Вопросы: По какой траектории и как должна двигаться точка, чтобы пройденный ею путь равнялся модулю перемещения?

t = BD/u₂ = sv₂/u₂ = v₂/(v₁² + v₂²).

Докажем, что фронт ударной волны представляет собой коническую поверхность. Пусть самолет находится в данный момент в точке А. Рассмотрим звуковую волну, испущенную самолетом в точке В (см. рис.). Эта волна имеет к данному моменту “возраст” Δt = AB/v. Значит, ее волновая поверхность – сфера радиуса R = cΔt = ABc/v. Построим конус с вершиной в точке А, касающийся этой сферы. Угол α между образующей конуса и его осью (направлением полета самолета) находим из соотношения sin α = R/AB = c/v. Оказывается, этот угол не зависит от отрезка АВ. Значит, этот конус касается всех волновых поверхностей, ранее испущенных звуковых волн, т.е. является для них огибающей поверхностью. Это – так называемый звуковой конус.

Наблюдатель в точке А услышит звук, когда этой точки достигнет поверхность звукового конуса, который самолет “тащит” за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рис.). Очевидно,

h = CBtgα = vt tgα,

где

sinα = DA/DB = c/v.

h = ct/ [(1 – (ct)²]^1/2 = 10 км.

Обратить внимание, что дошедший до наблюдателя звук самолета “родился” не в точке С, а в точке D.
4. Идет град и автомобиль едет со скоростью u = 29 км/ч по горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о стекло заднего окна автомобиля, наклоненное под углом α = 30^о к горизонту, и отскакивает горизонтально в направлении противоположном движению автомобиля (см. рис.). Считая, что удар градины о стекло абсолютно упругий и что ее скорость непосредственно перед ударом вертикальна, найти скорость градины: 1) до удара, 2) после удара. (МФТИ-2001)

Ответ: V₁ = 52.2км/ч, V₂ = 29 км/ч


Решение.
Перейдем в систему отсчета связанную с движущимся автомобилем, тогда скорости градины до удара v₁ и после удара v₂ в этой системе будут связаны с соответствующими скоростями в неподвижной системе отсчета V₁ и V₂ соотношениями

v₁ = V₁ – u,

v₂ = V₂ – u.

Выберем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис). Поскольку удар градины можно считать абсолютно упругим, то

v_1,x = v_2,x , v_1,y = -v_2,y .

Или

-V₁cosα + usinα = -V₂sinα – usinα.

Отсюда

V₂ = V₁tgα,

Окончательно

V₁ = u tg2α = 50.2 км/ч,

V₂ = u tgα tg2α = 29 км/ч.

Решение

Пусть

s – его длина и

n – число ступенек на эскалаторе.

Если скорость человека направлена противоположно направлению движения эскалатора, то он насчитает тем меньше ступенек, чем быстрее идет. Поэтому в нашем случае направления движения и эскалатора совпадают.

Число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора, равно n/s. Поэтому, если человек идет со скоростью u относительно эскалатора, то время его пребывания на эскалаторе

t = s/ (v + u),

путь, пройденный по эскалатору

S = us/ (v + u).

При этом в первом случае человек насчитывает число ступенек

n₁ = [us/ (v + u)] (n/s).

Аналогично, во втором случае он насчитывает

n₂ = [3us/ (v + 3u)] (n/s).

Таким образом, мы получаем систему уравнений

n₁ = nu/ (v + u) , n₂ = 3nu/ (v + 3u)

или

1 + (v/u) = n/n₁ , 1 + 1/3(v/u) = n₂/n.

6. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью u = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый момент времени шарик оказался в точке А на расстоянии S = 1.5 м от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в точке А? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика намного меньше массы бруска. (МФТИ,1994)

v + u,

t₁ = S/ (v + u),

за это время шарик удалится от точки А на расстояние

S₁ = Sv/ (v+ u).

После столкновения шарика с массивной, двигающейся навстречу ему, плитой его скорость в неподвижной системе координат равна

v + 2u,

t₂ = S₁/ (v + 2u) = Sv/ [(v + u) (v + 2u)].

Таким образом, время, за которое шарик вернется в точку А, равно

t₁ + t₂ = 2S/ (v + 2u).

t = (d² + x²)^1/2 /v₁ + (S – x)/v₂ =

[v₂(d² + x²)^1/2 – v₁x + v₁S] / (v₁v₂).

Это время будет минимальным, если

y = v₂(d² + x²)^1/2 – v₁x

будет иметь наименьшее значение. Очевидно, что х, соответствующее минимальному времени t , не зависит от расстояния S.

