Решение
а1,отн = а1 – а3 ;
а2,отн = а2 – а3 ,
а1,отн = - а2,отн → а1 – а3 = - ( а2 – а3) →
а3 = ½( а1 + а2).
20. На клин, плоскость которого составляет угол α с горизонтом, положили тел А (см. рис.). Какое ускорение необходимо сообщить клину в горизонтальном направлении, чтобы тело А свободно падало вертикально вниз? Ответ: a > gctgα.
Решение.
При свободном падении тело А за время t пройдет по вертикали путь
S1 = ½ gt2.
За это же время клин должен сместится по горизонтали на расстояние
S2 = ½ аt2.
Если тело все время соприкасается с клином, то
S2/S1 =ctgα.
Следовательно, искомое ускорение
a = gctgα.
Если ускорение клина в горизонтальном направлении будет больше gctgα, то тело будет свободно падать.
21. С помощью графика скорости равноускоренного движения безначальной скорости покажите, что пути, пройденныетелом за последовательные равные промежуткивремени, пропорциональны ряду нечетных чисел.
Ответ. Пути, проходимые за последовательные равныепромежутки времени, численно равны заштрихованым площадям (см. рис.) и относятсякак 1 : 3 : 5 …
ЗАДАЧИ:
1.1. Равномерное движение.
-
Скорость течения реки с параллельными берегами всюду одинакова и равна v1. Ширина реки h . Катер может плыть со скоростью v2 относительно воды (v2 1). Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным? На какое расстояние smin при этом снесет катер?
Ответ: под углом α к нормали линии берега sin α = v2/v1, smin = h[(v1/v2)2 – 1]1/2.
Решение.
Полная скорость v катера относительно берегов определяется законом сложения скоростей
v = v1 + v2.
Удобно выполнить сложение векторов v1 и v2 по правилу треугольника (см. рис.): первым изображаем вектор v1, для которого известны и модуль и направление, затем к его концу приставляем начало вектора v2, для которого известен только модуль, а направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, чтобы вектор результирующей скорости v как можно меньше отклонялся от направления АВ поперек реки.
Конец вектора v2 при любом его направлении должен лежать на окружности радиуса v2 , центр которой совпадает с концом вектора v1. Так как по условию задачи v2 1, то точка А/, соответствующая началу вектора v1, лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что вектор v образует с прямой АВ наименьший угол тогда, когда он направлен по касательной к окружности. Следовательно, вектор v2 перпендикулярен вектору v, а треугольник скоростей – прямоугольный.
Таким образом, для переправы с минимальным сносом нос катера следует направлять вверх по течению к линии АВ. Синус этого угла дается выражением
sin α = v2/v1.
Траектория катера направлена вдоль вектора v, т.е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит нос катера. Это означает, что по своей траектории катер движется боком. На другом берегу катер причалит в точке С, расстояние до которой можно найти из подобия треугольников
smin/h = v/v2.
Для модуля скорости можно получить
v = ( v12 – v22)1/2.
В результате получаем
smin = h [(v1/v2)2 – 1]1/2.
2. Два автомобиля двигались с постоянными скоростями v1 и v2 по дорогам, пересекающимся под прямым углом (см. рис.). Когда первый из них достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние s. Спустя какое время t расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние dmin?
Ответ: t = v2/(v12 + v22); dmin = sv1`/(v12 + v22)1/2.
Решение.
1-й способ. Определим расстояние между автомобилями через время t после прохождения первым автомобилем перекрестка. Это расстояние (см. рис.) составит
d (t) = [(v1t)2 + (s – v2t)2]1/2.
Минимальное значение функции d(t) можно определить, вычислив производную d/(t) и приравняв ее нулю.
2-й способ. Задачу несколько усложняет одновременное движение обоих автомобилей. Поэтому можно упростить решение, связав систему отсчета с одним из них. Свяжем систему отсчета с первым автомобилем. В ней
u1 = 0, u2 = v2 – v1.
(см. рис.) Очевидно, траектория движения второго автомобиля в этой системе отсчета представляет собой прямую ВС, а минимальное расстояние dmin – длину перпендикуляра AD к этой прямой. Из подобия треугольника скоростей и треугольника ABD следует:
dmin/s = v1/u2,
BD/s = v2/u2.
Отсюда
dmin = sv1/u2 = sv1`/(v12 + v22)1/2 ;
|