Вопросы: По какой траектории и как должна двигаться точка, чтобы пройденный ею путь равнялся модулю перемещения?

Обозначим отношение V₃/V₂ = V₂/V₁ =  . На участке 1-2:

откуда

Таким образом

Q₁₂ = 5/2 RT₂ ( - 1)/.

На участке 2-3:

A₂₃ = ½ (P₂ + P₃) (V₃ - V₂) = ½ (P₂V₃ - P₃V₂) =

= ½ RT₂ ( - 1/ ) = ½ RT₂ (² - 1)/ .

По условию

Q₁₂ =2A₂₃,

т.е.

5/2 RT₂ ( - 1)/  = ½ RT₂ (² - 1)/  ,

• 
  = V₂/V₁ = 1.5 .
  

Так как

Q =0, то A = - u.

Гелий – одноатомный газ, и для него

u_г = _г3/2RT,

водород – двухатомный газ, и для него

u_в = _в5/2RT.

Из начальных условий имеем

P_oV_o = (_{г +} _в) RTo.

Но

_г = m/_г = m/4, а

_в = m/_в = m/2, т.е.

_в =2_г, а

_г + _в = P_oV_o/Ro_t ,

откуда находим

_г = 1/3 P_oV_o/RT_o , _в = 2/3 P_oV_o/RT_o.

Таким образом

A = - [(1/3)( 3/2) + (2/3)(5/2)](RT)( P_oV_o/RT_o) ,

откуда T/T_o = - 6/13 A/(P_oV_o) = -1/3 .

= (A₁₂ +A₃₁)/Q₁₂.

Но

Q₁₂=A₁₂,

A₃₁ = -u₃₁ =-C_vТ.

Подставляя эти выражения, получим A = А₁₂=3/2 RТ/(1-).

5. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если давлением снаружи можно пренебречь. ( МФТИ, до1992г)

Ответ: С = 3R ~ 25Дж/(мольК).
Решение.
Воспользуемся 1-ым началом термодинамики:

С Т = С_vТ + PV.

Если радиус пузыря r , давление газа в пузыре по формуле Лапласа равно

Р = 4/r,

объем газа V = 4/3r³ , так что

V = 4r²r.

Для одноатомного газа

PV =RT т.е. (4/r)(4/3r³) = RT

или

16/3r² = RT .

T = 32/3rr/R.

Подставляя это соотношение в первое начало, получаем

ν₁ С_vT₁ + ν₂ С_vT₂ = (ν₁ + ν₂)С_vT .

Числа молей ν₁ и ν₂ выразим из уравнений состояния, записанных для газов в обоих сосудах до опыта, с учетом того, что у них одинаковое давление Р :

ν₁ = PV₁/RT₁; ν₂ = PV₂/RT₂ .

Подставив эти выражения в первое уравнение, получим после упрощений

Т₂ = Т/ [1 – (V₁/V₂)(T – T₁)/T₁] = 525K.

ν₁ Сv Т₁ + ν₂ CvТ₂ = ν₁ Сv Т + ν₂ CvТ.

Отсюда температура смеси

Т = (ν₁ Т₁ + ν₂ Т₂)/ (ν₁ + ν₂) .

С = ΔQ/mΔТ.

По первому закону термодинамики

ΔQ= m C_v ΔТ + PΔV.

Отсюда

С = С_v + PΔV/mΔТ = 850Дж/(кгК).

Q₁ = mr.

При охлаждении получившейся воды до t = 40^oC выделяется количество теплоты

Q₂ = mC₃(t₂ – t).

При нагревании льда от t₁ = -10^oC до t_o = 0^oC поглощается количество теплоты

Q₃ = C₂m₂(t_o – t₁).

При плавлении льда поглощается количество теплоты

Q₄ = λm₂.

При нагревании получившейся воды от t_o до t поглощается количество теплоты

Q₅ = C₃m₂(t –t_o).

Для нагревания калориметра от t₁ до t требуется количество теплоты

Q₆ = C₁m₁(t – t₁).

По закону сохранения энергии

Q₁ + Q₂ = Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆,

или

m [r + C₃(t₂ – t)] = C₂m₂(t_o – t₁) + λm₂ + C₃m₂(t – t_o) + C₁m₁(t – t₁)

m = [C₂m₂(t_o – t₁) + λm₂ + C₃m₂(t – t_o) + C₁m₁(t – t₁)]/ [r + C₃(t₂ – t)] = 22г.