Для нахождения х, соответствующего минимальному значению y, выразим х через y и получим квадратное уравнение

x² - 2xyv₁/ (v₂² – v₁²) + (v₂²d² – y²) / (v₂² – v₁²) = 0.

Решение его приводит к следующему выражению:

x = { v₁y ± v₂ [y² + d²v₁² – v₂²d²]^1.2 / (v₂² – v₁²).

Так как х не может быть комплексным, то

y² + d²v₁² – v₂²d² ≥ 0.

Минимальное значение y равно

y_min = d (v₂² – v₁²)^1/2.

Этому значению y соответствует

x = dv₁/ (v₂² – v₁²).

Если S ≤ dv₁/ (v₂² – v₁²), то следует сразу плыть по прямой АВ к точке В. В противном случае надо пробежать по берегу отрезок AD = S - dv₁/ (v₂² – v₁²), а потом плыть к В. Отметим, что для пути, соответствующего кратчайшему времени, sinα = v₁/v₂.

8. Автомобиль, движущийся по прямолинейному отрезку шоссе со скоростью
u = 120 км/ч, приближаясь к стоящему у шоссе человеку, издает звуковой сигнал длительностью τ = 5 с. В течение какого времени Δt будет слышать этот сигнал человек? Скорость звука в воздухе считать равной v = 340 м/с.

Ответ: Δt ~ 4.5 c.
Решение.
Пусть автомобиль начал издавать звуковой сигнал в момент времени t = 0, находясь от человека на расстоянии L. Поскольку скорость звука определяется характеристиками воздуха, которые не зависят от скорости движения автомобиля, то до человека передний фронт звуковой волны дойдет в момент

t₁ = L/v.

Если считать, что к моменту окончания звукового сигнала автомобиль еще не доехал до человека, т.е. L > uτ, и человек стоит практически на прямой, вдоль которой движется автомобиль, то расстояние между человеком и автомобилем в этот момент времени будет равно L – uτ , а задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени

t₂ = τ + (L – uτ)/v.

Таким образом, человек будет слышать звуковой сигнал в течение времени

Δt = t₂ – t₁ = τ(1 – u/v) ~ 4.5 c.

Если же автомобиль во время подачи звукового сигнала проехал мимо человека в момент времени t₃ , т.е. L = ut₃ 3)u , удаляясь от человека. Следовательно, задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени t₂ = τ + (τ – t₃₎u/v, и длительность звукового сигнала услышанного человеком, стоящим вблизи от прямой, по которой движется автомобиль, равна

Δt = t₂ – t₁ = τ(1 + u/v) – 2ut₃/v ~ 5.5 c – 0.196t₃,

где t₃ должно быть выражено в секундах и удовлетворять неравенству 0 3

9. Круглое ядро радиуса R , движущееся со скоростью v пролетает сквозь рой мух, движущихся со скоростью u перпендикулярно направлению полета ядра. Толщина роя равна d , в единице объема находится n мух. Сколько мух убьет ядро? Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ответ: N = ndπR²[1 + (u/v)²]^1/2.

Решение.

В системе отсчета, связанной с мухами, ядро подлетает к рою под углом α, причем

cos α = v/(v² + u²)^1/2,

и поэтому проходит в рое путь, равный

d/cos α = d [1 + (u/v)²]^1/2.

Окончательно

N = ndπR²/ cos α = ndπR²/ [1 + (u/v)²]^1/2.
10. Шарик движется между двумя массивными вертикальными стенками, соударяясь с ними. Одна из стенок закреплена, другая удаляется от нее с постоянной скоростью u = 50 см/с. Считая движение шарика все время горизонтальным, а удары о стенки – абсолютно упругими, найти его окончательную скорость, если начальная скорость равна v_o = 1967 cм/с.

Ответ: v = 33 см/с
Решение.
После удара о неподвижную стенку скорость шарика меняет лишь направление. Чтобы вычислить скорость шарика после одного удара об удаляющуюся со скоростью u стенку, надо перейти в систему отсчета, в которой стенка покоится. В этой системе отсчета скорость шарика до удара равна

v_o – u.

После упругого удара проекция скорости изменит знак: станет равной

-(v_o – u).

Если затем вернуться в первоначальную (лабораторную) систему отсчета, где стенка движется со скоростью u , то здесь скорость шарика

v = v_o – 2u.

