Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию

Балансовая модель записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства(баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую отрасль».

Многие машиностроительные заводы помимо основной продукции производят литьё, занимаются термической обработкой металлов и др. Перечисленные виды продукции не соответствуют профилю машиностроительной отрасли. Они относятся к металлургии. В то же время металлургические заводы имеют цеха или участки, производящие непрофильную продукцию. Поэтому, чтобы правильно отразить взаимосвязи между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей. Непрофильную продукцию каждого предприятия следует учесть при определении объема продукции соответствующей ей отрасли.

Таким образом, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных её видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведённой на предприятиях, относящихся к другим отраслям.

Под экономической системой понимают совокупность взаимосвязанных, взаимозависимых отраслей. Экономическая система может включать в себя все отрасли материального производства либо часть из них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта по отраслям, межотраслевые потоки, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономическая система состоит из n взаимосвязанных отраслей: . Валовой продукт й отрасли обозначим через . Конечный продукт каждой отрасли обозначим через . Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использует продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п.

Пусть - затраты продукции й отрасли на производство продукции .

Если перечисленные показатели представлены в межотраслевом балансе в тоннах, литрах и т.п., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении. Далее под будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость соответствующей продукции. Такой баланс называется стоимостным.

Экономическая система состоит из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может быть охарактеризовано одним числом: в качестве характеристики выпускаемой каждым экономическим объектом продукции выбираем её валовой продукт:

Для выпуска данного количества продукции экономический объект должен получить строго определенное количество продукции других объектов:

Здесь - стоимость той части продукции й отрасли , которую должна использовать отрасль в качестве сырья, полуфабрикатов, топлива и т.д., чтобы обеспечить выпуск своей продукции в объёме .

Увеличение выпуска продукции в некоторое число раз требует увеличения потребления экономическим объектом всех указанных выше продуктов также в раз. Другими словами, нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции. Для того чтобы отрасль выпустила валовой продукции стоимостью в одну денежную единицу, она должна получить от отраслей системы продукции на денежных единиц, а для обеспечения всего валового выпуска й отрасли потребуется соответственно:

Продукции отраслей системы.

Аналогичные соотношения имеют место для всех отраслей системы:

(1)

Коэффициенты пропорциональности называют коэффициентами прямых внутрипроизводственных затрат – это затраты й отрасли на единицу (рубль) валовой продукции й отрасли.

Выпускаемая каждым экономическим объектом продукция частично потребляется другими экономическими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребление), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в форме конечного продукта):

(2)

Таким образом, с учетом (1) система (2) примет следующий вид:

Система (3) представляет собой линейную балансовую модель.

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объёмов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (3) в матричной форме имеет вид:

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях.

В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления : из (4) следует, что

где E – единичная матрица той же размерности, что и матрица прямых затрат A.

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени Т (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (4) с известной матрицей A и заданным вектором . Из (4) следует, что

где обратная матрица. Она называется матрицей полных затрат.

Если решение уравнения (4) существует, то матрица A называется продуктивной.

Критерии продуктивности:

1. 
   Матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и её элементы неотрицательны.
   
2. 
   Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу или строке не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца или строки эта сумма строго меньше единицы.
   

Таблица (1) содержит данные баланса трех отраслей промышленности за отчетный период. Требуется:

1) Убедиться, что модель продуктивна, т.е. найти матрицу коэффициентов прямых затрат и убедиться в том, что она продуктивна;

2) Составить баланс производства и распределения продукции;

3) Найти конечный продукт (вектор конечного продукта ) каждой отрасли для новых значений валовых продуктов отраслей (нового вектора валового выпуска): значения нового вектора валового выпуска больше соответствующих значений старого вектора валового выпуска на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора валового выпуска , а новые значения вектора валового выпуска;

4) Найти валовой продукт (вектор валового выпуска ) каждой отрасли для новых значений конечных продуктов отраслей (нового вектора конечного продукта): значения нового вектора конечного продукта больше соответствующих значений старого вектора конечного продукта на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора конечного продукта , а новые значения вектора конечного продукта .

Табл.1

1. 
   Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат. Из (1)
   

Получим следующую матрицу прямых затрат:

Табл. 2

2. 
   Проверка продуктивности матрицы прямых затрат. Для проверки используем второй критерий. Для этого вычисляем суммы элементов в строках и столбцах. Результаты приведены в таблице (2). Поскольку все суммы элементов и в столбцах и в строках меньше единицы, то матрица продуктивна. Исходя из этого можно утверждать, что для неё существует обратная матрица с положительными коэффициентами.
   
3. 
   Составим баланс производства и распределения продукции.
   

4. 
   Найдем матрицу полных затрат
   

Каждый элемент матрицы B рассчитывается по формуле ; ,

где A_ij- алгебраические дополнения элементов матрицы (E-A); D- определитель матрицы (E-A).

Определитель матрицы (E-A):

Составим матрицу B:

Замечание. Поскольку матрица A продуктивна, то все коэффициенты матрицы полных затрат должны быть положительны. Отрицательные значения будут свидетельствовать об ошибке в расчетах.

5. 
   Вычисление нового конечного продукта (вектора конечного продукта) при измененном валовом выпуске: .
   

6. 
   Вычисление нового валового продукта (вектора валового выпуска) при измененном конечном потреблении: .
   

Современное разнообразие, многосвязность и взаимозависимость задач коммерческой деятельности вызывают большие трудности при планировании реальных сроков их выполнения.

Традиционные, сложившиеся методы планирования и управления зачастую не обеспечивают выполнение операций в коммерческой деятельности в намеченные сроки и не позволяют определить оптимальные объемы ресурсов, а как известно «время –деньги».