η = А_П/Q_H,

А₁₂ = - Δu₁₂ = - νC_v(T₂ – T₁) = νC_v(T₁ – T₂).

Работа на изотерме по условию А₂₃ = -А, работа на изохоре А₃₁ = 0. Таким образом, полная работа газа за цикл равна

А_П = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁ = νC_v(T₁ – T₂) – А.

На участке 1-2 Q₁₂ = 0 (адиабата), на участке 2-3 Q₂₃ = A₂₃ (изотерма, т.е. Δu =0), газ отдавал тепло, а не получал. Единственный участок цикла, где газ получал тепло – изохора. При этом

Q₃₁ = Q_П = νC_v(T₁ – T₃) = νC_v(T₁ – T₃) = νC_vΔT,

т.к. Т₁ и Т₂ и есть максимальная и минимальная температуры в цикле. Итак,

η = ( νC_vΔT – А)/ νC_vΔT = 1 – 2А/ (3νRΔT) ,

т.к. С_v = 3/2R (газ одноатомный).

11. Над идеальным газом постоянной массы проводится циклический процесс, состоящий из двух изобар и двух изохор, как показано на рисунке. Заданы значения давлений Р₁ и Р₂ и температуры Т₂. При каком соотношении температур Т₂ и Т₄ полная работа за цикл больше: в случае Т₄ > Т₂ или Т₄ 2 ?(МГУ,1999)

Ответ: при Т₄ > Т₂ .

Решение.
Работа за цикл равна

A = (P₂ – P₁) (V₄ – V₁).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

V₁ = V₂ = ν RT₂ / P₂ , V₄ = νRT₄ / P₁.

Отсюда

A = (P₂ – P₁) (T₄ / P₁ – T₂ / P₂) νR =

= (P₂ – P₁) (T₂/P₂) [(T₄/T₂) (P₂/ P₁) – 1) νR =

= (P₂ – P₁)V₂[(T₄/T₂) (P₂/ P₁) – 1)]

Следовательно, работа за цикл будет больше, если Т₄ > T₂.

12. Идеальный газ массы m = 80г и молярной массы μ = 40г/моль нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления (Т ~ P²) от начального значения Т₁ = 300К до конечного
Т₂ = 400К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла.

Ответ: Q = 4(m/μ) R (T₂ – T₁) = 4A = 3.3кДж.
Решение.
Нарисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа

P V = (m/μ) RT

и условия

T = kP²,

где k = const, получаем

P = (μV)/ (mRk),

т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:
A = ½ (P₁ + P₂) (V₂ – V₁) = ½ (mRk/μ) (P₂² – P₁²) =

= ½ (mR/μ) (T₂ – T₁) = 830Дж.

Количество тепла найдем из первого закона термодинамики:

Q = ΔU + A = (m / μ) 3/2 R (T₂ – T₁) + ½ (m / μ) R (T₂ – T₁) =

= 2 (m / μ) R (T₂ – T₁) = 4A = 3.3кДж
13. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1.25, а отношение объемов на изохорах β = 1.2 . Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет ΔТ = 100К. (МФТИ, до91г)

Ответ: A = R ΔТ (α –1) (β –1)/ (α β –1).

Решение.

Нарисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.);

α = Р₂/Р₁, β = V₂/V₁;

минимальная температура – T₁, максимальная Т₃ ,

Т₃ – Т₁ =ΔТ.

Работа за цикл равна площади цикла

A = (P₂ – P₁) (V₂ – V₁) = P₁V₁ (α – 1) (β – 1) =

= RT₁(α – 1)( β – 1).

P₂/P₁ = T₂/T₁ = α; V₂/V₁ = T₃/T₂ = β →

T₃/T₁ = α β

откуда

T₁ = ΔТ/ (α β - 1).

С ΔТ = C_V ΔТ + PΔV.

Уравнение состояния газа запишется в виде

PV = (k x^α/S) xS = k x^α+1 = RT.

Отсюда

k (α + 1) x^αΔx = R ΔТ, ΔV = SΔx.

С ΔТ = C_V ΔТ + (k x^α/S)S RΔТ / [k(α + 1) x^α]

или

С = C_V + R/(α + 1).

α = R/(C – C_V) –1 = 3/2.

Нарисуем график процесса в координатах

P – V (см. рис.). Пусть конечный объем равен nV_o. Тогда, т.к. 1 – 2 – изобара, температура в точке 2 равна nT_o.