Слагаемое -2u будет добавляться после каждого удара о движущуюся стенку. Следовательно,

v = v_o – 2nu,

где n – число ударов о движущуюся стенку. Таким образом, при количестве ударов n = 20 шарика упадет до v = 33 см/с и он больше не догонит движущуюся стенку.
11. Некто, находясь в степи, видит на расстоянии S = 300 м от себя автомобиль, движущий равномерно со скоростью v₁ = 40 км/ч по горизонтальной прямой дороге. В момент времени, когда наблюдатель увидел автомобиль, машина находилась на кратчайшем расстоянии от наблюдателя. На какое максимально близкое расстояние сможет наблюдатель подбежать к автомобилю? Считать, что наблюдатель сразу же начинает бежать со скоростью v₂ = 10 км/ч, как только он увидел машину. (МАИ,1999)

Ответ: S_min = h(v₁ – v₂)^1/2/v₁.
Решение.
Рассмотрим систему отсчета, связанную с автомобилем. Скорость наблюдателя относительно автомобиля, равная

v_отн = v₂ – v₁,

может быть направлена в любую сторону. При этом конец вектора v_отн будет находиться на окружности радиусом v₂ с центром в точке О (см. рис.). Для того чтобы наблюдатель приблизился к автомобилю как можно ближе, вектор v_отн должен быть направлен по касательной к этой окружности. Следовательно

sinα = v₂/v₁, S_min = h cosα ,

S_min = h(v₁ – v₂)^1/2/v₁.

Точка С (см. рис.) – место встречи корабля и торпеды.

АС = vt, CB = ut,

где t – время движения торпеды. Согласно теореме синусов

АС/sinβ = BC/sinα или

vt/sinβ = ut/sinα .

Отсюда

β = arcsin(vsinα/u)

v = (v_n² + v_oτ²)^1/2 = [(v_ocosα +2u)² + (v_osinα)²]^1/2.

.
14. По прямому шоссе со скорость v₁ = 16 м/с движется автобус. На расстоянии d = 60 м от шоссе и s = 400 м от автобуса находится человек. Человек может бежать со скоростью v₂ = 4 м/с. В каком направлении он должен бежать, чтобы “перехватить” автобус, который к нему приближается? При какой наименьшей скорости человека v_min это вообще возможно? В каком направлении следует при этом бежать?

Ответ: 37^о ≤ β ≤ 143^o, где β – угол, отсчитываемый от направления на автобус; v_min = 2.4 м/с, следует бежать перпендикулярно направлению на автобус.
Решение.
Решение задачи становится проще и нагляднее, если перейти в систему отсчета, связанную с автобусом. В этой системе отсчета скорость человека V = v₂ – v₁. Величина скорости V роли не играет, а направление должно быть таким, чтобы человек пересек шоссе правее “стоящего” автобуса или, в крайнем случае, вышел точно на автобус (см. рис.). Конец вектора V лежит на окружности радиуса v₂ (см. рис.). Очевидно, угол β между отрезком АВ и направлением v₂ должен лежать в пределах β₁ ≤ β ≤ β₂ , где β₁ и β₂ – два решения уравнения

sin β = (v₁/v₂ )sinα

(уравнение следует из теоремы синусов), удовлетворяющие условию 0

sinα = d/s.

Таким образом

arcsin(v₁d/v₂s) ≤ β ≤ 180^o – arcsin(v₁d/v₂s) ; 37^о ≤ β ≤ 143^o.

sin β ≥ (v₁/v₂ )sinα = dv₁/sv₂ ,

то

dv₁/sv₂ ≤ 1

v₂ ≥ dv₁/s.

Значит

v_min = dv₁/s = 2.4 м/с.

S_i = v_i²/g = k²(v_i-1²/g) = k²S_i-1.

Таким образом, последовательность путей, пройденных телом после каждого соударения, представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = k² 1 = k²(v_o²/g) = 2hk².

Полный путь, пройденный телом равен

S = h + S_прогр

где S_прогр – сумма членов геометрической прогрессии

S_прогр = S₁(1 – qⁿ)/(1 –q).

При n → ∞

S_прогр = S₁/(1 –q) = 2hk²/(1 – k²).

Тогда для полного пути, пройденного телом до остановки, получим

S = h(1 + k²)/(1 – k²).
16. По реке из т. А в т. В вдоль прямой АВ, образующей угол с линией берега α, плывет катер. Под прямым углом к берегу дует ветер со скоростью u. Флаг на мачте катера образует угол β с направлением движения катера. Определить скорость катера относительно берега.

Ответ: v = - ucos(α + β)/sinβ.
Решение
Направление флага совпадает с направлением скорости ветра относительно катера u_o. Из закона сложения скоростей u = v + u_o получим

u_o = v + u.

