Вопросы: По какой траектории и как должна двигаться точка, чтобы пройденный ею путь равнялся модулю перемещения?

Решение

Когда через катушку протекает максимальный ток, ЭДС самоиндукции в ней

ε_с = - L(dJ/dt) = 0.

Следовательно, напряжение на конденсаторе U = ε, а его заряд q = Cε. Именно этот заряд прошел через источник, который совершил при этом работу

A = qε = Cε².

Эта работа пошла на изменение энергии конденсатора и катушки индуктивности

A = W_k + W_L = ½ Cε² + ½ LJ²_max.

Итак

Отсюда

Решение

q_A + q_B = q_o.

U_A = U_B, → q_A/C = q_B/C → q_A = q_B = ½ q_o.

В этом процессе катушка, вследствие своей инерционности не участвует. Следует отметить, что закон сохранения энергии в этом процессе не выполняется: часть энергии выделяется в виде тепла на подводящих проводах, другая часть излучается в виде электромагнитной волны (индуктивность контура из конденсаторов очень мала, поэтому частота колебаний – велика).

Энергия системы конденсаторов, после перераспределения зарядов, будет равна

W₁ = 2[ ½ (½ q_o)²/C] = ¼ CU_o².

Эта энергия является начальной энергией системы «конденсаторы+катушка», которая в процессе дальнейших колебаний не меняется, поскольку участие катушки ограничивает как величину тока, а значит и выделение тепла, так и частоту колебаний в контуре, а, следовательно, потери на излучение.

Когда через катушку протекает максимальный ток, ЭДС самоиндукции в ней

ε_с = - L(dJ/dt) = 0.

Следовательно, напряжение на конденсаторах U = 0, а их энергия тоже равна нулю. Вся энергия системы, т.о., сосредоточена в катушке. Из закона сохранения энергии получим

¼ CU_o² = ½ LJ²_max.

Отсюда

Решение

½ С₁U_o² = ½ С₁U₁² + ½ С₁U₂².

Кроме того, сохраняется заряд:

С₁U_o = С₁U₁ + С₂U₂.

Решая эту систему уравнений, получим для разности потенциалов на конденсаторе С₂

U₂ = 2C₁U_o/(C₁ + C₂) = 200 B.

U_C = U_R = J_oR.

Соответственно, накопленная энергия

W_o = ½ LJ_o² + ½ C(J_oR)².

При колебаниях тока его максимум J_m вычисляется из закона сохранения энергии:

½ LJ_m² = ½ LJ_o² + ½ C(J_oR)².

J_m =J_o(1 + CR²/L)^1/2.


5. Колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости С и катушки с индуктивностью L и сопротивлением R, через ключ K подключен к источнику постоянной ЭДС  (см. рис.). Через некоторое время после замыкания ключа K установится стационарный режим: токи во всех элементах цепи будут постоянны. После этого ключ K снова размыкают. Какое количество тепла выделится в катушке после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. Ответ: Q = ½ ²(CR² + L)/R².
Решение.
В установившемся режиме ток через катушку

I = /R,

Q = W = ½ LI² + ½ C² = ½ ²(CR² + L)/R².

½ LJ_o² = ½ q²/C = ½ U²/C или J_o = U(C/L)^1/2 ,

L(dJ₁/dt) + L(dJ₂/dt) = 0

и

L(dJ₁/dt) = q/C,

J₁ + J₂ = J_o = const.

В тот момент, когда напряжение U_C на конденсаторе достигнет максимума U_C = U_max , максимума достигнет и заряд q = q_max на конденсаторе. Этому моменту соответствует нулевой ток через конденсатор:

J_C = dq/dt = 0, т.к. q = q_max.

Поэтому моменту J_C = 0 отвечает

J₁ = J₂ = ½ J_o.

Cогласно закону сохранения энергии имеем:

½ LJ₁² + ½ LJ₂² + ½ q² /C = ½ LJ_o² = ½ U²C,

или, учитывая J₁ = J₂ = ½ J_o, находим:

½ q² /C = ¼ LJ_o² = ¼ U²C.

Откуда

U_max = q/C = C( ½ L/C)^1/2 = U/2.

Q₁ = (U²/ R₁)(T/2),

где Т- период колебаний.

При φ_{С А} диоды находятся в запертом состоянии, и ток идет по ветви
C-D-B-A. Действующее значение силы тока в этой ветви определяется законом Ома:

I = U/(R₁ + R₂ + R₃).

Тогда выделившееся на резисторе R₁ количество теплоты будет равно

Q₂ = I² R₁(T/2) = U² R₁/( R₁ + R₂ + R₃)².