Q₁₂ = C_P ΔТ ; Q₂₃ = - C_V ΔТ ;

Q = Q₁₂ + Q₂₃ = (C_P – C_V) ΔТ = R (n –1) To.

Итак,

N₁ Δt = Q_пот + C (ΔМ₁/μ) ΔT,

N₂ Δt = Q_пот + C (ΔМ₂/μ) ΔT.

Вычитая из второго уравнения первое, получим

N₂ - N₁ = (C /μ) (ΔМ₂/ Δt - ΔМ₁/ Δt) ΔT = (C /μ) (q₂ – q₁) ΔT.

Отсюда

Работу, совершенную паровой машиной можно определить как

A = Nt,

где N – мощность машины. Паровая машина отдает количество теплоты

где m – масса сгоревшего угля. Тогда

η_ф = Nt / mq .

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно

η_ид = (Т₁ – Т₂)/Т₁.

Отсюда

Подставляя численные значения, получим η_ф = 20%, η_ид/η_ф = 1.5.

КПД реального теплового двигателя определяет формула

η = (Q₁ – Q₂)/Q₁ ,

где Q₁ – количество теплоты, переданной нагревателем рабочему веществу в процессе его изохорного нагревания, которому соответствует участок 1 – 2, Q₂ – количество теплоты, переданной газом холодильнику в процессе его изохорного охлаждения, чему соответствует участок 3 – 4. При изохорных процессах работа А = 0, тогда согласно первому закону термодинамики

Q₁ = ΔU₁ = (3/2) νR ΔT₁ и Q₂ = ΔU₂ = (3/2) νR ΔT₂,

где в соответствии с уравнением Менделеева-Клайперона при изохорных процессах

νR ΔT₁ = ΔР₁V₁ и νR ΔT₂ = ΔР₂V₂ ,

поэтому

Здесь ΔU₁ и ΔU₂ – изменение внутренней энергии газа при изохорных процессах 1-2 и 3-4 , R – молярная газовая постоянная, ΔТ₁ и ΔТ₂ – изменения температур газа в процессах изохорного нагревания и охлаждения, ΔР₁ и ΔР₂ – изменения давления газа в этих процессах , V₁ - объем газа в процессе 1-2 , V₂ - объем газа в процессе 3-4 . После этого для КПД реального теплового двигателя получим

η = (ΔР₁V₁ - ΔР₂V₂)/ ΔР₁V₁.

Максимальный КПД идеального теплового двигателя определяется формулой

η_max = (Т₁ – Т₂)/Т₁ ,

где Т₁ – абсолютная температура нагревателя, Т₂ – абсолютная температура холодильника. Если в состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, то его температура в этом состоянии равна температуре нагревателя Т₁ . Аналогично, если в состоянии 4 газ оказался в тепловом равновесии с холодильником, то его температура в этом состоянии равна температуре холодильника Т₂ , т.е. в состоянии 4 температура газа стала равна Т₂. Для нахождения температур Т₁ и Т₂ воспользуемся уравнением Менделеева-Клайперона, применив его к состояниям газа 2 и 4:

P₂V₁ = ν RT₁ и P₄V₂ = ν RT₂ .

Отсюда

После этого для КПД идеального двигателя получим

η_max = (P₂V₁ - P₄V₂)/ (P₂V₁) = 0.75.

19. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, площадь сечения которого равна S, находится один моль газа при температуре Т_о и давлении Р_о (см. рис.). Внешнее давление постоянно и равно Р_о. Газ нагревают внешним источником теплоты. Поршень начинает двигаться, причем сила трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от получаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ поступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении поршня о стенки сосуда. Построить график этой зависимости. Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Меледин, 2.65)

Ответ: T = Q/c + T_o при Q ≤ Q_кр ; T = T_кр + (Q - Q_кр)/{c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]}
при Q > Q_кр, где Q_кр = cT_of/(P_oS) , Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о.

Решение.
Пока поршень покоится, вся теплота идет на нагрев газа:

ΔU = c(T – T_o) = Q, → T = Q/c + T_o при T ≤ T_кр .

Найдем, используя условие равновесия и закон Шарля, критическую температуру Т_кр, при превышении которой поршень начнет двигаться:

(P_кр – Р_о)S = f, P_кр /Т_кр = P_o/T_o.

Отсюда

Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о , Q_кр = cT_of/(P_oS).

