Закон больших чисел и предельные теоремы

6. Средняя стипендия студента равна 200 руб. Определить вероятность того, что у выбранного наугад студента стипендия окажется не менее 150 руб. и не более 250 руб. Дисперсия равна 80.

7. Определить вероятность того, что средняя арифметическая 50 случайных величин отклонится от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0,15, если дисперсия каждой случайной величины не превышает 0,45.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 29

1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,75; четвертый – 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа не потребуют регулировки. Составить функцию распределения, построить ее график.

2. Установлено, что в среднем 10% изделий имеют дефект. Из партии наугад выбирают 5 изделий. Составить закон распределения числа дефектных изделий среди отобранных.

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.

4. Случайная величина задана плотностью вероятности:

Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .

5. Случайная величина распределена равномерно на отрезке

(5; 10). Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Среднее количество студентов в группе составляет 20 человек. Определить вероятность того, что число студентов в наугад взятой группе будет больше 25.

7. Из большой партии деталей было отобрано 100 деталей. Определить вероятность того, что отклонение средней прочности партии не превышает 0,3, если дисперсия прочности взятой наугад детали равна 2,25.

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

Вариант 30

1. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

2. Известно, что в среднем 64% студентов потока выполняют контрольные работы в срок. Наугад из потока выбрали 3 человека. Составить закон распределения числа студентов, в срок выполняющих контрольные работы, среди отобранных.

Требуется:

-составить закон распределения случайной величины ;

- найти числовые характеристики случайных величин ;

- проверить свойство

- построить функцию распределения для и построить ее график.

график.
4. Случайная величина задана плотностью вероятности:



, .

Требуется: а) найти коэффициент ; б) найти функцию распределения ; в) найти , , ; г) найти вероятность ; д) построить графики и .

5. Случайная величина равномерно распределена на интервале . Составить , , построить их графики. Найти , , , .

6. Среднее число абитуриентов поступающих в некоторый вуз составляет 1000 человек. Оценить вероятность того, что число поступающих не превысит 900 человек.

7. Дисперсия каждой из 750 случайных величин не превосходит 5. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,7.

8. Случайная величина ~ , ; ; , , .

Требуется:

-составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу ;

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит .

9. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки

качества освоения темы «Случайные величины»

1. Какая величина называется случайной?

2. Что такое спектр случайной величины?

3. Какие случайные величины называются дискретными?

4. Какие случайные величины называются непрерывными?

5. Что называют законом распределения случайной величины?

6. Что называют рядом распределения?

7. Что называют многоугольником распределения?

8. Дать определение функции рас­пределения случайной величины?

9. Какими свойствами обладает функция рас­пределения случайной величины?

10. Что такое плотность ве­роятностей непрерывной случайной величины?

11. Какими свойствами обладает плотность ве­роятностей непрерывной случайной величины?

12. Что такое математическое ожидание?

13. Какими свойствами обладают математическое ожидание?

14. Что такое дисперсия и среднеквадратичное отклонение?

15. Какими свойствами обладают дисперсия?

16. Как определяются начальные моменты случайной величины?

17. Как определяются центральные моменты случайной величины?

18. Что называется асимметрией случайной величины?

19. Что называется эксцессом случайной величины?

20. Как определяется биномиальное распределение и чему равны его числовые характеристики?

21. Как определяется пуассоновское распределение и чему равны его числовые характеристики?

22. Как определяется равномерное распределение и чему равны его числовые характеристики?

23. Как определяется показательное распределение и чему равны его числовые характеристики?

24. Как определяется нормальное распределение и чему равны его числовые характеристики?

25. Какой вероятностный смысл имеют параметры нормального распределения? Как они влияют на график плотности вероятностей?

26. Как определяется функция распределения нормально распре­деленной случайной величины?

27. Как определяется функция распределения нормированной нормальной случайной величины?

28. Как определить вероятность попадания нормально распреде­ленной случайной величины в заданный интервал, используя таблицу значений функции Лапласа?

29. В чем заключается правило "трех сигм"?

30. Как определяется функция одного случайного аргумента и её числовые характеристики?

31. Как определить и задать систему случайных величин (на при­мере двумерной случайной величины)?

32. В каких случаях компоненты двумерной случайной величины независимы или зависимы?