В итоге, искомая мощность будет равна

N = (Q₁ +Q₂)/2 = (U²/2) [1/ R₁+ R₁/( R₁ + R₂ + R₃)²] =

= ~ 1.75 Вт.

2. Найти максимальное падение напряжения на резисторе, имеющем сопротивление R = 10 Ом, и долю периода, в течение которой ток в цепи отличен от нуля (см. рис.). Амплитудное значение напряжение источника переменного тока равно 220 В, а частота равна 50 Гц. Внутренним сопротивлением батареи постоянной ЭДС ε = 210 B можно пренебречь. Решить задачу для двух случаев, когда зависимость тока через диод от приложенного к нему напряжения имеет вид представленный на рисунке. (Меледин, 3.101^*)

Ответ: 1) τ/Т = 0.1, U_max = 10 B; 2) U_max = 5 B.

Решение.
1) Тока через диод нет, пока приложенное к нему напряжение не достигнет 10 В. При более высоком напряжении диод не оказывает влияния на характер тока, протекающего в цепи. Пусть зависимость переменного напряжения от времени имеет вид

U = U_ocos(2πt/T),

где U_o = 220 В. Если учесть ЭДС батареи, то ясно, что диод открыт при

U ≥ 210 В, т.е. при cos(2πt/T) ≥ 21/22.

В течение времени

τ = (Т/π)arcos(21/22)

диод открыт. Искомая доля периода

τ/Т = (1/π)arccos(21/22) = 0.1.

Максимальное падение напряжения на резисторе U_max = 10 B.

2) Зависимость тока через диод от напряжения расшифровывается просто: тока через диод нет, пока приложенное к нему напряжение не достигнет 10 В. При дальнейшем увеличении напряжения диод эквивалентен резистору с сопротивлением 10 Ом. Искомое максимальное падение напряжения на резисторе U_max = 5 B.

N₁ = ½ U²/R.

При замкнутом ключе на резисторе R установится практически Резисторы и вольтметр включены в цепь переменного тока, как показано на рисунке. Напряжение между точками А и А^/ втрое меньше напряжения между точками В и В^/. Найти сопротивление R_x, если сопротивление R известно. (Меледин, 3.81)

Ответ: R_x = ½ R при R_{x x} = 2R при R_x > R.постоянное напряжение, равное амплитудному напряжению сети U√2. Мощность будет равна

N₂ = 2 U²/R,

т.е. возрастет в четыре раза. Так как при напряжении на конденсаторе U ток через R равен U/R, то за период может протечь заряд

Δq ≈ U/(Rf).

Для того чтобы напряжение на конденсаторе мало менялось в течение периода, необходимо выполнение условия

Δq

Отсюда получаем

RCf >> 1.

1/(ωC) – ωL₁ = 1/(2Cω) → L₁ = 1/(2Cω²) ≈ 0.5 Гн.

ωL₂ - 1/(ωC) = 1/(2Cω) → L₂ = 3/(2Cω²) ≈ 1.5 Гн.

Для “половинного” тока есть только один вариант

ωL₃ - 1/(ωC) = 2/(Cω) → L₃ = 3/(Cω²) ≈ 3 Гн.

В случае параллельного подключения ток через амперметр равен

I = U/X_L – U/X_C = U/(ωL) – UCω = UCω[1/(ω²LC) – 1] = I₁[1/(ω²LC) – 1].

Подставляя полученные значения индуктивности, получим

I_пар (L₁) = I₁ , I_пар(L₂) = I₁/3, I_пар(L₃) = 2I₁/3.
5. Резисторы и вольтметр включены в цепь переменного тока, как показано на рисунке. Напряжение между точками А и А^/ втрое меньше напряжения между точками В и В^/. Найти сопротивление R_x, если сопротивление R известно. (Меледин, 3.81)

Ответ: R_x = ½ R при R_{x x} = 2R при R_x > R.

Решение
Полагая вольтметр идеальным, найдем токи, протекающие по ветвям ВА^/В^/ и ВА^/В:

J = U_o/(R + R_x).

Разность потенциалов между точками А^/ и А будет равна

U_A^/_A = U_o/3 = |R – R_x|U_o/(R + R_x).

Знак модуля появляется потому, что вольтметр указывает абсолютное значение напряжения. Учитывая оба знака разности R – R_x, получаем

R_x = ½ R при R_x

R_x = 2R при R_x > R.

