Задача 6. Непрерывная случайная величина
Условия вариантов задачи
В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Таблица 6.1
Вариант
|
x,c)
|
a
|
b
|
a
|
b
|
|
6.1
|
|
-3
|
3
|
-0,5
|
1,5
|
6.2
|
|
0
|
1
|
0,5
|
1
|
6.3
|
|
-1
|
1
|
0
|
0,5
|
6.4
|
|
-1
|
3
|
-1
|
2
|
6.5
|
|
0
|
1
|
-2
|
2
|
6.6
|
|
-2
|
2
|
-1
|
1
|
6.7
|
|
0
|
?/2
|
?/4
|
?/2
|
6.8
|
|
0
|
?/2
|
?/4
|
p
|
6.9
|
|
0
|
?/3
|
-1
|
1
|
6.10
|
|
-?/2
|
?/2
|
0
|
1
|
6.11
|
|
-?/4
|
?/4
|
0,5
|
1
|
6.12
|
c e-x
|
0
|
|
1
|
2
|
6.13
|
c e-2x
|
0
|
|
1
|
3
|
6.14
|
5 e-cx
|
0
|
|
0
|
1
|
6.15
|
c
|
-2
|
2
|
1,5
|
2
|
6.16
|
c ex
|
0
|
1
|
0
|
0,5
|
6.17
|
c x5
|
0
|
1
|
0,5
|
0,7
|
6.18
|
c x6
|
-1
|
1
|
0
|
2
|
6.19
|
c x7
|
0
|
1
|
0
|
0,25
|
6.20
|
c x8
|
-1
|
1
|
0
|
2
|
6.21
|
c x9
|
0
|
1
|
0
|
0,25
|
6.22
|
c x10
|
-1
|
1
|
-0,5
|
0,5
|
6.23
|
|
1
|
4
|
2
|
3
|
6.24
|
|
1
|
4
|
1
|
2,5
|
6.25
|
|
1
|
2
|
1
|
1,5
|
6.26
|
|
1
|
3
|
1
|
2
|
6.27
|
|
1
|
5
|
1
|
2
|
6.28
|
|
1
|
2
|
1
|
1,5
|
6.29
|
|
1
|
3
|
1
|
2
|
6.30
|
|
1
|
4
|
1
|
3
|
6.31
|
|
1
|
2
|
0,5
|
1,5
|
6.32
|
|
0
|
2
|
1
|
2
|
6.33
|
|
0
|
p
|
0
|
?/2
|
6.34
|
|
-?/6
|
?/6
|
0
|
1
|
6.35
|
c x5
|
0
|
2
|
0
|
1
|
6.36
|
c x6
|
-2
|
2
|
-1
|
3
|
6.37
|
c x7
|
0
|
2
|
0,5
|
0,7
|
6.38
|
c x8
|
-2
|
2
|
-0,5
|
0,25
|
6.39
|
c x9
|
0
|
2
|
1
|
1,5
|
6.40
|
c x10
|
-2
|
2
|
-1
|
1,5
|
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.
Плотность распределения (или плотность вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X в точке x характеризует плотность вероятности в окрестностях точки x и равна производной функции распределения этой СВ:
. (6.1)
График плотности распределения называется кривой распределения.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
. (6.2)
В геометрической интерпретации вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения f(x) и отрезком .
Соотношение (6.2) позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(6.3)
Основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0. Причем f(x) = 0 для тех значений x, которые СВ никогда не принимает в опыте.
2. Условие нормировки:
(6.4)
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для непрерывной СВ определяется по формуле
(6.5)
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для непрерывной СВ определяется по формуле
. (6.6)
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия не совсем удобна. Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение (СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно
. (6.7)
Правило . Практически все значения случайной величины находятся в интервале
. (6.8)
Примеры
Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида
Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:
.
Из условия нормировки следует:
.
Плотность вероятности примет вид
Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.
Для : ,
для : ,
для : .
Окончательно имеем
Вычислим вероятность по формуле (6.2):
.
Так как правый край интервала больше, чем , то .
Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):
Дисперсию случайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):
Пример 6.2. Определить по правилу диапазон возможных значений СВ X из примера 6.1.
Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):
Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):
Как видим, получился интервал, полностью охватывающий точный диапазон значений СВ , который можно определить по свойству 1 плотности вероятности.
|