Запишем первое начало термодинамики:

Q - Q_кр + ½ A_тр = с (T - Т_кр) + P_кр(V – V_o), где

½ A_тр = ½ f (V – V_o) S = ½ (P_кр + P_o) (V – V_o).

Таким образом,

Q - Q_кр = с (T - Т_кр) + ½ (P_кр + P_o) (V – V_O).

Так как

то

Окончательно

Q - Q_кр = (T - Т_кр) + {c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]} при T > T_кр.

T = T_кр + (Q - Q_кр)/{c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]}.

График зависимости T от Q оказался ломаной линией (см. рис.) состоящей из двух отрезков прямой. Точка излома

Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о , Q_кр = cT_of/(P_oS).

А₁₂ = - Δu₁₂ = с_v(Т₁ – Т₂) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже.

В процессе 2→3 Δu₂₃ = 0, т.е.

Q₂₃ = A₂₃ = ½ (P₂ + P₃)(V₃ – V₂) = ½ P₂V₂(1 + P₃/P₂)(V₃/V₂ – 1).

Поскольку

Т₂ = Т₃, то P₃/P₂ = V₂/V₃ = V₂/V₁ = k.

Тогда

Q₂₃ = ½ RT₂(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT₂ (1 + k )(1 - k)/k.

Q = Q₁₂ + Q₃₁ = ½ RT₂ (1 + k )(1 - k)/k + (3/2 )R(T₁ – T₂).

Отсюда

Т₂ = (9/17)T₁ – (6/17)Q/R ≈ 50 K.

А₁₂ = (3/2)R(T₁ – T₂) = 625 Дж.

(νR/V) = const,

и, следовательно, V = const. Таким образом, работа в процессах (1→ 2) и (3 → 4) равна нулю, а V₁ = V₂ и V₃ = V₄. Работа газа за цикл складывается из суммы работ на участках (2→ 3) и (4 → 1)

А = А₂₃ + А₄₁ = Р₂(V₃ – V₂) + P₁(V₁ – V₄) = (P₂ – P₁)(V₁ – V₄).

Принимая во внимание, что

Р₂/P₁ = T₂/T₁ и V₄/V₁ = T₄/T₁,

получим

А = P₁(Р₂/P₁ – 1)V₁ (V₄/V₁ – 1) = P₁ V₁(T₂/T₁ – 1)(T₄/T₁ – 1) =

A₁₂ = ½ (P₁ + P₂)( V₂– V₁) = ½ R(T₂ – T₁).

A₃₁ = - ½ (P₁ + P₃)(V₂ - V₁) = ½ P₁ V₁(1 + P₃/P₁)( V₂/V₁ – 1).

На прямой 1 → 2:

V₂/V₁ = P₂/P₁ = (T₂/T₁)^1/2.

На прямой 3 → 1:

P₃/P₁ = V₁/V₃ = V₁/V₂ = (T₁/T₂)^1/2 . (V₃ = V₂)

Отсюда

Окончательно получаем

A = ½ R(T₂ – T₁)(1 – (T₁/T₂)^1/2 ).
23. Найти изменение внутренней энергии моля идеального газа при расширении по закону Р = αV (α = const) от объема V₁ = V до V₂ = 2V. Начальная температура газа 0^оС, C_μv = 21Дж/(мольК).

Ответ: Δu = 3 C_μvT₁ = 17.2кДж.

Решение.
Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, необходимо определить закон изменения температуры газа от изменения его объема. Подставляя в уравнение состояния PV = RT (для одного моля) зависимость давления от объема Р = αV, получим

T = αV²/R.

Изменение внутренней энергии одного моля газа равно

Δ U = C_μV ΔT = (α/R)(V₂² – V₁²) C_μV = (α/R)3V² C_μV = 3C_μVT₁ = 17.2 кДж.

L = ΔU + A,

где L – удельная теплота парообразования воды, ΔU – изменение внутренней энергии, А – работа пара по расширению при постоянном давлении:

A = P_нас(V_П – V_B),

где V_П – объем пара, V_B – объем воды. Так как V_П >> V_B

A ≈ P_насV_П = mRT/μ ≈ 170 кДж

Тогда

α = (L – A)/L = 1 – A/L ≈ 0.9.

hρ_Л + hρ_В = h₁ρ_Л + (2h + Δh – h₁)ρ_В,

откуда получаем

h₁ = h + Δh ρ_В/(ρ_В - ρ_Л).

