Тема 6. Числовые характеристики случайных величин
Теоретические сведения
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число: . Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью называется число . Если вероятностная мера определяется функцией распределения, то .
Свойства математического ожидания:
1. , то .
2. : .
3. .
4. . В частности, .
5. Для независимых случайных величин : .
Дисперсией случайной величины называется число . Иногда для вычислений более удобна формула . Величина называется среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего.
Свойства дисперсии:
1. . В частности, , то .
2. .
3.Для независимых случайных величин : .
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины: . Для дискретной: , для непрерывной: .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины: . Для дискретной величины: , а для непрерывной: .
Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения называется величина . Эксцессом случайной величины называется отношение .
Упражнения
-
Вычислить числовые характеристики показательного распределения. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.
-
В нашем распоряжении имеется 5 лампочек, каждая из них с вероятностью 0.4 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу перегорает, после чего заменяется другой. Построить распределение числа испробованных лампочек и найти числовые характеристики.
-
Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: . Найти числовые характеристики этой случайной величины.
-
Определить числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
-
Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие А. Вероятность события А в каждом опыте равна р. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина – число произведенных опытов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее математическое ожидание и дисперсию.
-
Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Рассматриваются случайные величины: – разность между числом попаданий и числом промахов; – сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин и ряд распределения. Найти их числовые характеристики.
-
Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью . Найти характеристики этой случайной величины.
-
Автомашина проходит техосмотр и техобслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределено по закону Пуассона с параметром . Если неисправностей не обнаружено, техобслуживание продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены 1 или 2 неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено более 2 неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание.
-
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью распределения:
а) ; б) .
Тема 7. Двумерные случайные величины
Теоретические сведения
Двумерной случайной величиной ( , ) называется совокупность (система) двух случайных величин. Геометрически ее можно интерпретировать как случайную точку на плоскости.
Функция распределения двумерной случайной величины: .
Свойства функции распределения:
1. ;
2. ;
3. , и – функции распределения случайных величин и соответственно;
4. – неубывающая функция х и у.
Вероятность попадания точки ( ,) в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат:
Плотность распределения двумерной случайной величины выражается через функцию распределения: .
Свойства плотности распределения:
1. ;
2. .
Вероятность попадания точки (x ,h) в произвольную область D:
Функция распределения двумерной случайной величины выражается через плотность:
.
Плотности распределения отдельных компонент:
;
Условные плотности распределения:
.
Для расчета начальных и центральных моментов используются формулы:
;
.
Ковариация характеризует рассеяние и зависимость случайных величин: .
Коэффициент корреляции:
. Всегда .
Упражнения
-
Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина – число попаданий первого стрелка, – второго стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.7, для второго – 0.8. Построить функцию распределения двумерной случайной величины ( , ).
-
По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна 0.75. Рассматриваются две случайные величины: – число попаданий; – число промахов. Построить функцию распределения двумерной случайной величины ( , ).
-
Имеются две независимые случайные величины. – распределена по показательному закону с параметром , а – по показательному закону с параметром . Написать выражения для плотности распределения и функции распределения двумерной случайной величины ( , ).
-
Двумерная случайная величина ( , ) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата со стороной 1. Написать выражение для плотности распределения . Построить функцию распределения . Написать выражения для плотностей компонент. Определить, являются ли случайные величины и независимыми или зависимыми.
-
Найти вероятность попадания случайной точки ( , ) в прямоугольник, ограниченный прямыми: , если известна функция распределения .
-
Найти плотность совместного распределения случайной величины (, ) по известной функции распределения .
-
Найти функцию распределения случайной величины ( , ) по известной плотности совместного распределения: .
-
Двумерная случайная величина ( , ) задана плотностью совместного распределения: . Найти плотности распределения составляющих и . Показать, что и зависимые некоррелированные величины.
-
Двумерная случайная величина ( , ) задана плотностью совместного распределения: . Найти условные законы распределения составляющих и .
|