Закон больших чисел и предельные теоремы

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 21

1. Производители карманных калькуляторов знают из опыта работ, что 1% производимых и проданных калькуляторов имеют дефекты и их должны заменить по гарантии. На контроле произвольным образом выбирают три калькулятора. Составить закон распределения числа калькуляторов, подлежавших замене. Вычислить числовые характеристики.

2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины — числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :

-212 0,150,50,35

012 0,20,10,7Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .

5. Случайная величина распределена равномерно на отрезке (13; 17), Составить и ,построить их графики. Найти , , .

6. Вероятность того что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,5, равна 0,8. Дисперсия каждой независимой случайной величины не превышает 7. Найти число таких случайных величин.

7. Дисперсия каждой из 700 независимых случайных величин меньше 5. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий превысит 0,5.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 22

1. Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны пять накладных. Составить закон распределения случайного числа накладных, не содержащих ошибки. Вычислить числовые характеристики.

2. В транспортной компании работают 10 водителей, трое из которых имеют высшую квалификацию. В кабинет директора были приглашены четверо. Составить закон распределения случайного числа водителей высшей квалификации среди вызванных. Вычислить числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :
025 0,30,40,3

-101 0,20,10,7Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

5. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром . Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Средняя заработная плата экономиста составляет 1100 руб. Определить вероятность того, что заработная плата случайно выбранного экономиста будет превышать 1300 руб.

7. Дисперсия каждой из 1200 независимых случайных величин не превышает 3. Определить вероятность отклонения средней арифметической этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не более чем на 0,45.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 23

1. Фирма решила начать продажу своих акций на бирже. Известно, что 80% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции. Наудачу отобрали шесть брокеров. Составить закон распределения случайного числа брокеров, предложивших своим клиентам купить акции фирмы. Вычислить числовые характеристики.

2. Среднее число грузовиков, прибывающих на склад под разгрузку в течение года, равно трем. Составить закон распределения случайного числа прибывших в течение часа машин, если автопарк предприятия составляет пять грузовиков. Вычислить числовые характеристики.

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

4. Случайная величина задана плотностью вероятности:

Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .

5. Случайная величина распределена равномерно на отрезке (-2; 8), Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Средний расход топлива для машины класса «КамАЗ» составляет 100 литров в день. Найти вероятность того, что для случайно выбранной машины этого класса расход топлива не превысит 150 литров.

7. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2 500 независимых случайных величин не превышает 5. Определить верхнюю границу абсолютной величины отклонения средней арифметической этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий так, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,75.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 24

1. Вероятность поломки одного из пяти работающих независимо друг от друга станков равно 0,2. Если происходит поломка, станок до конца дня не работает. Составить закон распределения случайного числа станков, вышедших из строя в течение дня. Вычислить числовые характеристики.

2. Среди 10 поступивших в ремонт часов 6 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно, пока не найдет такие часы. Составить закон распределения случайного числа просмотренных часов. Вычислить числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :

012 0,40,50,1

123 0,10,30,6

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

4. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

5. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром . Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Средний вес арбуза 3000 грамм. Определить вероятность того, что вес наугад взятого арбуза не будет превышать 5000 грамм.

7. Дисперсия каждой из 900 независимых случайных величин меньше 6. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий превысит 0,6.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .
Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 25

1. Ежемесячно 2% компаний в крае прекращают свою деятельность по тем или иным причинам. Составить закон распределения закрывшихся организаций среди пяти наудачу выбранных. Вычислить числовые характеристики.

2. Академией рассматриваются 10 кандидатур студентов, претендующих на обучение за границей. Среди них трое в совершенстве владеют иностранным языком. Путем жеребьевки отобрали четверо студентов. Составить закон распределения случайного числа студентов, владеющих языком, среди четырех отобранных. Вычислить числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :

246 0,50,40,1

0123 0,20,30,40,1Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .

5. Случайная величина распределена равномерно на отрезке

(12; 20), Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Дисперсия каждой из данных случайных величин не превышает 6. Определить число случайных величин, для которых вероятность отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий на величину не более чем 0,5 превысит 0,96.

7. Дисперсия каждой из 2 800 независимых случайных величин не превосходит 9. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0,5.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 26

1. Телевизионный канал рекламирует новый вид товара. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, равна 0,2. Случайно выбирают 5 телезрителей. Составить закон распределения числа лиц, видевших рекламу. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить ее график.

2. На предприятии 1 000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

4. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

5. Написать функцию плотности распределения и функцию распределения вероятности показательного распределения с параметром . Найти , , , .

6. Средняя цена холодильника составляет 10000 руб. Оценить вероятность того, что цена случайно выбранного холодильника больше 12000 руб.

7. Для определения среднего размера вкладов населения в 50 банках города было рассмотрено по два вклада из каждого банка. Оценить снизу вероятность того, что средний размер рассмотренных вкладов отличается от среднего размера всех вкладов по абсолютной величине меньше чем на 500 руб., если известно, что среднее квадратическое отклонение размера вкладов в банках меньше 700.

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 27

1. На железнодорожную станцию поступило 8 вагонов угля. Проверка показала, что в трех вагонах зольность угля составляет 11%, в четырех – 13%, в одном – 15%. Один из прибывших вагонов поступил на завод. Составить закон распределения зольности угля, поступившего на завод. Составить функцию распределения, построить ее график. Найти числовые характеристики.

2. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патро­нов. Вероятность попадания при первом выстреле рав­на 0,6. при каждом последующем — уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случай­ной величины.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.
4. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:



, .

Требуется: а) найти функцию плотности распределения ;

б) найти , , ; в) найти вероятность ;

г) построить графики и .

5. Написать функцию плотности распределения и функцию распределения вероятности показательного распределения с параметром . Найти , , , .

6. Масса упакованных на заводе в ящик деталей равна 36 кг. Вероятность того, что случайно выбранная деталь будет весить меньше 900 гр., не меньше 0,8.Определить количество деталей в ящике.

7. Дисперсия каждой из независимых случайных величин не превышает 1. Определить с вероятностью не меньшей 0,907 число таких величин, при которых отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0,2.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 28

1. Из всей выпускаемой заводом продукции 95% составляют стандартные изделия. Наугад отобрано 6 деталей. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Составить функцию распределения, построить ее график. Найти числовые характеристики.

2. Стрельбу по цели ведут до получения двух попаданий. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа произведенных выстрелов.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и :
357 0,40,40,2

123 0,10,150,75

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

4. Случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

5. Написать функцию плотности распределения и функцию распределения вероятности показательного распределения с параметром . Найти