Решение.
Длина волны в первом опыте
λ = l/n,
где n – целое число длин волн, укладывающихся на расстоянии l. Во втором опыте
λΔθ = l/(n – 2).
До повышения температуры скорость звука была равна
v = νλ = νl/n,
а после повышения
vΔθ = νλΔθ = νl/ (n – 2).
Так как n = νl/v, то
vΔθ = νvl/(vl – 2v).
Скорость звука возрастает по линейному закону
vΔθ = v( 1 + αΔθ) ,
где α = (0.5/340)K-1. Подставляя в данное выражение vΔθ , получим
l = 2v( 1 + αΔθ)/(ν αΔθ) ~ 450м.
6. Скорость реактивного самолета в два раза превышает скорость звука. Человек увидел самолет, когда тот находился над ним на высоте h = 5км. Через какое время после этого человек услышал хлопок. Скорость звука в воздухе 340 м/с.
Ответ: Δt = 12.7 с.
Решение.
Наблюдатель в точке А услышит звук, когда точки достигнет поверхность звукового конуса, который самолет “тащит” за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рис.). Звуковая волна распространяется перпендикулярно поверхности звукового конуса и поэтому звуковой хлопок, который услышал человек, «родился» в точке D, а не в точке С. Очевидно,
АD = h/cosα,
где
sinα = DA/DB = Cзв/vсам = 0.5.
Тогда искомое время
Δt = tAD - tDC = AD/vзв – DC/vсам =
h/(vзвcosα) – htgα/vсам = (h/vзв)(1/cosα – ½ tgα) = 12.7 с.
7. К стенке, наклоненной под углом α к вертикали, подвешен маятник длины l (см. рис.). Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной к стенке, на небольшой угол β от вертикального положения и отпустили. Найти период колебаний маятника, если α
Решение
Если бы стенки не было, маятник совершал бы гармонические колебания с угловой амплитудой (максимальным углом отклонения от вертикали) β и с периодом
То = 2π(l/g)1/2.
При упругом столкновении со стенкой абсолютная величина скорости не меняется, а направление движения меняется на противоположное. Это означает, что период колебания маятника Т в присутствии стенки меньше То на время τ, за которой маятник, совершая свободные колебания, отклонился бы от вертикали вправо от угла α до угла β и вернулся обратно.
Запишем уравнение гармонических колебаний для углового перемещения φ:
φ = βcosωt,
где ω = 2π/To. График зависимости φ(ωt) показан на рисунке. В момент времени t = 0
ω = β, т. е маятник находится в крайнем правом положении. Через некоторое время t1 угол отклонения маятника от вертикали станет равным α. Из уравнения α = βcos(ωt1) получаем
t1 = (1/ω) arcos (α/β).
Из симметрии очевидно, что
τ = 2t1 = (2/ω)arcos(α/β) = (To/π) arcos(α/β).
Тогда окончательно
T = To – τ = 2(l /g)1/2[π – arcos (α/β)].
8. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты ν = 50 Гц, распространяющийся со скоростью v = 340м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывается целое число волн. Опыт повторили, когда температура воздуха была на Δθ = 20К выше, чем в первом случае. При этом число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось на две. Найти расстояние l между пунктами А и В, если при повышении температуры воздуха на 1 K скорость звука увеличивается на 0.5 м/с.
Ответ: l = 450м.
Решение.
Длина волны в первом опыте
λ = l/n,
где n – целое число длин волн, укладывающихся на расстоянии l. Во втором опыте
λΔθ = l/(n – 2).
До повышения температуры скорость звука была равна
v = νλ = νl/n,
а после повышения
vΔθ = νλΔθ = νl/ (n – 2).
Так как n = νl/v, то
vΔθ = νvl/(vl – 2v).
Скорость звука возрастает по линейному закону
vΔθ = v( 1 + αΔθ) ,
где α = (0.5/340)K-1. Подставляя в данное выражение vΔθ , получим
l = 2v(1 + αΔθ)/(ν αΔθ) ~ 450м.
9. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который медленно наливают воду, поднесен звучащий камертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояние от поверхности жидкости до верхнего конца сосуда достигают значений h1 = 25см и h2 = 75см. Найти частоту колебаний ν камертона. Скорость звука в воздухе v = 340м/с.
Ответ: ν = 340 Гц.
Решение.
Звучание камертона усиливается в тот момент, когда частота собственных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой колебаний камертона. Собственные колебания воздушного столба в сосуде соответствуют установлению в нем стоячей волны такой длины λ, что у нижнего конца образуется узел смещений частиц воздуха, а у верхнего – пучность. Таким образом, в свободной части трубы h укладывается λ/4, 3λ/4, 5λ/4 и т.д., т.е. в общем случае
(2k + 1) λ/4 = h,
где k – целое число. Напомним, что в стоячей волне между двумя узлами укладывается половина длины волны.
Так как частота колебаний в звуковой волне
ν = v/λ,
то соответствующая некоторому значению k частота камертона
ν =(2k + 1) v/(4h).
По условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому различным высотам воздушного столба h1 и h2 должны соответствовать два значения k, отличающиеся на единицу:
k1 = n и k2 = n + 1,
причем должно выполнять условие
(2k1 + 1) v/(4h1) = (2k2 + 1) v/(4h2);
отсюда найдем, что n = 0 и, следовательно, k1 = 0 и k2 = 1. Таким образом, частота колебаний камертона равна v = v/4h1 = 3v/4h2 = 340 Гц.
10. Тело находится в некоторой точке А внутри сферы. В каком случае оно быстрее достигнет нижней точки сферы В: если будет скользить по поверхности сферы или по наклонной плоскости АВ? Трение в обоих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ много меньше радиуса сферы.
Ответ: при движении по поверхности сферы.
Решение
При движении по поверхности сферы время достижения точки В
t1 = Т/4 = (1/4)2π(R/g)1/2,
где Т – период колебаний маятника длиной R, g – ускорение свободного падения. При движении по наклонной плоскости
t2 = [2.2Rsinα/ (gsinα)]1/2 = 2 (R/g)1/2 > t1.
Здесь α – угол наклона плоскости.
11. Часы с секундным маятником, имеющие период колебаний То = 1с, на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту h = 200м над поверхностью Земли?
Ответ: Δt = 2.7с.
Решение.
На поверхности Земли маятник длины l за время t совершит
n = t / To
колебаний, причем
То = 2π(l/go)1/2,
где go – ускорение свободного падения на поверхности Земли. На высоте h над Землей часы отстанут на время
Δt = n(T – To),
где Т = 2π(l/g)1/2 – период колебаний маятника на высоте h, а g – ускорение свободного падения на этой высоте. Используя формулу
mg = mgo/[1 + (h/Rз)]2 ,
связывающую силу тяжести mg на высоте h с силой тяжести на поверхности Земли mgo, найдем
g/go = 1/[1 + (h/Rз)]2 ,
где Rз – радиус Земли. Отношение периодов
То/Т = (g/go)1/2 = 1/[1 + (h/Rз)];
отсюда
Т – То = То(h/Rз).
Таким образом, за время t часы отстанут на время
Δt = Ton(h/Rз) = t(h/Rз).
При t = 1 сут = 86400с отставание составит Δt = 2.7с
12. Тело массы m, движущееся со скоростью v по гладкой горизонтальной плоскости, налетает на пружину жесткости k, прикрепленную к телу массы М. Тело массы М в начальный момент покоится, а пружина находится в недеформированном состоянии. Найти время взаимодействия тел. (МФТИ, 2000 г., олимпиада)
Ответ: τ = π[mM/k(m+M)]1/2.
|