Задача 5. Дискретная случайная величина
Условия вариантов задачи
В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица. 5.1
Вариант
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
p1
|
p2
|
p3
|
p4
|
p5
|
5.1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.2
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
5.3
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
0,4
|
0,1
|
0,1
|
0,3
|
0,1
|
5.4
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
0,3
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
5.5
|
-2
|
-1
|
1
|
3
|
7
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.6
|
-2
|
-1
|
1
|
3
|
7
|
0,1
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.7
|
-5
|
-2
|
0
|
1
|
2
|
0,5
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
5.8
|
-5
|
-2
|
0
|
1
|
2
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
0,3
|
0,3
|
5.9
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.10
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
5.11
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0
|
5.12
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
0,6
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
5.13
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
0,3
|
5.14
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0
|
5.15
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
0,5
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
5.16
|
-5
|
-4
|
-3
|
5
|
6
|
0,1
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.17
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
9
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
0,3
|
5.18
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
9
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
5.19
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
9
|
0,15
|
0,15
|
0,2
|
0,4
|
0,1
|
5.20
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
0,6
|
5.21
|
1
|
4
|
7
|
8
|
9
|
0,3
|
0,15
|
0,25
|
0,15
|
0,15
|
5.22
|
1
|
4
|
7
|
8
|
9
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.23
|
-10
|
-4
|
0
|
4
|
10
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
0,2
|
5.24
|
-10
|
-4
|
0
|
4
|
10
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
0,3
|
5.25
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,35
|
0,05
|
5.26
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
0,7
|
0,1
|
0,1
|
0,05
|
0,05
|
5.27
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
0,2
|
0,3
|
0,05
|
0,25
|
0,2
|
5.28
|
1
|
4
|
5
|
7
|
8
|
0,6
|
0,1
|
0,1
|
0,05
|
0,15
|
5.29
|
1
|
4
|
5
|
7
|
8
|
0,3
|
0,3
|
0,1
|
0,15
|
0,15
|
5.30
|
5
|
6
|
7
|
9
|
12
|
0,05
|
0,15
|
0,2
|
0,4
|
0,2
|
5.31
|
0
|
2
|
4
|
8
|
10
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,1
|
*
|
5.32
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
0,5
|
0,1
|
*
|
0,1
|
0,2
|
5.33
|
-4
|
-3
|
-1
|
0
|
1
|
0,2
|
*
|
0,2
|
0,1
|
0,4
|
5.34
|
-6
|
-3
|
-1
|
0
|
2
|
*
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
5.35
|
2
|
3
|
4
|
8
|
10
|
0,3
|
*
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
5.36
|
0
|
2
|
3
|
6
|
5
|
0,2
|
0,2
|
*
|
0,2
|
0,2
|
5.37
|
1
|
3
|
5
|
6
|
8
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
*
|
0,2
|
5.38
|
-1
|
0
|
1
|
3
|
6
|
0,1
|
0,5
|
0,1
|
*
|
0,1
|
5.39
|
-4
|
-2
|
0
|
2
|
5
|
0,4
|
0,1
|
*
|
0,1
|
0,1
|
5.40
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
*
|
0,3
|
0,1
|
0,3
|
0,1
|
Методические указания
Случайная величина (СВ) – это величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем заранее до опыта неизвестно, какое именно. Обозначения случайной величины: X, Y; а их значения: x, y.
Случайная величина Х называется дискретной, если ее множество возможных значений ?X – счетное, т.е. элементы множества можно расположить в определенном порядке и пронумеровать.
Закон распределения случайной величины — любое правило, устанавливающее соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.
Рядом распределения дискретной СВ X называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения СВ , а в нижней — вероятности их появления , где :
Так как события несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение
. (5.1)
Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент x функции F(x): .
Свойства функции распределения:
1. F(-¥ ) = 0 и F(+¥ ) = 1.
2. Неубывающая функция: .
4. Вероятность попадания значения СВ X в интервал :
(5.2)
Функция распределения дискретной СВ определяется так:
(5.3)
где – вероятности ряд распределения этой СВ.
Здесь суммируются вероятности всех тех значений , которые по своей величине меньше, чем x – аргумент функции F(x).
Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для дискретной СВ определяется по формуле
(5.4)
Как видно из (5.4), в качестве математического ожидания СВ используется «среднее взвешенное значение», причем каждое из значений случайной величины учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для дискретной СВ определяется по формуле:
(5.5)
Примеры
Пример 5.1. По командному пункту противника производится пуск трех ракет, причем вероятность попадания в цель при пуске одной ракеты равна 0,8. Построить ряд распределения числа попаданий.
Решение. Определим случайную величину X как число попаданий в цель при трех пусках ракет. Эта случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятность принятия величиной X этих значений, используя формулу Бернулли:
,
,
,
.
Ряд распределения имеет следующий вид
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
|
0,008
|
0,096
|
0,384
|
0,512
|
Как видим, условие (5.1) выполняется.
Пример 5.2. Зная ряд распределения для случайной величина X , описанной в примере 5.1, построить график функции распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины X.
Решение. Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений , взятых из ряда распределения (пример 5.1).
1. .
2.
3. .
4.
5. При , согласно свойствам функции распределения,
Рис. 5.1
Опишем построение графика функции распределения F(x) (рис. 5.1). Рассмотрим первый промежуток по оси Х от до 0; согласно пункту 1 значение и линия идет по оси Х до нуля включительно. Второй промежуток по оси Х от 0 до 1; согласно пункту 2 значение значит проводим ступеньку высотой 0,008. Третий промежуток от 1 до 2; согласно пункту 3 значение значит проводим ступеньку высотой 0,104. Четвертый промежуток от 2 до 3; согласно пункту 4 значение значит проводим ступеньку высотой 0,488. Пятый промежуток от 3 до ; согласно пункту 5 значение значит проводим ступеньку высотой 1.
Математическое ожидание дискретной СВ X определим по формуле (5.4):
,
Дисперсию дискретной СВ X определим по формуле (5.5):
|