что направление от Венеры к Солнцу примерно перпендикулярно лучу зрения, поэтому фаза Венеры близка к 0,5.
Для получения точного ответа нужно применить тригонометрию. Сначала определим угол фазы SVT между направлениями с Венеры на Солнце и на Землю. В треугольнике SVT сторона ST равна 1 а.е., сторона SV равна 0,72 а.е. (орбиты планет считаем окружностями), сторона TV = c*t = 3*108м/c*300c = 9*1010м = 0,6 а.е. По теореме косинусов
cosSVT = (SV2 + TV2 - ST2)/(2*SV*TV) = - 0,14,
а сам угол SVT=98 о.
Поскольку плоскость терминатора DE перпендикулярна направлению на Солнце VS, угол DVT между лучом зрения земного наблюдателя и терминатором равен SVT - 90о = 8о.
Фазой планеты называют отношение освещённой части диаметра планеты ко всему диаметру: =AC/AB. В треугольнике CDV угол CDV = DVT = 8о, а сторона CV = DV*sin8о = (AB/2)*sin8о. Таким образом,
= (AB/2-CV)/AB = (AB/2-(AB/2)*sin8 о)/AB=(1 - sin8о)/2 = 0,43.
111. Место, из которого можно видеть все созвездия земного неба, существует - это экватор. При удалении наблюдателя в северное полушарие становятся невосходящими объекты, расположенные вблизи южного полюса мира, при удалении в южное полушарие - расположенные вблизи северного полюса мира. Самое северное из упомянутых созвездий - Дельфин, его центр имеет склонение примерно 15°, поэтому Дельфин не восходит южнее 75 параллели южной широты. Самое южное из упомянутых созвездий - Павлин, его центр имеет склонение примерно -65°, поэтому Павлин не восходит севернее 25 параллели северной широты. Итак, между 25 параллелью северной широты и 75 параллелью южной широты каждое из упомянутых созвездий бывает видно над горизонтом.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, нужно знать прямые восхождения созвездий. Центр Часов имеет прямое восхождение 3,5h, центр Весов - 15h, центр Павлина - 19,5h, центр Дельфина - 20,5h. На экваторе все светила проводят над горизонтом и под горизонтом по половине суток, и несколько объектов могут быть видны одновременно, если их прямые восхождения лежат в интервале менее 12h. Поэтому с экватора можно увидеть одновременно или Весы, Павлина и Дельфина, или Павлина, Дельфина и Часы.
И тем не менее увидеть все четыре созвездия над горизонтом одновременно возможно. Учтём, что Дельфин - самое северное из них — по прямому восхождению расположено примерно в середине интервала. Удалимся в средние южные широты, где Павлин уже не заходит, и выберем момент, когда Дельфин кульминирует на севере. При этом Весы, опережающие Дельфина в суточном движении на пять часов, будут видны на западе, а Часы, отстающие на семь часов, - над юго-восточным горизонтом. Такую картину можно наблюдать в полночь в конце июля-начале августа (когда прямое восхождение Солнца равно 8,5h), до полуночи в сентябре-октябре и после полуночи в июне-июле.
110. На первый взгляд кажется, что утверждение правильное. Действительно, вплоть до 2100 года расхождений в счёте високосных лет у старого и нового стиля не будет. Расхождение появится 14 марта 2100 года по новому стилю, которому будет соответствовать 29 февраля по старому.
Тем не менее, утверждение из учебника не совсем точно. Дело в том, что следующий, XXII век начнётся только 1 января 2101 года! (Поскольку нулевого года в нашей эре не было, счёт лет в столетии начинается с первого года и заканчивается сотым). Таким образом, в конце XXI века будет период в несколько месяцев, когда разница стилей станет равной уже не 13, а 14 суток.
109. Возможно ли, чтобы при наблюдении с Тритона Нептун «оставался на прежнем месте»? – Да, поскольку это синхронный спутник; период его вращения вокруг своей оси равен периоду обращения вокруг планеты, и направления вращений совпадают. Поэтому Тритон, подобно Луне, повёрнут к Нептуну одной своей стороной, и для наблюдателя, находящегося на этой стороне Тритона, Нептун висит над горизонтом в одном и том же месте.
Возможно ли, чтобы «Солнце ходило по кругу»? – Да, поскольку ось вращения Тритона сильно наклонена к эклиптике. Обращаясь вместе с Нептуном вокруг Солнца, Тритон попеременно «показывает» Солнцу то один, то другой свой полюс. Наблюдатель, расположенный в приполярной зоне, действительно может видеть незаходящее Солнце, описывающее полный круг за период вращения спутника (примерно за 6 суток).
Ошибка автора в другом. Персонаж видит Нептун низко над западным горизонтом, а Солнце – низко над восточным. Однако при таком расположении светил фаза Нептуна должна быть почти полной. Тогда как автор описывает «большой полумесяц».
108. Сделаем рисунок: изобразим земной шар (точнее, его сечение плоскостью московского меридиана) и обозначим О – центр Земли, М- Москва и S – южный полюс. Пренебрегая сжатием Земли, будем считать треугольник МОS равнобедренным: угол МОS в нём равен 146о , т.к. широта Москвы – 56о. В точке М отрезок МО – это вертикаль, а МS – направление на южный полюс; угол между ними равен (180о -146о):2=17о.
Теперь вычислим расстояние. Сторона МS треугольника равна 2*ОМ*cos17о =1,913*ОМ. Приняв земной радиус ОМ равным среднему (6371 км), получим МS = 12185 км ≈12200 км.
|