Из треугольника DFC

δ = π – β,

γ = ½ π – α,

ε = π – δ – γ =

= π – (π – β) – (½ π – α) = α + β - ½ π.

По теореме синусов

v/sinε = u/sinδ → v = u sinε /sinδ = u sin(α + β - ½ π) /sin(π – β) →

v = - u cos(α + β)/sinβ
1.2. Равноускоренное движение.
1. Из точки А, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра некоторой окружности радиуса R, по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности (см. рис.), одновременно начинают скользить грузы. Через какое время грузы достигнут окружности? Как это время зависит от угла α наклона хорды к вертикали? Трением пренебречь.

Ответ: t = 2(R/g)^1/2.
Решение.
Время движения t груза вдоль хорды определяется из соотношения

t² = 2L/a,

где а – ускорение груза, L – длина хорды. Если хорда составляет с вертикалью угол α, то

a = gcosα,

L = 2Rcosα,

где R – радиус окружности. Таким образом,

t² = 4R/g.

Время движения грузов вдоль любой из хорд будет одинаковым.

2. Тело начинает двигаться из состояния покоя прямолинейно с постоянным по величине ускорением. Через некоторое время ускорение меняет свой знак, оставаясь прежним по величине. Найти отношение величины максимальной скорости v₁, которая была у тела при удалении от точки старта, к величине скорости v₂, с которой оно вернулась в точку старта.

Ответ: v₁/v₂ = 1/√2.
Решение.
При движении “туда” максимальная скорость тела определяется из соотношения:

v₁² = 2aS,

где а – ускорение тела, S – пройденный им путь.

При движении обратно максимальная скорость тела определяется из равенства

v₂² – v₁² = 2aS.

Отсюда получаем искомое соотношение

v₁/v₂ = 1/√2.

3. Лифт начинает подниматься с ускорением а = 2.2 м/с². Когда его скорость достигла v = 2.4 м/с, с потолка кабины лифта начал падать болт. Чему равны время t падения болта и перемещение болта при падении относительно земли? Высота кабины лифта Н = 2.5 м.

Ответ: t = 0.645c , s = 0.49 м.
Решение.
Болт падает с ускорением g = 9.8 м/с² относительно земли и с ускорением g + a относительно лифта. Его начальная скорость относительно лифта равна нулю. Поэтому время падения определяется из уравнения

H = ½ (g + a) t²

и составляет t = 0.645 с.

Чтобы определить перемещение болта относительно земли, надо просто учесть, что в начальный момент времени падения болта его скорость направлена вверх и равна v. Поэтому за время падения болт переместится относительно земли на

s = vt – ½ gt² = - 0.49м.

Поскольку s
4. С высокой башни одно за другим бросают два тела с одинаковыми по модулю скоростями v_o. Первое тело бросают вертикально вверх; спустя время Δt бросают второе – вертикально вниз. Определить скорость тел относительно друг друга и расстояние между ними в момент времени t > Δt.

Ответ: u = 2v_o - g Δt, s =(2v_o - g Δt)t – v_o Δt + ½ g Δt².


Решение.
Обозначая через x₁ и v₁ координату и скорость первого тела относительно башни, а через x₂ и v₂ – второго, можно записать следующие уравнения:

x₁ = v_ot - ½ gt² ,

v₁ = v_o – gt,

x₂ = - v_o (t – Δt) – ½ g(t – Δt)² ,

v₂ = - v_o– g(t – Δt).

(Направление вверх считается положительным.) Скорость первого тела относительно второго

u = v₁ – v₂ = 2v_o - g Δt

и не меняется с течением времени. Расстояние между телами равно

s = x₁ – x₂ = (2v_o - g Δt)t – v_o Δt + ½ g Δt².

Относительно друг друга тела движутся равномерно, и, следовательно, расстояние между ними изменяется линейно со временем.

v_y(t) = 2 – t при 0

-1 при 3

если время измерять в секундах, а скорость – в м/с. Поскольку при 0 2 и в начальный момент времени точка находилась в начале координат, закон движения проекции на ось 0X имеет вид:

4 при 4 Поступая аналогично, можно показать, что закон движения точки вдоль оси 0Y на заданном интервале времени имеет вид:

y(t) = 2t – ½ t² при 0

4.5 - t при 3 Учитывая, что ρ = [x²(t) + y²(t)]^1/2, после алгебраических преобразований получим, что искомая зависимость аналитически описывается выражением:

t[4 – 2t + ½ t²]^1/2 при 0

ρ = [16 – 32t + 24t² – 6t³ + ½ t⁴]^1/2 при 2

[145 – 16t + 84t² – 16t³ + ½ t⁴]^1/2 при 3

[36.25 – 9t + t²]^1/2 при 4

6. Пункты А и В расположены на расстоянии S = 4 км друг от друга. Из пункта А по направлению к пункту В выехал автомобиль, который двигался все время равномерно. Одновременно навстречу ему из пункта В с начальной скоростью v_o = 32 м/с выехал другой автомобиль, движущийся с постоянным ускорением а = 0.2 м/с², направленным все время так же, как скорость первого автомобиля. Известно, что в пути автомобили два раза обгоняли друг друга. В каких пределах лежит скорость первого автомобиля?