6. Через нагревательную спираль, сопротивление которой постоянно, пропускают постоянный ток. На сколько процентов изменится среднее количество теплоты, выделяющейся в спирали в единицу времени, если через спираль пропускать одновременно с постоянным током переменный (синусоидальный) ток, амплитудное значение которого составляет 10% от силы постоянного тока? (Меледин, 3.102)

Ответ: на 0.5%.

Решение

Полный ток через спираль будет равен

J(t) = J_o[1+ αsin(ωt)],

где α = 0.1, ω – угловая частота тока, t – время. Тогда для мощности тепловых потерь можно записать

P = R2>_ср = RJ_o²[1 + 2α_ср + ½ α²2 >_ср = RJ_o²[1 + ½ α²],

так как

Относительное изменение мощности потерь составит

ΔP/P = ½ α² = 0.005. (0.5%.)


7. Имеются два идеальных трансформатора с отношением числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки k = 3. один из трансформаторов выполнен с перемычкой так, что магнитный поток, создаваемый первичной обмоткой, делится в сердечнике трансформатора на два равных потока. Первичная обмотка одного из них последовательно соединена со вторичной обмоткой второго трансформатора, а свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного напряжения с U_o = 100 В. Вторичная обмотка первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определить амплитуду U переменного напряжения между свободными концами этих обмоток (см. рис.)

Ответ:U = 45 B ; 15 B.
Решение.
Переменный ток силы J₁ в обмотках трансформаторов, подключенных к сети питания, создает переменный магнитный поток Ф_1к в каждом трансформаторе:

Ф_1к = N_kJ₁ ( k = 1,2),

где коэффициент пропорциональности  зависит от конструкции трансформаторов и одинаков для обоих устройств. Благодаря магнитному сердечнику магнитные потоки замыкаются внутри трансформатора и пронизывают витки обмоток. На зажимах обмоток трансформаторов, подключенных к сети питания, возникает ЭДС самоиндукции , равная сумме ЭДС ₁ и ₂ самоиндукции в обеих катушках, причем:

₁ = -N₁N₁J₁ = -N₁² J₁

и

₂ = -N₂N₂J₁ = -N₂² J₁ ,

 =  ₁ + ₂ = - J₁ (N₁² + N₂²) = U_o,

где N₁ и N₂ – количество витков первичной и вторичной обмоток каждого из трансформаторов. Для ненагруженного трансформатора в режиме холостого хода, когда вторичная цепь системы трансформаторов разомкнута и ток J₂ в ней равен нулю, а в первичной цепи падением напряжения на ее сопротивлении R можно пренебречь
(J₁R o), имеем ЭДС индукции на каждой обмотке трансформаторов, составляющих вторичную цепь системы:

₁₂ = N₂(dФ₁/dt) = N₂N₁J₁

и

₂₁ = N₁(dФ₂/dt) = ½ N₁N₂J₁ .

Полная ЭДС U на концах вторичной цепи:

U = ₁₂  ₂₁ = N₁N₂J₁ (1  ½ )

в зависимости от способа включения обмоток в этой цепи. Откуда получаем:

3/2U_ok/(1 + k²) = 0.45 U_o = 45 B

U = U_o N₁N₂ /(N₁² + N₂²) (1  ½ ) =

1/2U_ok/(1 + k²) = 0.15 U_o = 15 B

Список литературы.

1.Бендриков Г.А., Буховцев Б.Б., Керженцев В.В., Мякишев Г.Я., “Задачи по физике для поступающих в ВУЗы.”-М.: Наука, 1998.

2. Баканина Л.П., Ьелонучкин В.Е., Козёл С.М., Мазанько И.П.”Сборник задач по физике.”-М.:Наука,1990.

3. Гольдфарб Н.И. “Сборник вопросов и задач по физике.”- М.Высшая школа, 1973.

4. Шальнов В.П. “Задачи по физике.”- М.Наука, 1972.

5. Коган В.Ю. “Задачи по физике.”-М.ПРОсвещение, 1971.

6. Меледин Г.В. “Физика в задачах.”- М.Наука,1985.

7. Слободецкий И.Ш., Орлов В.А. “Всесоюзные олимпиады по физике.”- М.Просвещение, 1985.ю

8. Воробьёв И.И. Зубков П.И, Кутузова Г.А., Савченко О .Я “Задачи по физике”-М.Наука, 1981.

9. Манида С.Н. “Решение задач повышенной сложности”-С-Петербургский университет, 2004.

10. Ьалаш В.А. “Задачи по физике и методы их решения”-М.Просвещение, 1983.

11. Горбунов А.К., Панаиотти Э.Д. “Сборник задач по физике для поступающих в ВУЗ”-М.МГГУ им. Н.Э.Ьацмана, 2005.ю