Масса льда увеличилась на величину

Δm = ρ_ЛS(h₁ – h) = SΔh ρ_Вρ_Л/(ρ_В - ρ_Л).

Из условия ясно, что вода замерзла не вся, иначе увеличение уровня было бы равно 0.1h = 2.5 см. Следовательно, образовалась двухфазная система вода-лед, а ее температура при нормальном давлении равна 0^оС. Запишем уравнение теплового баланса:

С_Вm_В(t₁ – t_o) + Δmλ = C_Лm_Л(t_o – t_x),

откуда находим:

t_x = -[ρ_Вρ_Л/(ρ_В - ρ_Л)](Δh/h)( λ/С_Л) - (ρ_В/ρ_Л)(C_В/С_Л)t₁ = -54^oC.

mv = (M + m)u.

разность кинетических энергий в начале движения поршня и в конце, когда колебания затухнут, равна энергии, перешедшей в теплоту:

½ mv² – ½ (M + m)u² = ΔQ = 2cΔT;

отсюда

ΔT = ½ mv²[M/(2c(M +m)].

P₁V = ν₁RT, P₂V = ν₂RT,

P₁^/V = ν₁^/ RT₁^/, P₂^/V = ν₂^/ RT₂^/.

По закону сохранения энергии

с(ν₁ +ν₂)T = c(ν₁^/ T₁^/ + ν₂^/ T₂^/);

отсюда

Так как количество газа не изменяется, то

ν₁ +ν₂ = ν₁^/ + ν₂^/;

тогда

Окончательно

T₂^/ = T/[2 – (T/T₁^/)].
28. В вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь сечения которого равна S, под поршнем массы m находится газ, разделенный перегородкой на два одинаковых объема. Давление газа в нижней части сосуда равно Р, внешнее давление равно Р_о, температура газа в обеих частях сосуда равна Т. На сколько сместится поршень, если убрать перегородку? Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Высота каждой части сосуда равна h. Стенки сосуда и поршень не проводят тепла. Трением пренебречь. (Меледин, 2.59)

Ответ: x = h[c/(c + R)][(P + P_о + mg/S)/(P_о + mg/S)].

Решение
Число молей газа в нижней и верхней частях сосуда

ν₁ = PhS/(RT), ν₂ = (P_о + mg/S)hS/(RT).

После того, как убрали перегородку, давление во всем сосуде стало равно P = P_о + mg/S. Тогда, используя уравнение газового состояния для конечного состояния, получаем

(P_о + mg/S)(2h – x)S = (ν₁ + ν₂)RT₂ = (P + P_о + mg/S)hS(T₂/T).

Поскольку газ в цилиндре теплоизолирован:

ΔQ = ΔU + A = 0,

или

P ΔV = (P_о + mg/S)Sx = c((ν₁ + ν₂)R(T₂ – T) = (c/R)hS(P + P_о + mg/S)[(T₂/T) – 1].

x = h[c/(c + R)][(P + P_о + mg/S)/(P_о + mg/S)].

η = Q_ПОЛ/Q_ЗАТР = Сm(Т₁₀₀ - Т₂₀)/Pτ₁ = 0.89,

где Т₁₀₀ = 373 К, Т₂₀ = 293 К, Р = 900 Вт, τ₁ = 420 с, m₁ = 1 кг, С = 4.2 кДж/(кг^.К).

Полученное значение КПД в интервале температур 20 – 100^оС в большей степени характеризует КПД плитки в близи температуры кипения, т.к. потери тепла за счет рассеяния в окружающую среду максимальны при наибольшей разнице температур среды и нагревательного элемента. Поэтому полученное значение может быть использовано и для расчетов процесса кипения.

Запишем уравнение теплового баланса для процесса кипения воды

ηPτ₂ = λm₂,

где τ₂ = 120 с, m₂ – масса выкипевшей воды, λ = 2.3 МДж/кг. Отсюда

m₂ = ηPτ₂/λ ≈ 42 г,

тогда масса оставшейся в чайнике воды равна m_B ≈ 0.96 кг.

30. В калориметре находится 1 кг льда при температуре Т₁ = -40^оС. В калориметр пускают 1 кг пара при температуре Т₂ = 120^оС. Определить установившуюся температуру и агрегатное состояние системы. Нагреванием калориметра пренебречь.