Ответ: 8 м/с 1
Решение.
График движения второго автомобиля представляет собой параболу, изображенную на рисунке. Очевидно, что скорость первого автомобиля не может быть слишком большой, иначе обгон совершится всего один раз (точка В на рисунке, тогда как точка А соответствует встрече машин). Скорость не может и слишком малой (прямая ОС на рис.) т.к. в противном случае автомобили вообще не могут оказаться рядом. Таким образом, уравнение, выражающее равенство координат автомобилей:

v₁t = S – v_ot + ½ at²,

должно иметь два действительных решения (D ≥ 0), причем оба они соответствуют более поздним моментам времени, чем момент остановки (мгновенной) второго автомобиля, определенный равенством

- v_o + at = 0.

Оба условия дают

(2aS)^1/2 – v_o 1 aS/v_o – ½ v_o,

или

8 м/с 1

1.3. Криволинейное движение.
1. Тело бросают с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость v_o, направленную под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти нормальную и тангенциальную составляющие ускорения тела на
высоте h , когда тело еще не достигло наивысшей точки траектории. Найти, также, время τ подъема тела на высоту h и горизонтальную проекцию s перемещения тела в этот момент времени.

Ответ: a_n = gcosβ, a_τ = - gsinβ, β = arcos[v_ocosα/(v_o² – 2gh)^1/2],
τ = [v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2]/g , s = v_ocosα/g[v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2] .
Решение.
Направим оси декартовой прямоугольной системы координат так, как показано на рисунке. Начало отсчета поместим в точку бросания. Кинематические уравнения равнопеременного движения в нашем случае принимают вид

x = v_o cosα t,

y = v_osinα t – ½ gt²,

v_x = v_o cosα,

v_y = v_osinα – gt.

Пусть при t = τ тело достигло высоты h, тогда y = h, x = s. В этом случае

s = v_o cosα τ,

h = v_osinα τ – ½ g τ².

Из последнего уравнения находим

τ = [v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2]/g.

Второе значение со знаком “+” перед квадратным корнем соответствует случаю, когда тело “перевалило” за наивысшую точку траектории и вновь оказалось на высоте h над землей. Этот случай по условию задачи нас не интересует.

В момент времени t = τ проекция s перемещения тела равна

s = v_o cosα τ = v_ocosα/g[v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2].

Модули нормальной и тангенциальной составляющих ускорения тела будут равны

где β – угол, который составляет с горизонтом (осью Ох) вектор v скорости тела в момент времени t = τ . Угол β легко определить, записав уравнения системы при t = τ , а именно

vcosβ = v_o cosα, vsinβ = v_osinα – g τ.

Действительно ,

v = (v_x² + v_y²)^1/2 = (v_o² – 2gh)^1/2

и cosβ = v_o cosα/v.

Отсюда

β = arcos[v_ocosα/ (v_o² – 2gh)^1/2].

Составляющие скорости тел вдоль осей x и y в любой момент времени определяются так:

v_1y = v_osinα₁ – gt,

v_1x = v_ocosα₁

v_2y = v_osinα₂ – gt,

v_2x = v_ocosα₂.

u_x = v_o (cosα₁ - cosα₂).

Следовательно,

u = (u_x² + u_y²) = 2v_ocos[(α₁ + α₂)/2].

Тела движутся относительно друг друга с постоянной скоростью. По прошествию времени t расстояние между ними

s = 2v_o tcos[(α₁ + α₂)/2].

tgβ = y/x,

где координаты тела равны

y = (v_osinα) t – ½ gt² , x = (v_ocosα) t.

Скорость тела составляет с горизонтом угол φ, причем

tgφ = (v_osinα–gt )/ (v_ocosα) t.

По условию

β – φ = ½ π.

Воспользовавшись формулой

tg (β – φ) = (tg β - tg φ)/(1 + tgβ tg φ),

придем к уравнению

g² t² - 3(v_osinα)gt + 2v_o² = 0.

Отсюда

t = (v_o/2g) [3sinα ± (1 - 9cos²α)^1/2]^.