Необходимым свойством системы планирования и управления работами является способность оценить текущее состояние, учесть возможное состояние в будущем, предсказать дальнейший ход работ и таким образом предупредить от возможных ошибок, заранее оперативно воздействовать на ход комплекса работ в сжатые сроки и с наименьшими затратами.

Поиски более эффективных способов планирования сложных процессов привели к созданию принципиально новых методов сетевого планирования и управления (СПУ). Такие системы предназначены для управления комплексов взаимосвязанных работ, коммерческих операций, разработок, которые требуют четкой координации взаимодействия множества исполнителей. СПУ позволяет осуществить надежную координацию всех звеньев и подразделений, участвующих в сложном комплексе. В таких случаях СПУ, по существу, является единственно возможным методом научного планирования и управления по выполнению больших масштабов работ с высокой вероятностью соблюдения заданных сроков их реализации, что является их главным достоинством.

Система методов СПУ - система методов планирования и управления разработкой крупных народнохозяйственных комплексов, научными исследованиями, конструкторской и технологической подготовкой производства, новых видов изделий, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Система СПУ представляет собой комплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий с целью моделирования, анализа и оптимизации плана работ по созданию проекта.

Под проектом (комплексом работ, комплексом операций) будем понимать всякую задачу, для выполнения которой необходимо осуществить достаточно большое количество разнообразных работ. Это может быть и строительство некоторого здания, и разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета, и обучение в институте и т.д.

Основным документом в системе СПУ является сетевой график (сетевая модель, сеть), представляющий собой безмасштабное графическое изображение планируемого процесса и отражающий взаимосвязь и последовательность входящих в него работ.

Объектом управления в системах СПУ является коллектив исполнителей, располагающий определенными материальными и денежными ресурсами и выполняющий комплекс работ, направленных на достижение конечного результата в установленные сроки.

Система СПУ охватывает следующие основные этапы планирования и управления комплексом работ:

1. 
   выявление работ, которые необходимо выполнить в процессе создания проекта и связей между ними;
   
2. 
   построение сетевого графика проекта на основе предварительно составленного перечня всех входящих в этот процесс работ и связей между ними;
   
3. 
   установление количественных оценок по каждой работе: время, стоимость, ресурсы;
   
4. 
   расчет параметров сетевого графика вручную или с помощью ЭВМ;
   
5. 
   анализ и оптимизация сетевого графика с целью получения определенных оптимальных показателей: минимальное время выполнения комплекса работ, минимальная стоимость, максимальная экономия ресурсов;
   
6. 
   использование сетевого графика как основного инструмента управления ходом работ.
   

В зависимости от масштаба комплекса работ различают такие системы: с числом событий в сети 10-12 тыс. – большие разработки, средние – 1,5-10 тыс. и малые – до 1,5 тыс. В случае небольших разработок от нескольких десятков событий до 100 используются ручные методы расчета и анализа, в остальных случаях – по специальным компьютерным программам.

Методы и модели СПУ могут с успехлом применяться в коммерческой деятельности при выполнении различных комплексов работ: проведение текущего или капитального ремонта, реконструкция коммерческих торговых предприятий, подготовка и проведение оптовых и розничных ярмарок, разработка плана коммерческой деятельности, заготовка, строительство универсальных оптовых предприятий, разработка плана развития торговой сети, планирование торговой деятельности, составление бухгалтерского отчета, поставка товаров покупателям, заключение договоров на поставку и т.д.

Для того чтобы составить план работ по осуществлению больших и сложных проектов, состоящих из тысяч отдельных операций и исследований, необходимо описать его с помощью некоторой математической модели. Таким средством описания проектов (комплексов) является сетевая модель.

Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком.

Сетевой график - это конечный плоский ориентированный граф без контуров, дуги которого имеют одну или несколько числовых характеристик.

Отличительной особенностью сетевой модели является четкое определение всех временных взаимосвязей предстоящих работ.

В сетевом графике имеются два основных элемента: работа и событие. Работы соответствуют дугам графа, а события - вершинам. Работами называются любые процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов (событий). Продолжительность выполнения работ измеряется в единицах времени (часы, дни, недели, декады, месяцы и т.д.). Работы могут иметь и такие количественные показатели, как трудоемкость, стоимость, материальны ресурсы для их выполнения.

В сетевом графике может несколько разновидностей работ: действительная работа, ожидание и фиктивная работа (зависимость). Действительной называется работа, требующая затрат времени и ресурсов (например, сборка изделия, испытание прибора и т.п.). Каждая действительная работа должна быть конкретной, четко описанной и иметь ответственного исполнителя. Ожиданием называется работа, которая требует затрат времени, но не требует затрат ресурсов (например, процесс отвердения бетона, процесс сушки после покраски и т.п.). Фиктивная работа отражает логическую связь между работами и не требует затрат времени и ресурсов. Фиктивная работа указывает, что возможность начала одной работы непосредственно зависит от результатов другой (например, передача чертежей из конструкторского бюро в цех для изготовления определенных деталей и узлов). Действительные работы и ожидания изображаются на графике сплошными стрелками, фиктивные работы - пунктирными. Количественные показатели (время, стоимость и т.д.), характеризующие работу, проставляются над стрелками (рис.10.1). Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю.

6

Рис.1

На сетевом графике выделяются два события: начальное и конечное. Начальное событие характеризуется тем, что в него не входит ни одна дуга - оно соответствует началу работ над проектом. Конечное событие характеризуется тем, что из него не выходит ни одной дуги - оно соответствует завершению всех работ (достижению поставленной цели).