Ответ: пар и вода, m_П = 0.65 кг, m_В = 1.35 кг.
Решение
Прежде чем составлять уравнение теплового баланса, оценим, какое количество теплоты могут отдать одни элементы системы, а какое количество теплоты могут получить другие. Тепло отдают

1. 
   пар при охлаждении до 100^оС,
   
2. 
   пар при конденсации,
   
3. 
   вода, сконденсировавшаяся из пара при остывании от 100^оС.
   

1. 
   лед при нагревании до 0^оС,
   
2. 
   лед при плавлении,
   
3. 
   вода, полученная изо льда, при нагревании от 0^оС до некоторой температуры.
   

Q_отд = C_Пm_П(Т₂ - 100^о) + Lm_П = (2.2^.10^3.1^.20 + 2.26^.10⁶) = 2.3^.10⁶ Дж.

Количество теплоты, полученное льдом в процессах 1, 2:

Q_пол = C_Лm_Л(0^о – Т₁) + λm_Л = (2.1^.10^3.1^.40 + 3.3^.10⁵) = 4.14^.10⁵ Дж.

Из расчетов ясно, что Q_отд > Q_пол. Растаявший лед затем нагревается. Определим, какое количество теплоты нужно дополнительно, чтобы вода, образовавшаяся изо льда, нагрелась до 100^оС:

Q_пол = C_Вm_Л(100^о – 0^о) = 4.2^.10⁵ Дж.

Следовательно. Суммарное количество теплоты, которое может получить лед в результате процессов 1-3, нагреваясь до 100^оС, есть

Q_{пол,сум} = 8.34^.10⁵ Дж → Q_{пол,сум} отд.

Из последнего соотношения следует, что не весь пар будет конденсироваться. Часть оставшегося пара можно найти из соотношения

m_ост = (Q_отд - Q_{пол,сум})/L = 0.65 кг.

Окончательно, в калориметре будут находиться пар и вода при температуре 100^оС, при этом m_П = 0.65 кг, m_В = 1.35 кг.
31. Электрическим кипятильником мощностью W = 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от 85^оС до 90^оС. Затем кипятильник выключили, и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна С_В = 4.2 кДж/(кг^.К).

Ответ: m ≈ 1.8 кг.

Решение
При нагревании воды

Wτ₁ = C_Bm(T₂ – T₁) + Q₁,

где τ₁ = 120 с – время нагрева, T₂ = 90^оС, T₁ = 85^оС, Q₁ – потери тепла в окружающую среду

Q₁ = W_п τ₁,

где W_п – мощность потерь тепла, зависящая от разности температур воды и окружающей среды.

При остывании воды

C_BmΔT = W_п τ₂,

где ΔT = 1 К, τ₂ = 60 с – время охлаждения воды, мощность потерь в процессах нагрева охлаждения принимаем одинаковой, т.к. разности температур воды и окружающей среды при этих процессах практически одинаковы. Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Wτ₁ = C_Bm(T₂ – T₁) + 2C_BmΔT.

Отсюда

Согласно первому началу термодинамики

Q = ΔU + A,

но поскольку сосуд теплоизолирован Q = 0 и ΔU + A = 0.

Пусть начальное состояние газа характеризуется параметрами P₁,T₁,V₁, а после освобождения поршня и установления равновесия - P₂,T₂,V₂ = 2V₁ (по условию задачи).

Для изменения внутренней энергии можно записать

ΔU = С_vν(T₂ – T₁).

Работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины:

A = ½ kx²,

где х – смещение поршня. Из условия равновесия поршня в конечном состоянии имеем

kx = P₂S,

где S – площадь сечения поршня. Для объема газа в конечном состоянии получим

V₂ – V₁ = ½ V₂ = xS → V₂ = 2xS.

Из уравнения состояния газа следует

P₂V₂ = νRT₂ → (kx/S)(2xS) = νRT₂ → ½ kx² = ¼ νRT₂ = A.

Тогда первое начало термодинамики запишется в виде

С_vν(T₂ – T₁) + ¼ νRT₂ = 0.

Отсюда

И для соотношения давлений:

₂ = ₃ = 1.

В точке 1 пар ненасыщенный и масса пара такая же, как в точке 2 , а объем в 3 раза больше, так как 2-1 изотерма идеального газа. Значит, плотность пара в точке 1 в 3 раза меньше, чем в точке 2, и относительная влажность

₁ =1/3 =0.33.

Если открыть кран в верхней трубке, то уровни сравняются в результате перетекания пара из одного сосуда в другой. При данной температуре давление насыщенного пара одинаково в обоих сосудах у поверхности жидкости и убывает с высотой одинаковым образом. Поэтому давление пара на одном и том же уровне в сосудах неодинаково, что и приводит к перетеканию пара и последующей конденсации его в сосуде с низким уровнем воды.

M = ₁₁₄V - ₆V = (₁₁₄ - ₆ )V ~ 2.4г.

½ PV =(m/μ)RT,

где μ =18г/моль. Отсюда

V =2(m/μ) RT/P ~ 31 10^-3м³ = 31л.

Р_В = ν₁RT/V ~ 1.4 10⁵ Па.

Это больше давления насыщенных паров при 100^oC . Значит, испарилась только часть воды с давлением Р₁ = 10⁵ Па. Объемом оставшейся воды по сравнению с объемом сосуда можно пренебречь. Тогда для парциального давления кислорода имеем

Р₂ = Р – Р₁ ~ 10⁵ Па.

Число молей кислорода

ν₂ = Р₂V/RT ~0.72 моль.

Это соответствует массе m ~ 23г кислорода.
4. В сосуд объема V =20дм³ поставили блюдце, содержащее m = 1г воды. После этого сосуд герметически закрыли и оставили при температуре t = 20^оС, при которой давление насыщенного пара воды равно Р = 2.33кПа. Какая часть воды испарится?

Ответ: Δm/m = 0.34 .


Решение.
Массу водяного насыщенного пара можно определить по уравнению состояния идеального газа:

Δm = PVμ/RT = 0.34г.

Значит, испарилась часть воды равная Δm/m = 0.34 .
5. Термос заполнен кипящей водой и герметически закрыт пробкой. Какая сила потребуется, чтобы открыть пробку, когда вода в термосе остынет до комнатной температуры? Трением пренебречь. Диаметр пробки равен d = 3.

Ответ: F = ρ_oπd²/4 = 70H.

Решение.
Так как давление насыщенного пара при 100^оС равно атмосферному, под пробкой практически нет воздуха. При комнатной температуре давление насыщенного водяного пара много меньше атмосферного, т.е. можно считать, что на пробку сверху действует давление атмосферы, а снизу давление равно нулю. Сила равна
F = ρ_oπd²/4 = 70H.
6. В сосуде под легким поршнем находится 10г воды и ее насыщенных паров при температуре Т = 373К. Найти начальный объем, занимаемый паром, если при изотермическом увеличении объема в 10 раз давление в сосуде упало в 2 раза. Объемом воды можно пренебречь.

Ответ: V₁ = (m/μ)RT/5P_o = 3.4л.

Решение.
Так как PV ≠ const, изменилась масса пара; давление упало, значит, пар стал ненасыщенным. При 373К давление насыщенного пара равно атмосферному давлению Р_о. Давление пара в конце Р₂ = ½ Р_о; найдем его объем, пользуясь уравнением состояния:

P₂ V₂ = (m/μ) RT;

Р₂ = ½ Р_о;

V₂ = 10V₁ ,

откуда

V₁ = (m/μ)RT/5P_o = 3.4л.

mc (T – T_o) = ΔmL,

откуда

Δm = mc(T – T_o)/L = 3.34г.

Его объем при 100^оС:

ΔV = ΔmRT/μP = 5.3л.

Итак, поршень опустится на 53см.
8. Температура воздуха в комнате t₁ = 14^оС, а относительная влажность φ₁ = 60% . В комнате затопили печь, и температура повысилась до 22^оС. При этом некоторая часть воздуха вместе с содержащимся в нем водяным паром ушла наружу, так что давление в комнате не изменилось. Определить относительную влажность при температуре t₂. Давления насыщенного пара при температурах t₁ и t₂ равны, соответственно, Р_Н1 = 12мм.рт.ст. и Р_Н2 = 20мм.рт.ст.

Ответ: φ₁ = 36%.

Решение.
Так как полное давление в комнате не изменилось,

(Р_В + Р_П)₁ = (Р_В + Р_П)₂.

Так как ушли одинаковые части воздуха и пара,

(Р_В / Р_П)₁ = (Р_В / Р_П)₂.

Таким образом

Р_П1 = Р_П2 , но

Р_П2 = φ₂Р_Н1.

Итак ,

φ₂ = φ₁ (Р_Н1 / Р_Н2) = 36%.